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1ª AVALAÇÃO DE CÁLCILO NUMÉRICO DISCENTE: LAURA FERNANDES MATRÍCULA: 20190132473 Questão 01 Como K = 473, o sistema dado por ser escrito na forma A matriz ampliada deste sistema tem os coeficientes dados a seguir: 31,473 14,31 45 13,11 5,473 19 a. Encontrando a solução do sistema: Pelo método da Eliminação de Gauss, realizamos a operação a seguir: Substituindo a linha L2 por [L2 - (13.11/31.473)L1], obtemos: 31,473 14,31 45 0 -0,4878 0, Aplicando o método das substituições regressivas, obtemos: Resultado y -0, x 1, Logo a solução do sistema com quatro casas decimais é dada por: b. Encontrando a solução do sistema no sistema de ponto flutuante F = (10,4,-10,10): Dessa vez o multiplicador que usaremos será (13.11/31.473): 0, Substituindo a linha L2 por (L2 - 0.9885L1), obtemos: 31,473 14,31 45 Multiplicador (m) ma11 ma12 mb 0 -0,4870 0,2600 Resultado do EXCEL 0,4165 1,310850E+01 5,96012E+00 18, Resultado Arredondado 1,311E+01 5,960E+00 1,874E+ Aplicando o método das substituições regressivas, obtemos: Resultado y a12y (b1-a12y) (b1-a12y)/a y -0,5339 -0,533881 -7,640109 52,6400 1, x 1,6730 -0,5339 -7,640 5,264E+01 1, Logo a solução do sistema com quatro casas decimais é dada por: c. Comparação dos resultados: O resultado obtido no item a) é mais preciso do que o resultado obtido no item b), uma vez que a quantidade de casas decimais obtidas no decorrer do cálculo é maior para o item a). Dessa forma, o item b) apresenta um erro de arrendamento cumulativo superior. Para fins de verificação, considere o resultado obtido no item a): 45 19 que é exatamente igual ao vetor b. Por outro lado, considere o resultado obtido no item b) 45, 19, que aproxima o vetor b, mas apresenta erros a partir da segunda casa decimal. A0|b0: A1|b1: Fórmula utilizada no EXCEL "=D21/C21" "=(D20-(C20B26))/B20" Ax = A1|b1: Resultado do EXCEL Resultado Arredondado Ax = ቊ31.473𝑥 + 14.31𝑦 = 45.00 13.11𝑥 + 5.473𝑦 = 19. 𝑥 𝑦 =^
−0. 𝑥 𝑦 =^ 1.6 73 −0.5 339
Questão 02 Temos que: Uma representação gráfica da função dada, obtido atráves da versão online do software Geogebra, pode ser observada a seguir: Observa-se que a raiz de interesse (Primeira raiz positiva) se localiza próxima ao ponto x = 1.5. De acordo com a representação gráfica gerada, chegou-se à conclusão de que a aproximação inicial x0 = 1.57 seria apropriada para métodos abertos e, a = 1.5 e b = 1.57 são extreminadades sensatas de um intervalo para o qual podemos aplicar um método intervalar, visto que, a partir dos pontos pontos A e B ilustrados na imagem gráfica, percebe-se que no intervalo [a,b] a função é contínua e apresenta resultados com sinais opostos quando aplicada às extremidades do intervalo. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 − 473𝑥 𝐾 = 473 𝜀 = 10ି^
b. Método da Falsa Posição: O esquema iterativo do método da Falsa Posição pode ser escrito na forma: Com base neste esquema e nas ferramentas de cálculo do Excel podemos construir a tabela seguinte para a qual consideramos, para a primeira iteração: na primeira coluna, o número da iteração; nas duas colunas seguintes, as extremidades do intervalo; nas colunas 4 e 5, o resultado da aplicação da função f(x) nas extreminadades do intervalo pela expressão "=TAN(B14)-(K$13B14)" (Observe que o valor de K está fixado); na sexta coluna a aplicação do método da falsa posição pela expressão "=(C19)+(E19(B19-C19))/(E19-D19)"; na sétima coluna, o resultado da aplicação de f(x) em xk, resultado este usado como parâmetro para decidir quais serão as extremidades do subintervalos para as iterações seguintes; e, por fim, na última coluna, o cálculo do erro absoluto iterativo. Nas iterações seguintes, seguimos processo similar. Com base na observação gráfica já destacada, consideraremos a0 = 1.5 e b0 = 1.57. Então, para a função f(x) dada, obtemos o seguinte processo iterativo. k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) EA K: 473 0 1,5 1,57 -695,4 513,156 1,54028 -695,79 f(x0)f(b0)<0, então a1 = x 1 1,54028 1,57 -695,79 513,156 1,55738 -662,09 1,71E-02 f(x1)f(b1)<0, então a2 = x 2 1,55738 1,57 -662,09 513,156 1,56449 -581,4 7,11E-03 f(x2)f(b2)<0, então a3 = x 3 1,56449 1,57 -581,4 513,156 1,56742 -445,44 2,93E-03 f(x3)f(b3)<0, então a4 = x 4 1,56742 1,57 -445,44 513,156 1,56862 -283 1,20E-03 f(x4)f(b4)<0, então a5 = x 5 1,56862 1,57 -283 513,156 1,56911 -149,57 4,91E-04 f(x5)f(b5)<0, então a6 = x 6 1,56911 1,57 -149,57 513,156 1,56931 -69,477 2,01E-04 f(x6)f(b6)<0, então a7 = x 7 1,56931 1,57 -69,477 513,156 1,56939 -30,089 8,23E-05 f(x7)f(b7)<0, então a8 = x 8 1,56939 1,57 -30,089 513,156 1,56943 -12,611 3,37E-05 f(x8)f(b8)<0, então a9 = x 9 1,56943 1,57 -12,611 513,156 1,56944 -5,2109 1,38E-05 f(x9)f(b9)<0, então a10 = x 10 1,56944 1,57 -5,2109 513,156 1,56945 -2,1404 5,63E-06 f(x10)f(b10)<0, então a11 = x 11 1,56945 1,57 -2,1404 513,156 1,56945 -0,8771 2,30E-06 f(x11)f(b11)<0, então a12 = x 12 1,56945 1,57 -0,8771 513,156 1,56945 -0,359 9,42E- Assim, obtemos, após 13 iterações, uma estimativa de x = 1.569449 que atende à precisão requerida. 𝑥 = 𝑏 + 𝑓(𝑏 )(𝑎 − 𝑏) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎 ) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 − 473𝑥 𝐸𝐴 < 𝜀 = 10ି 0,00E+ 2,00E- 4,00E- 6,00E- 8,00E- 1,00E- 1,20E- 1,40E- 1,60E- 1,80E- 0 2 4 6 8 10 12 14
EA x k
c. Método de Newton-Raphson:
O esquema iterativo do método de Newton-Raphson pode ser escrito na forma:
Como f(x) = tg(x) - Kx, então a derivada de f(x), tem a forma:
A princípio, qualquer aproximação inicial dentro do intervalo já utilizado seria coerente. Contudo, para não ficar próximo demais de um ponto de mínimo da função
e em decorrência disso, prejudicar a performance do método, é mais prudente optar por um valor próximo à solução procurada, porém mais distante do ponco crítico
Com base neste esquema e nas ferramentas de cálculo do Excel podemos construir a tabela seguinte para a qual consideramos, para a primeira iteração:
na primeira coluna, o número da iteração; na coluna seguinte, as estimativas da raiz, calculadas pela expressão "=B22-(C22/D22)"; nas colunas 3 e 4, o resultado
da aplicação da função f(x) e de sua derivada na raiz aproximada, dadas respectivamente, pelas expressões "=TAN(B22)-(H$21*B22)" (Observe que o valor de K está fixado);
e "=(1/(COS(B22)*COS(B22)))-H$21"; e, por fim, na última coluna, o cálculo do erro absoluto iterativo. Nas iterações seguintes, seguimos processo similar.
Com base na observação gráfica já destacada, consideraremos a0 = 1.5 e b0 = 1.57. Então, para a função f(x) dada, obtemos o seguinte processo iterativo.
k xk f(xk) f'(xk) EA K: 473
1 1,56967 148,94 794115 3,26E-
2 1,56949 21,3467 582787 1,88E-
3 1,56945 0,58137 551475 3,66E-
4 1,56945 0,00046 550611 1,05E-
5 1,56945 2,8E-10 550611 8,27E-
Assim, obtemos, após 5 iterações, uma estimativa de x = 1.569449 que atende à precisão requerida.
𝑓ᇱ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ଶ^ − 𝐾.
-5,00E- 0,00E+ 5,00E- 1,00E- 1,50E- 2,00E- 2,50E- 3,00E- 3,50E- 0 1 2 3 4 5 6
EA x k
Questão 03 Como K = 473, as funções de custo podem ser escritas na forma: Defina x1 e x2, as potências consumidas nas usinas 1 e 2, respectivamente. Podemos então, escrever de forma conveniente: C1(x1) = 500 + 0,473 x1 + 4,10E-05 x1^2 + 2,10E-07 x1^3 + 4,473E-10 x1^ C2(x2) = 1000 + 0,22 x2 + 6,473E-05 x2^2 + 8,473E-07 x2^ Observe também que a potência total consumida é de 1500 kilowatt. Ou seja, Substituindo este resultado na equação de C2, obtemos: Realizando as operações elementares pelas funções do EXCEL e, retornando à variável x, obtemos: C2(x) = 1330 -0,22 x + 1,456E+02 -1,942E-01 x + 6,473E-05 x^2 2859,638 -5,719275 x + 3,813E-03 x^2 -8,473E-07 x^ = 4,335E+03 -6,133465 x + 3,878E-03 x^2 -8,473E-07 x^ De modo mais amigável O custo total produzido pelas duas uzinas é então dado por: C1(x) + C2(x) = 4,835E+03 -5,660465 x + 3,9186E-03 x^2 -6,3730E-07 x^3 + 4,473E-10 x^ Para minimizar o custo total, derivamos a função obtida e igualamos o resultado a zero: C'(x) = -5,660465 + 7,8372E-03 x -1,9119E-06 x^2 + 1,789E-09 x^ Uma representação gráfica para a função derivada obtida pode ser observado a seguir: Observa-se que a raiz de interesse da derivada se localiza próximo ao ponto 750. Aplicando o método de Newton considerando x0 = 750 como aproximação inicial, obtemos: C''(x) = 7,8372E-03 -3,8238E-06 x + 5,368E-09 x^ Temos então que k xk f(xk) f'(xk) EA 0 750 -1,0322E-01 7,9886E- 1 762,9209366 3,5676E-04 8,0441E-03 1,29E+ 2 762,8765861 4,2940E-09 8,0439E-03 4,44E- 3 762,8765856 0,0000E+00 8,0439E-03 5,34E- 4 762,8765856 0,0000E+00 8,0439E-03 0,00E+ Obtemos assim uma estimativa de x = 762, Logo, o custo mínimo é dado por C(xk) = 2666, 𝐶ଵ 𝑥 = 500 + 0.473𝑥 + 4.1 × 10ି ହ^ 𝑥ଶ^ + 2.1 × 10ି ^ 𝑥ଷ^ + 4.473 × 10ି ଵ^ 𝑥ସ 𝐶ଶ 𝑥 = 1000 + 0.22𝑥 + 6.473 × 10ିହ^ 𝑥ଶ^ + 8.473 × 10ି^ 𝑥ଷ 𝑥ଵ + 𝑥ଶ = 1500 → 𝑥ଶ = 1500 − 𝑥ଵ 𝐶ଶ 1500 − 𝑥ଵ = 1000 + 0.22(1500 − 𝑥ଵ) + 6.473 × 10ିହ^ (1500 − 𝑥ଵ)ଶ+8.473 × 10ି^ (1500 − 𝑥ଵ)ଷ 𝐶ଶ 𝑥 = 4335 − 6.1335𝑥 + 6.473 × 10ିହ^ 𝑥ଶ^ − 8.473 × 10ି^ 𝑥ଷ.
Questão 04 a. Gráfico do modelo: Uma representação gráfica da função dada, obtida através do uso da versão online do software Geogebra, pode ser observada a seguir: b. Tempo de descolcamento máximo logo após decorridos 15s. Pelo gráfico anterior, observa-se que o pico máximo logo após o tempo de 15 segundos, pode ser observado próximo de t = 19 s. Para encontrar o valor máximo procurado, primeiro derivamos a função S(t), de modo a obtermos: Agora nosso objetivo é obter t, de modo que: Para resolver a última equação que também resolve o problema levantado, escolhemos os dois métodos intervalares, já que a função apresenta muitas oscilações (de Bissecção e da Falsa Posição): Bissecção k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) EA K: 473 0 18,86 18,870000 0,20991 -0,54555639 18,865 -1,68E- 1 18,86 18,865000 0,20991 -0,16773336 18,8625 2,11E-02 2,50E- 2 18,8625 18,865000 0,02111 -0,16773336 18,86375 -7,33E-02 1,25E- 3 18,8625 18,863750 0,02111 -0,07330477 18,863125 -2,61E-02 6,25E- 4 18,8625 18,863125 0,02111 -0,02609496 18,8628125 -2,49E-03 3,12E- 5 18,8625 18,862813 0,02111 -0,0024912 18,86265625 9,31E-03 1,56E- 6 18,862656 18,862813 0,00931 -0,0024912 18,86273438 3,41E-03 7,81E- 𝑆 𝑡 = 𝑒ି ௧
- 𝑡 cos(2𝑡). 𝑆′ 𝑡 = − (^) 𝐾^1 𝑒ି^ ௧ + cos 2𝑡 − 2𝑡 sin 2𝑡. − (^) 𝐾^1 𝑒ି ௧
- cos 2𝑡 − 2𝑡 sin 2𝑡 = 0.
