Programação Funcional - Exercícios Resolvidos - aula 9, Exercícios de Informática

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Lambda Cálculo e Programação

Funcional

Programação Funcional Bacharelado em Sistemas de Informação Maio - 2009

Alonzo Church (1903–1995)

Professor em Princeton, EUA (1929–1967) e UCLA (1967–1990) Inventou um sistema formal, chamado λ-calculus ( Lambda Cálculo) , e definiu a noção de função computável utilizando este sistema. O Lambda Cálculo pode ser chamado “a menor linguagem de programação universal” do mundo. As linguagens de programação funcionais, como Lisp, Miranda, ML, Haskell são baseadas no Lambda Cálculo.

Sintaxe

Uma expressão simples do lambda cálculo:

Todas as aplicações de funções no lambda cálculo são

escritas no formato prefixo.

Avaliando a expressão: (+ 4 5) = 9

A avaliação da expressão procede por redução:

Sintaxe

Uma abstração lambda é um tipo de expressão que denota uma função: (λx. + x 1) O λ determina que existe uma função, e é imediatamente seguido por uma variável, denominada parâmetro formal da função. (λ x. + x 1) A função de x que incrementa x de 1

Exemplos

(λx. x) y

(λx. f x)

x y

(λx. x) (λx. x)

(λx. x y) z

(λx y. x) t f

(λx y z. z x y) a b (λx y. x)

(λf g. f g) (λx. x) (λx. x) z

(λx y. x y) y

(λx y. x y) (λx. x) (λx. x)

(λx y. x y) ((λx. x) (λx. x))

Análise de Expressões Lambda

A expressão Lambda se estende para a direita

λ f. x y ≡ λ f.(x y)

A aplicação é associativa à esquerda

x y z ≡ (x y) z

Múltiplos lambdas podem ser omitidos

λ f g. x ≡ λ f. λ g. x

Variáveis Livres e Ligadas

( λ x. + x y) 4 Para avaliar completamente a expressão, é necessário conhecer o valor global de y. Para x, a variável é local e pertence à função. Exemplos: λ x. + ((λ y. + y z) 7) x // z é livre

• x ((λ x. + x 1) 4) // o primeiro x é livre

Redução

A aplicação de um argumento à uma abstração lambda

implica na substituição das ocorrências das variáveis

correspondentes ao argumento:

( λ x. + x 1) 4 → + 4 1

Esta operação é denominada β -redução.

Funções também podem ser passadas como argumento:

(λ f. f 3) (λ x. + x 1) → (λ x. + x 1) 3 → + 3 1 → 4

Conversão

Considere as duas abstrações lambda:

( λ x. + x 1) ( λ y. + y 1) Claramente as duas abstrações acima são equivalentes e uma α -conversão nos permite mudar o nome do parâmetro formal de uma abstração lambda. Então:

( λ x. + x 1) ↔ ( λ y. + y 1)

α

η

Conversão

Considere as duas expressões:

( λ x. + 1 x) (+ 1) Ambas tem o mesmo comportamento quando aplicadas à argumento: adicionam 1 ao argumento. Uma η− redução é uma regra expressando tal equiva- lência:

( λ x. + 1 x ) ↔ (+ 1)

Resumo

α− conversão (renomeação) λ x. e ↔ λ y. e Quando y não é uma variável livre em e. β− redução (aplicação) (λ x. e 1 ) e2 → [ e^2 /x ] e^1 Operações de renomeação e substituição. η− conversão λ x. e x → e^ Elimina uma abstração λ mais complexa.

Exemplos de funções

Exemplo : Área de um círculo F ≡ π * r 2 , r ∈ N Q ≡ x * x , x ∈ N H = F (^) ° Q (função composta) H(r) = 3,14 * Q(r) (Fortran)

Abstração Lambda: λ y. π * y * y

Em Haskell: Main> (\y -> pi * y * y) 3 28.

Exemplos de funções

Dada uma função f, defina uma expressão f Օ f:

λf. λx. f (f x)

Aplicação para f(x) = x+1:

(λf. λx. f (f x)) (λy. y+1) = λx. (λy. y+1) ((λy. y+1) x) = λx. (λy. y+1) (x+1) = λx. (x+1)+

Tuplas como funções

Em Haskell:

t = \x -> \y -> x f = \x -> \y -> y pair = \x -> \y -> \z -> z x y first = \p -> p t second = \p -> p f Main> first (pair 1 2) 1 Main> first (second (pair 1 (pair 2 3))) 2