Thiago Queiroz: Introdução à Otimização Linear - Soluções Básicas, Notas de estudo de Programação Linear

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Matemática Industrial - RC/UFG

Programação Linear - Parte 2

Prof. Thiago Alves de Queiroz

Hipóteses de Linearidade

Existem algumas hipóteses que as grandezas precisam obedecer; Aditividade: o todo é igual a soma das partes; Exemplo: a mistura de 1 kg de A (contendo 0,2 kg de j) somados com 1 kg de B (contendo 0,1 kg de j), resulta em 2 kg contendo 0,3 kg de j; Proporcionalidade: a quantidade individual dos componentes é proporcional sua quantidade total; Exemplo: se aij expressa a quantidade do componente i em uma unidade de j, então aij xj expressa a quantidade de i em xj unidades de j; Fracionamento: valores fracionários para as variáveis são aceitáveis;

Conceitos Básicos

Definição 1. A seguinte forma do problema de otimização é chamada de forma padrão.

Minimizar z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + cnxn (i)

sujeito a :

  

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 nxn = b 2 ..

. (ii) am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn = bm x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 ,... , xn ≥ 0. (iii)

(1)

A função z em (1.i), a ser minimizada, representa a função objetivo; O sistema de equações lineares em (1.ii) representa as restrições do problema; As condições de não-negatividade das variáveis estão em (1.iii).

O problema (1) pode ser escrito em notação matricial;

Minimizar z = f ( x ) = cTx sujeito a :

{ Ax = b x ≥ 0.

(2)

Sendo:

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. . am 1 am 2... amn

m×n

a matriz dos coeficientes;

c T^ = (c 1 c 2... cn) o vetor de custos;

x T^ = (x 1 x 2... xn) o vetor das variáveis ou incógnitas;

b T^ = (b 1 b 2... bm) o vetor dos termos independentes ou de recursos;

0 T^ = (0 0... 0 ) o vetor nulo;

Resolução do Exemplo

a) As matrizes/vetores são:

A =

[

]

2 × 3

a matriz dos coeficientes;

c = ( 2 − 1 4)T^ o vetor de custos; x = (x 1 x 2 x 3 )T^ o vetor das variáveis; b = (3 4)T^ o vetor dos termos independentes;

b) Sim é uma solução factível, pois satisfaz todas as restrições. O valor da função objetivo é: f ( 1 , 0 , 2 ) = 10.

Solução Ótima

Definição 3. Uma solução factível que fornece o menor valor à função objetivo z é chamada solução ótima, denotada por (x 1 ∗ , x 2 ∗ ,... , x n∗ ). Uma solução factível é ótima se: f (x 1 ∗ , x 2 ∗ ,... , x n∗ ) ≤ f (x 1 , x 2 ,... , xn) para qualquer solução factível (x 1 , x 2 ,... , xn); Exemplo. Para o problema abaixo:

Minimizar z = 2 x 1 − x 2 + 4 x 3

sujeito a :

  

x 1 + 2 x 2 + x 3 = 3 x 2 + 2 x 3 = 4 x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 ≥ 0.

(4)

a) Qual das duas soluções é melhor: (1,0,2) ou (0,25; 0,5; 1,75)? b) Existe alguma solução melhor que as do item (a)? Conclua observando ( 0 ; 23 ; 53 ).

Transformação de problemas

Existem outras formas de problemas de otimização linear, com: maximizar, restrições de desigualdade ou variáveis livres; Porém, existem maneiras de transformar o modelo para a forma padrão; Encontrar uma solução que maximize a função objetivo, ou seja, um x* tal que: f( x* ) ≥ f( x ), para toda solução x factível, equivale a: Multiplicar a desigualdade por - 1, resultando em:

- f( x* ) ≤ - f( x ), para toda solução x factível. Ou seja, equivale a encontrar uma solução x* que minimize - f( x* ); Logo: maximizar f( x ) é equivalente à minimizar - f( x ).

Restrições de desigualdade

As restrições poderiam aparecer na forma de inequações; Dada uma restrição: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn ≤ b, a quantidade que falta para alcançar b é: xk = b − a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn ≥ 0; Ou seja, a desigualdade a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn ≤ b torna-se: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn + xk = b, com a adição da nova variável xk ≥ 0; Dada uma restrição a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn ≥ b, a quantidade que excede o valor de b é: xk = a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn − b ≥ 0;

Variáveis livres

É uma variável irrestrita de sinal no problema, isto é, xi ∈ R; Pode ser substituída por outras duas variáveis não-negativas; Observe que qualquer número pode ser sempre escrito como a diferença de dois outros não-negativos. Para uma variável xi , temos: xi = x i+ − x i− , com x i+ ≥ 0 e x i− ≥ 0; Então, basta substituir xi por x i+ − x i− no problema; Exemplo. Escreva o problema abaixo na forma padrão: Maximizar z = 2 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3

sujeito a :

  

x 1 + 2 x 2 − x 3 ≥ 3 − 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ − 1 x 1 ∈ R, x 2 ≥ 0 , x 3 ≥ 0.

(5)

Resolução do Exemplo

Multiplicar a função objetivo por -1, para ser de minimização; Criar a variável de excesso x 4 ≥ 0 para a primeira restrição; Criar a variável de folga x 5 ≥ 0 para a segunda restrição; Redefinir a variável livre x 1 como x 1 = x 1 + − x 1 − , criando as novas variáveis x 1 + ≥ 0 e x 1 − ≥ 0; Reescrever o problema com as novas definições/variáveis criadas, resultando em:

Minimizar − z = − 2 (x 1 + − x 1 − ) + 3 x 2 − 3 x 3

sujeito a :

  

(x 1 + − x 1 − ) + 2 x 2 − x 3 − x 4 = 3 − 2 (x 1 + − x 1 − ) + x 2 + 2 x 3 + x 5 = − 1 x 1 + ≥ 0 , x 1 − ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 ≥ 0 , x 4 ≥ 0 , x 5 ≥ 0.

(6)

Resolução Gráfica

A representação gráfica permite intuir várias propriedades e obter um método de solução geral; Aplica-se a problemas de duas variáveis: a representação acontece no plano cartesiano (x,y); Aplica-se a problemas de três variáveis: a representação acontece no espaço (x,y,z); Desenha-se primeiro a região de todas as soluções factíveis; Em seguida, determina a solução que fornece o menor valor de função objetivo (minimização);

O Caso Geral

Para uma reta qualquer a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, um vetor perpendicular a essa reta é aT^ = (a 1 , a 2 ), ou seja, calculando o gradiente da função; O vetor gradiente de uma função é ∇f (x 0 , y 0 ) = (

∂f (x 0 , y 0 ) ∂x

∂f (x 0 , y 0 ) ∂y

O vetor gradiente é perpendicular a função e indica a direção de maior crescimento da função; Para desenhar o vetor perpendicular, considere um ponto x ′^ sobre a reta como sendo o ponto inicial do vetor; O ponto final do vetor perpendicular é dado por x = x′^ + δa, para δ > 0; O vetor desenhado desta forma aponta no sentido de crescimento, isto é, para a 1 x 1 + a 2 x 2 > b, pois δ > 0;

O Caso Geral

A solução ótima x* é uma solução factível chamada vértice ou ponto extremo ; Os vértices são determinados pela interseção de (pelo menos) duas retas que definem a fronteira de S; Veremos que se um problema tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo; Exemplo. Determine a solução do problema de programação linear: Maximizar z = x 1 + x 2

sujeito a :

    

− 3 x 1 + x 2 ≤ 2 x 2 ≤ 3 x 1 + x 2 ≤ 9 3 x 1 + x 2 ≤ 18 x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0.

(8)

Resolução...

Desenhar a região factível S; Obter a solução ótima a partir das curvas de níveis e sentido de crescimento do vetor gradiente;

Figura: Determinando a solução ótima.