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Matrizes em Fortran 90
Flavio Aristone
Juvenal Muniz
1 de maio de 2010
Resumo
Discutiremos neste documento a implementa¸c˜ao de opera¸c˜oes b´asicas sobre ma-
trizes na linguagem de programa¸c˜ao Fortran 90: adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, transposta
e inversa. Calcularemos o determinante de uma matriz pela sua decomposi¸c˜ao LU.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Teoria 1
2.1 Arrays, vetores e matrizes........................... 2
2.1.1 Aloca¸c˜ao dinˆamica de arrays...................... 3
2.2 Fun¸c˜oes e subrotinas.............................. 3
3 Implementa¸c˜ao 4
Referˆencias 11
1 Introdu¸c˜ao
Uma matriz ´e um arranjo retangular de n´umeros. Por exemplo,
A =
As opera¸c˜oes b´asicas que podem ser aplicadas a matrizes s˜ao: adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao,
transposi¸c˜ao e invers˜ao. Nossa preocupa¸c˜ao maior neste documento ´e a implementa¸c˜ao
destas opera¸c˜oes na linguagem de programa¸c˜ao Fortran 90. Para uma discuss˜ao te´orica
sobre matrizes, sugerimos o livro [3].
2 Teoria
Antes de implementarmos as opera¸c˜oes matriciais, vamos fornecer um breve resumo de
alguns conceitos da linguagem Fortran 90 que iremos utilizar mais adiante neste docu-
mento.
2.1 Arrays, vetores e matrizes
Para implementar matrizes na linguagem Fortran 90 iremos utilizar uma array^1. Uma
array ´e uma estrutura de dados que consiste de uma cole¸c˜ao de valores (vari´aveis ou
constantes) de um mesmo tipo que s˜ao referidos por um mesmo nome. Um valor individual
dentro da array ´e chamado um elemento da array e ´e identificado pelo nome da array
juntamente com um ´ındice indicando a localiza¸c˜ao do elemento dentro da array. Por
exemplo, a seguinte cole¸c˜ao de 5 n´umeros inteiros
{ 5 , 7 , 9 , 1 , 8 }
poder´a ser representada em Fortran 90 por
i n t e g e r , d i m e n s i o n ( 5 ) : : numeros = ( / 5 , 7 , 9 , 1 , 8 / )
O trecho de c´odigo acima declara uma array chamada “numeros” contendo 5 n´umeros
inteiros. No c´odigo, a array “numeros” ´e inicializada j´a na sua pr´opria declara¸c˜ao pelo
construtor de arrays (/... /). Outra forma de declarar e inicializar esta array seria
i n t e g e r , d i m e n s i o n ( 5 ) : : numeros
numeros ( 1 ) = 5 numeros ( 2 ) = 7 numeros ( 3 ) = 9 numeros ( 4 ) = 1 numeros ( 5 ) = 8
O n´umero entre os parˆenteses ´e o ´ındice que localiza a posi¸c˜ao dentro da array; o
´ındice 1 localiza a primeira posi¸c˜ao na array, o 2 a segunda e assim em diante. Portanto,
o c´odigo acima atribui o valor 5 a posi¸c˜ao 1 da array, o valor 7a posi¸c˜ao 2, etc. O sinal
de igual “=” ´e a forma de atribuir valores a vari´aveis em Fortran 90.
As arrays em Fortran 90 podem ter mais de um ´ındice, podendo ser organizadas em
m´ultiplas dimens˜oes. Essas arrays s˜ao convenientes para representar dados organizados,
por exemplo, em forma matricial (linhas e colunas). Utilizaremos arrays bidimensionais
(dois ´ındices) para representar matrizes. Chamaremos de matrizes as arrays bidimensi-
onais e de vetores as arrays unidimensionais. Por exemplo, se quis´essemos representar a
matriz identidade de ordem 3
Id 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
poder´ıamos utilizar o seguinte c´odigo em Fortran 90
i n t e g e r : : i , j i n t e g e r , d i m e n s i o n ( 3 , 3 ) : : identidade
do i = 1 , 3 do j = 1 , 3 i f ( i /= j ) then identidade ( i , j ) = 0 e l s e identidade ( i , j ) = 1 end i f end do end do
1 Por falta de uma melhor tradu¸c˜ao da palavra, iremos utilizar o termo em inglˆes neste documento.
nomes em express˜oes e s´o podem retornar um ´unico resultado a ser usado na express˜ao. Os
exemplos a seguir d˜ao a forma geral de uma subrotina e de uma fun¸c˜ao, respectivamente
s u b r o u t i n e minha_subrotina ( lista de argumentos )
... (declara¸c˜oes de vari´aveis) ... (c´odigo a ser executado) ... r e t u r n end s u b r o u t i n e
f u n c t i o n minha_funcao ( lista de argumentos )
... (declara¸c˜oes de vari´aveis) ... (c´odigo a ser executado) ... minha_funcao = express˜ao r e t u r n end f u n c t i o n
Tanto para subrotinas quanto para fun¸c˜oes, ´e poss´ıvel estabelecer uma lista de argu-
mentos que ser˜ao utilizados pela subrotina ou fun¸c˜ao. Vale destacar que na fun¸c˜ao, ´e
necess´ario que haja uma atribui¸c˜ao de valor ao nome da fun¸c˜ao, indicando o valor que
ser´a retornado pela mesma.
3 Implementa¸c˜ao
O c´odigo a seguir ´e a implementa¸c˜ao em Fortran 90 das opera¸c˜oes b´asicas sobre matrizes e
o c´alculo do determinante de uma matriz pela sua decomposi¸c˜ao em matrizes triangulares
inferior e superior, conhecida como decomposi¸c˜ao LU. O algoritmo utilizado ´e conhecido
como algoritmo de Doolittle. Utilizamos um algoritmo simples para o c´alculo da
inversa de uma matriz. Esse algoritmo ´e baseado no processo de elimina¸c˜ao gaussiana e
tem um car´ater mais did´atico, pois seu desempenho ´e baixo.
Tentamos, exageradamente, comentar o c´odigo para facilitar a compreens˜ao do ma-
terial. Utilizamos v´arias t´ecnicas e constru¸c˜oes sint´aticas para mostrar v´arias formas de
implementa¸c˜ao. O c´odigo ´e extenso devido ao seu car´ater did´atico, mas vocˆe poder´a
modific´a-lo `a vontade, buscando melhores formas de expor os algoritmos ou, at´e mesmo,
utilizar algoritmos mais eficientes e precisos!
E aconselh´´ avel que vocˆe digite (ao inv´es de copiar-e-colar) todo o c´odigo e tente exe-
cut´a-lo, pois assim, estar´a treinando suas habilidades para detectar e corrigir erros, caso
ocorram. Vale ressaltar que este ´e um c´odigo com car´ater did´atico e n˜ao deve ser utilizado
em outros ambientes que n˜ao os de sala de aula.
Algumas instru¸c˜oes em Fortran 90 possuem op¸c˜oes at´e agora n˜ao utilizadas, como por
exemplo, a op¸c˜ao advance=‘no’ na instru¸c˜ao write. N˜ao detalharemos o significado
dessas op¸c˜oes, mas todas elas s˜ao facilmente encontradas em [1].
! A vari´avel seed ser´a compartilhada com a subrotina que cria os elementos das matrizes A e B ! aleatoriamente. Isto ´e necess´ario para que os valores das matrizes n˜ao sejam iguais. ! ! M´odulos devem sempre vir definidos antes do seu uso no programa. module global i m p l i c i t none i n t e g e r : : seed end module
! In´ıcio do programa program matrizes u s e global ! ! Prop´osito: ! Criar procedimentos para somar, multiplicar, transpor, inverter e decompor matrizes e ! calcular o determinante de uma matriz. ! ! Data: 1.5. ! Programador: Juvenal Muniz ! ! Revis˜oes ! 1.5.2010 : C´odigo original i m p l i c i t none
! Declara¸c˜oes das vari´aveis e das subrotinas utilizadas ! Descri¸c˜ao das vari´aveis e/ou matrizes ! n Dimens˜ao da matriz ! i Contador ! condicao Indica se houve erro ao abrir o arquivo ! opcao Armazena a opcao selecionada pelo usu´ario ! determinante Valor do determinante da matriz ! a, b, c Matrizes a, b e c ! arquivo Constante utilizada para acessar o arquivo ! resposta Armazenar´a a resposta `a pergunta (S ou N) ! nome arquivo Nome do arquivo contendo os elementos das matrizes
! Descri¸c˜ao das subrotinas ! matriz aleatoria Gera uma matriz quadrada aleat´oria de ordem n ! matriz adicao Efetua a adi¸c˜ao de duas matrizes ! matriz mul Efetua a multiplica¸c˜ao de duas matrizes ! matriz transposta Obt´em a transposta de uma matriz ! matriz inversa Obt´em a inversa de uma matriz ! matriz lu Decomp˜oe a matriz em matrizes triangulares inferior e superior ! matriz imprime Exibe os elementos da matriz
i n t e g e r : : n , i , j , condicao , opcao r e a l : : determinante r e a l , a l l o c a t a b l e , d i m e n s i o n ( : , : ) : : a , b , c i n t e g e r , pa rameter : : arquivo = 17 c h a r a c t e r ( 1 ) : : resposta c h a r a c t e r ( 2 0 ) : : nome_arquivo
! Valor inicial para a fun¸c˜ao RAN() seed = 32764561
! Leitura da dimens˜ao das matrizes quadradas w r i t e ( ∗ , ' (A) ' , advance= ' no ' ) ' Qual e a dimensao das m a t r i z e s? ' r e a d ( ∗ , ' ( I ) ' ) n
! Verifica se a dimens˜ao ´e maior ou igual a 2. Caso contr´ario, interrompe o programa. i f ( n >= 2 ) then a l l o c a t e ( a ( n , n ) , b ( n , n ) , c ( n , n ) ) e l s e w r i t e ( ∗ , ∗ ) ' As m a t r i z e s devem p o s s u i r dimensao maior ou i g u a l a 2! ' s t o p end i f
! Pede confirma¸c˜ao para gerar as matrizes aleatoriamente w r i t e ( ∗ , ' (A) ' , advance= ' no ' ) ' D e s e j a que a s m a t r i z e s a e b sejam g e r a d a s? ( S ou N) ' r e a d ( ∗ , ' (A1) ' ) resposta
! Verifica a resposta dada pelo usu´ario i f ( ( resposta == ' S ' ). or. ( resposta == ' s ' ) ) then ! Usu´ario prefere que as matrizes sejam geradas aleatoriamente c a l l matriz_aleatoria ( a , n )
e l s e i f ( opcao == 5 ) then ! Decomposi¸c˜ao de A em LU c a l l matriz_lu ( a , n )
! C´alculo do determinante para uma matriz LU determinante = 1. 0 do i = 1 , n determinante = determinante ∗ a ( i , i ) end do
w r i t e ( ∗ , ' ( / , x ,A) ' ) 'MATRIX A ' c a l l matriz_imprime ( a , n ) w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, F) ' ) 'O d e t e r m i n a n t e da m a t r i z A v a l e : ' , determinante e l s e i f ( opcao == 6 ) then ! Exibe os elementos das matrizes A e B w r i t e ( ∗ , ' ( / , x ,A) ' ) 'MATRIX A ' c a l l matriz_imprime ( a , n )
w r i t e ( ∗ , ' ( / , x ,A) ' ) 'MATRIX B ' c a l l matriz_imprime ( b , n ) e l s e i f ( opcao == 0 ) then ! Interrompe o programa w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, / ) ' ) ' Programa terminado. Ate mais! ' e x i t end i f end do
! Libera a mem´oria ocupada pelas matrizes A, B, C d e a l l o c a t e ( a , b , c ) end program
! Esta subrotina exibe os valores dos elementos de uma matriz ! ! Parˆametros: ! a Matriz cujos elementos ser˜ao exibidos ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) s u b r o u t i n e matriz_imprime ( a , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j r e a l : : a ( n , n )
do i = 1 , n do j = 1 , n w r i t e ( ∗ , ' ( f , 2 x ) ' , advance= ' no ' ) a ( i , j ) end do p r i n t ∗ end do end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina gera uma matriz com valores aleat´orios para seus elementos ! ! Parˆametros: ! a Matriz que armazenar´a os elementos gerados ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) s u b r o u t i n e matriz_aleatoria ( a , n ) u s e global i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j r e a l : : a ( n , n )
do i = 1 , n do j = 1 , n ! Calcula valores aleat´orios de -5 `a + ! A fun¸c˜ao ran() retorna valores entre 0.0 e 1. a ( i , j ) = ( −1.0) ∗ ∗ ( i+j ) ∗ 5. 0 ∗ ran ( seed ) end do end do end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina faz a adi¸c˜ao de duas matrizes quadradas (a + b) ! ! Parˆametros: ! a e b Matrizes de entrada
! c Matriz que armazenar´a a soma de a com b ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) s u b r o u t i n e matriz_soma ( a , b , c , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j r e a l : : a ( n , n ) , b ( n , n ) , c ( n , n )
do i = 1 , n do j = 1 , n c ( i , j ) = a ( i , j ) + b ( i , j ) end do end do end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina faz a multiplica¸c˜ao de duas matrizes quadradas (a * b) ! ! Parˆametros: ! a e b Matrizes de entrada ! c Matriz que armazenar´a o produto de a por b ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) s u b r o u t i n e matriz_mul ( a , b , c , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j , k r e a l : : a ( n , n ) , b ( n , n ) , c ( n , n )
c = 0. 0
do i = 1 , n do j = 1 , n do k = 1 , n c ( i , j ) = c ( i , j ) + a ( i , k ) ∗ b ( k , j ) end do end do end do end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina cria a transposta de uma matriz ! ! Parˆametros: ! a Matriz de entrada ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) ! ! AVISO: A matriz a ser´a modificada no processo s u b r o u t i n e matriz_transposta ( a , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j r e a l : : a ( n , n ) , temp
do i = 1 , n do j = 1 , n i f ( i < j ) then temp = a ( i , j ) a ( i , j ) = a ( j , i ) a ( j , i ) = temp end i f end do end do end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina calcula a inversa de uma matriz por elimina¸c˜ao gaussiana ! ! Parˆametros: ! matriz Matriz de entrada ! inversa Matriz que armazenar´a a inversa ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) ! ! AVISO: A matriz a ser´a modificada no processo ! Referˆencia : ! http://math.uww.edu/˜mcfarlat/inverse.htm ! http://www.tutor.ms.unimelb.edu.au/matrix/matrix inverse.html s u b r o u t i n e matriz_inversa ( matriz , inversa , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n
m = matriz_aumentada ( i , k+1) do j = k , 2 ∗ n matriz_aumentada ( i , j ) = matriz_aumentada ( i , j ) − matriz_aumentada ( k +1 , j ) ∗ m end do end do end do
! Armazene o resultado do i =1 , n do j = 1 , n inversa ( i , j ) = matriz_aumentada ( i , j + n ) end do end do
end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina verifica se a matriz inversa ´e v´alida (a * b = identidade) ! ! Parˆametros: ! a Matriz original ! b Matriz inversa de a ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) s u b r o u t i n e matriz_inversa_verifica ( a , b , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j r e a l , d i m e n s i o n ( n , n ) : : a , b , identidade l o g i c a l : : ok
ok =. true.
c a l l matriz_mul ( a , b , identidade , n )
do i = 1 , n do j = 1 , n ! Elementos fora da diagonal principal n˜ao podem ser diferentes de zero i f ( ( i /= j ). and. ( abs ( identidade ( i , j ) ) >= 1. 0 E −6) ) then ok =. false. ! Elementos na diagonal principal n˜ao podem ser diferentes de um e l s e i f ( ( i == j ). and. ( abs ( identidade ( i , i ) − 1. 0 ) >= 1. 0 E −6) ) then ok =. false. end i f end do end do
i f ( ok ==. false. ) then w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, / ) ' ) 'A v e r f i c a c a o da m a t r i z i n v e r s a f a l h o u ' e l s e w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, / ) ' ) 'A v e r f i c a c a o da m a t r i z i n v e r s a f o i c o n c l u i d a com s u c e s s o! ' end i f
end s u b r o u t i n e
! Esta subrotina decomp˜oe uma matriz em matrizes triangulares inferior e superior (LU) ! pelo algoritmo de Doolittle (diagonal principal da matriz L igual a 1). Para uma ! descri¸c˜ao te´orica sobre o algoritmo de Doolittle, veja [2]. ! ! Parˆametros: ! a Matriz que armazenar´a as matrizes LU ! n Dimens˜ao da matriz (apenas matrizes quadradas) ! ! AVISO: A matriz a ser´a modificada no processo s u b r o u t i n e matriz_lu ( a , n ) i m p l i c i t none i n t e g e r : : n , i , j , k r e a l : : a ( n , n ) , s , ss
! Os elementos da diagonal n˜ao podem ser zero i f ( abs ( a ( 1 , 1 ) ) <= 1. 0 E −6) then w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, / ) ' ) ' ∗∗ I m p o s s i v e l f a t o r a r a m a t r i z ∗∗ ' s t o p end i f
do i = 2 , n a ( i , 1 ) = a ( i , 1 ) / a ( 1 , 1 )
end do
do i = 2 , n − 1
s = 0. 0 do k = 1 , i − 1 s = s − a ( i , k ) ∗ a ( k , i ) end do
a ( i , i ) = ( a ( i , i ) + s )
! Os elementos da diagonal n˜ao podem ser zero i f ( abs ( a ( i , i ) ) <= 1. 0 E −6) then w r i t e ( ∗ , ' ( / , x , A, / ) ' ) ' i m p o s s i v e l f a t o r a r a m a t r i z ' s t o p end i f
do j = i + 1 , n ss = 0. 0 s = 0. 0
do k = 1 , i − 1 ss = ss − a ( i , k ) ∗ a ( k , j ) s = s − a ( j , k ) ∗ a ( k , i ) end do
a ( i , j ) = a ( i , j ) + ss a ( j , i ) = ( a ( j , i ) + s ) / a ( i , i ) end do end do
s = 0. 0
do k = 1 , n − 1 s = s − a ( n , k ) ∗ a ( k , n ) end do
a ( n , n ) = a ( n , n ) + s end s u b r o u t i n e
Referˆencias
[1] Stephen J. Chapman, Fortran 95/2003 for scientists and engineers, McGrall-Hill Com-
panies, New York, NY, 2007.
[2] R.L. Burden e J.D. Faires, Numerical analysis, Brooks Cole, California, CA, 2000.
[3] J.L. Boldrini et al., Algebra linear´ , Editora Harbra, Ltda., S˜ao Paulo, SP, 1980.
