Terceira avalia¸c˜ao - MTM 5862
Data: 31/05/12
Professor: Danilo Royer
Aluno: Matr´ıcula.:
1. Determine os x∈Rpara os quais a s´erie ∞
P
n=2
x3n
n.ln(n)converge.
2. Enuncie e demonstre o teste da integral.
3. Analise cada uma das seguintes s´eries quanto a convergˆencia absoluta ou condicional ou di-
vergˆencia.
(a) ∞
P
n=2
4
√n3+cos(n+1)+sen(n5)
√2n5+n+ln(n2)
(b) ∞
P
n=1
sen(π+2nπ
2)√n
n+1
(c) ∞
P
n=1
cos(nπ)24n
(2n)!
4. Decida sobre a veracidade das seguintes afirma¸c˜oes. Demonstre as verdadeiras e apresente um
contra-exemplo para as falsas.
(a) Se ∞
P
n=1
a2
nconverge ent˜ao ∞
P
n=1
a3
nconverge absolutamente.
(b) Se ∞
P
n=1
an´e uma s´erie convergente de termos positivos e (xn)n∈N⊆R´e uma sequˆencia
convergente ent˜ao ∞
P
n=1
anxn´e convergente.
(c) Toda s´erie alternada da forma ∞
P
n=1
(−1)nan, com anpositivos e decrescentes, ´e convergente.