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Universidade Jean Piaget de Cabo Verde
Álgebra Linear
Propriedades de Determinantes
Propriedades de Determinantes
Em todas as propriedades seguintes, as matrizes são quadradas.
Propriedade 1 O determinante de uma matriz A e da sua transposta são iguais, isto é,
|A| = |A
T |. (1)
Exemplo 1
Propriedade 2 Se uma matriz A tem uma linha (coluna) nula, então
|A| = 0. (2)
Exemplo 2
Propriedade 3 Se uma matriz A tiver duas linhas (colunas) iguais ou proporcionais (Li = kL (^) j), então,
o determinante de A é igual a zero, isto é,
|A| = 0. (3)
Exemplo 3
= 0 , pois, L 1 = L 3.
Exemplo 4
= 0 , pois, L 3 = 2 L 2.
Propriedade 4 Se trocarmos duas linhas (colunas) de uma matriz A, então, o determinante da matriz
resultante B é o simétrico do determinante de A, isto é,
|A| = −|B|. (4)
Exemplo 5
L 1 ↔ L 2
Propriedade 5 Se multiplicarmos linha i (coluna) de uma matriz A por uma constante k, então, o
determinante da matriz resultante B é o produto entre k e o determinante de A, isto é,
Se B =
a 11 a 12 · · · a 1 n
. . .
kai 1 kai 2 · · · kain
. . .
an 1 an 2 · · · ann
⇒ |B| = k|A|. (5)
Exemplo 6
L 2 →
L 2 10 = 10
Repare que ao dividirmos a linha 2 por 10 , o determinante vem multiplicado por 10. Em geral,
multiplicarmos (dividirmos) uma linha por um escalar não nulo k, o determinante vem dividido
(multiplicado) por k.
Propriedade 6 O determinante de uma matriz não se altera se somarmos á linha (coluna) i a linha
(coluna) j (i 6 = j) multiplicada pela constante k, Li −→ Li + kL (^) j, isto é, a terceira operação elementar
sobre as linhas (E 3 ) não altera o determinante duma matriz.
Exemplo 7
L 2 −→ L 2 − L 1
L 3 −→ L 3 − 2 L 1
Propriedade 7 O determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos da diagonal
principal.
Exemplo 8
= 5 × 4 × (− 3 ) = − 60.
Propriedade 8
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 · · · a 1 n
. . .
bi 1 + ci 1 bi 2 + ci 2 · · · bin + cin
. . .
an 1 an 2 · · · ann
a 11 a 12 · · · a 1 n
. . .
bi 1 bi 2 · · · bin
. . .
an 1 an 2 · · · ann
a 11 a 12 · · · a 1 n
. . .
ci 1 ci 2 · · · cin
. . .
an 1 an 2 · · · ann
a 11 · · · b 1 i + c 1 i · · · a 1 n
a 21 · · · b 2 i + c 2 i · · · a 2 n
. ..
an 1 · · · bni + cni · · · ann
a 11 · · · b 1 i · · · a 1 n
a 21 · · · b 2 i · · · a 2 n
. ..
an 1 · · · bni · · · ann
a 11 · · · c 1 i · · · a 1 n
a 21 · · · c 2 i · · · a 2 n
. ..
an 1 · · · cni · · · ann
Exercícios Resolvidos
Exercício 1 Use as propriedades de determinantes para calcular os seguintes determinantes:
(a)
(b)
(c)
(d)
1357
2 1 π 1
2
3 − 2 −π
Resolução 1 (a) Vamos transformar a matriz na forma escada, respeitando as propriedades de deter-
minantes.
(Propriedade 4: L 1 ↔ L 2 )
(Propriedade 5: L 1 −→
L 1
(Propriedade 6: L 3 −→ L 3 − 2 L 1 )
(Propriedade 6: L 3 −→ L 3 − 10 L 2 )
= (− 3 ) × 1 × 1 × (− 55 ) (Propriedade 7: L 3 −→ L 3 − 10 L 2 )
(b) Temos que
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 − 1 1
− 1 − 2 − 1 1
2 1 1 1
2 0 − 2 0
38 7
= 1 × 1 × (− 7 ) ×
(c) Repare que C 1 = C 3. Logo, pela Propriedade 3
(d) Repare que a linha 2 é uma linha nula. Logo, pela Propriedade 2
1357
2 1 π 1
2
3 − 2 −π
Exercício 2 Sejam a, b, c ∈ R. Sabendo que
a b c
2 1 0
1 2 1
= 1, calcule
a b c
2 a + 2 2 b + 1 2 c
a + 1 b + 2 c + 1
Resolução 2 Usando as propriedades, temos que
a b c
2 a + 2 2 b + 1 2 c
a + 1 b + 2 c + 1
a b c
2 1 0
1 2 1
(Propriedade 6: L 2 −→ L 2 − 2 L 1 ∧ L 3 −→ L 3 − L 1 )
= 1 (Por hipótese)
Exercício 3 Usando as propriedades de determinante, resolva as seguintes equações:
(a)
2 x
3 x + 1
x 1
2 x 4
∣ (^) (b)
4 − x 4 + x 4 + x
4 + x 4 − x 4 + x
4 + x 4 + x 4 − x
Resolução 3 (a) Temos que
2 x
3 x + 1
2 x
0 −
x 2
= −x + 2. (Propriedades 6 e 7)
x 1
2 x 4
1 x
4 2 x
1 x
0 − 2 x
= 2 x. (Propriedades 4, 6 e 7)
Assim,
2 x
3 x + 1
x 1
2 x 4
⇔ −x + 2 = 2 x
⇔ x =
Exercício 5 Usando as propriedades de determinante, mostre que
(a)
1 a a
2
1 b b
2
1 c c
2
= (c − a)(b − a)(c − b). (b)
b + c c + a b + a
a b c
1 1 1
Exercício 6 Sejam α, β ∈ R. Sabendo que
1 2 α
β 1 1
1 α + β 2
= 1, calcule
1 2 α
β β α + β
2 2 β
β α α α
Exercício 7 Sejam a, b, c ∈ R. Sabendo que
a b c
2 1 0
1 2 1
= 1, calcule:
(a)
a b c
6 3 0
−
1 2 −^1 −^
1 2
(b)
3 a + 1 3 b + 2 3 c + 1
Exercício 8 Calcule (^) ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ λ 1 1 1 1 1
λ λ + 1 2 2 2 2
λ λ + 1 λ + 2 3 3 3
λ λ + 1 λ + 2 λ + 3 4 4
λ λ + 1 λ + 2 λ + 3 λ + 4 5
λ λ + 1 λ + 2 λ + 3 λ + 4 λ + 5
Exercício 9 Usando as propriedades de determinante, resolva as seguintes equações:
(a)
2 x
3 x + 1
x 1
2 x 4
(b)
x x x x
x 4 x x
x x 4 x
x x x 4
(c)
2 x x + 1
x x + 2
(d)
4 − x 4 + x 4 + x
4 + x 4 − x 4 + x
4 + x 4 + x 4 − x
