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Exame Unificado
das P´os-gradua¸c˜oes em F´ısica
EUF
1 ◦^ Semestre/
Parte 1 — 28/09/
Instru¸c˜oes:
- N ˜AO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela dever´a ser identificada apenas atrav´es do c´odigo (EUFxxx).
- Esta prova constitui a primeira parte do exame unificado das P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica. Ela cont´em problemas de: Mecˆanica Cl´assica, F´ısica Moderna, Termodinˆamica e Mecˆanica Estat´ıstica. Todas as quest˜oes tˆem o mesmo peso.
- O tempo de dura¸c˜ao desta prova ´e de 4 horas. O tempo m´ınimo de permanˆencia na sala ´e de 90 minutos.
- N ˜AO ´e permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrˆonicos.
- RESOLVA CADA QUEST ˜AO NA P ´AGINA CORRESPONDENTE DO CADERNO DE RESPOSTAS. As folhas ser˜ao reorganizadas para a corre¸c˜ao. Se precisar de mais espa¸co, utilize as folhas extras do caderno de respostas. N˜ao esque¸ca de escrever nas folhas extras o n´umero da quest˜ao (Q1, ou Q2, ou... ) e o seu c´odigo de identifica¸c˜ao (EUFxxx). Folhas extras sem essas informa¸c˜oes n˜ao ser˜ao corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada quest˜ao. Nao destaque a folha extra.
- Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no fim do caderno de respostas. N ˜AO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho ser˜ao descartadas e quest˜oes nelas resolvidas n˜ao ser˜ao consideradas.
- N ˜AO escreva nada no formul´ario; DEVOLVA-O ao fim da prova, pois ele ser´a utilizado amanh˜a.
Boa prova!
Q1. Considere um corpo de massa M de se¸c˜ao transversal circular de raio R que rola sem desliza-
mento sobre um plano que possui um ˆangulo de inclina¸c˜ao θ em rela¸c˜ao `a horizontal, conforme mostra a figura abaixo. O coeficiente de atrito est´atico entre o corpo e o plano ´e μe. O mo- mento de in´ercia do corpo em rela¸c˜ao a um eixo passando pelo ponto O ´e I e a acelera¸c˜ao da gravidade ´e g.
R
h
y x
q
O
(a) Desenhe o diagrama de for¸cas para o corpo. Escreva a equa¸c˜ao que relaciona a velocidade angular, ϕ˙, de rolamento do corpo e a velocidade de transla¸c˜ao, ˙x, que caracteriza um rolamento sem deslizamento. (b) Determine a acelera¸c˜ao ¨x, associada `a transla¸c˜ao do corpo ao longo do plano inclinado, em termos dos parˆametros que constam no enunciado. (c) Assuma que o corpo inicia o seu movimento a partir do repouso na origem do sistema de coordenadas cartesianas indicado na figura. Calcule a energia mecˆanica no in´ıcio e no final do movimento. A energia mecˆanica do sistema ´e conservada? (d) Calcule o momento de in´ercia I considerando que o corpo seja (i) um anel e (ii) um disco. Assuma que as massas dos corpos est˜ao uniformemente distribu´ıdas. Suponha agora que o ˆangulo θ possa ser variado. A partir de qual θ cessa o movimento de rolamento puro e o corpo come¸ca a deslizar, nos casos (i) e (ii) acima? Deixe a resposta em termos de μe.
Q2. Considere o pˆendulo invertido da figura abaixo, composto por uma barra de massa M e mo-
mento de in´ercia I 0 em rela¸c˜ao ao seu centro de massa, cujas coordenadas s˜ao (X,Y). A barra pode girar livremente no plano xy em torno de um eixo de rota¸c˜ao que passa pela posi¸c˜ao (xp,yp), a uma distˆancia ` do centro de massa. A acelera¸c˜ao da gravidade ´e g.
x
y
(X,Y)
(x ,y )p p^ l
q
g
(a) Escreva as equa¸c˜oes para a energia cin´etica e potencial do sistema em termos de X, Y e θ.
Para os itens (b), (c) e (d) assuma que um agente externo faz o eixo de rota¸c˜ao oscilar hori- zontalmente com frequˆencia angular ω, ou seja, tem-se yp(t) = 0 e xp(t) = A cos(ωt).
(b) Escreva a lagrangiana do sistema em termos da coordenada generalizada θ. (c) Escreva a equa¸c˜ao de movimento para a lagrangiana do item (b). (d) Considere que o sistema executa pequenas oscila¸c˜oes (θ pequeno). Mostre que neste caso, θ(t) = α cos(ωt) + β sen(ωt) ´e uma solu¸c˜ao para o problema. Determine α e β.
Q4. Numa experiˆencia de efeito fotoel´etrico, luz de comprimento de onda 414 nm e intensidade I 0
incide sobre uma superf´ıcie limpa de um metal cuja fun¸c˜ao trabalho ´e φ = 2,5 eV.
(a) Calcule a energia cin´etica m´axima dos fotoel´etrons. (b) Se a intensidade de luz incidente for duplicada, o que ocorre com a energia cin´etica dos fotoel´etrons?
Considere agora a experiˆencia de espalhamento Compton em que um el´etron de massa m 0 em repouso espalha um f´oton de comprimento de onda λ = 2λc ≡ 2 h/(m 0 c). Ap´os o espalhamento, o f´oton perde metade de sua energia.
(c) Calcule o comprimento de onda do f´oton espalhado (expresse seu resultado apenas em fun¸c˜ao de λc) e determine o seu ˆangulo de espalhamento. (d) Calcule a energia total e o momento linear do el´etron ap´os a colis˜ao (expresse seu resultado em fun¸c˜ao de m 0 e c).
Q5. Imagine que um material magn´etico unidimensional possa ser modelado como uma cadeia
linear de N + 1 spins. Cada spin interage com os seus primeiros vizinhos de tal maneira que a energia do sistema seja E = n², onde n ´e o n´umero de paredes de dom´ınio separando regi˜oes de spin ↑ das regi˜oes de spin ↓, como representado na figura abaixo, sendo as paredes de dom´ınio indicadas por linhas tracejadas. A energia por parede de dom´ınio ´e ². Considere N À 1 e n À 1.
(a) Determine de quantas maneiras as n paredes de dom´ınio podem ser arranjadas. (b) Determine a entropia S(E) do sistema contendo n paredes de dom´ınio. (c) Determine a energia interna E como fun¸c˜ao da temperatura, E(T ). Expresse seu resultado em termos de N , ², T e constantes f´ısicas apenas. (d) Esbo¸ce a fun¸c˜ao E(T ), indicando os valores de E para T = 0 e T → ∞.
Exame Unificado
das P´os-gradua¸c˜oes em F´ısica
EUF
1 ◦^ Semestre/
Parte 2 — 29/09/
Instru¸c˜oes:
- N ˜AO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela dever´a ser identificada apenas atrav´es do c´odigo (EUFxxx).
- Esta prova constitui a segunda parte do exame unificado das P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica. Ela cont´em problemas de: Eletromagnetismo, Mecˆanica Quˆantica, Termodinˆamica e Mecˆanica Estat´ıstica. Todas as quest˜oes tˆem o mesmo peso.
- O tempo de dura¸c˜ao desta prova ´e de 4 horas. O tempo m´ınimo de permanˆencia na sala ´e de 90 minutos.
- N ˜AO ´e permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrˆonicos.
- RESOLVA CADA QUEST ˜AO NA P ´AGINA CORRESPONDENTE DO CADERNO DE RESPOSTAS. As folhas ser˜ao reorganizadas para a corre¸c˜ao. Se precisar de mais espa¸co, utilize as folhas extras do caderno de respostas. N˜ao esque¸ca de escrever nas folhas extras o n´umero da quest˜ao (Q1, ou Q2, ou... ) e o seu c´odigo de identifica¸c˜ao (EUFxxx). Folhas extras sem essas informa¸c˜oes n˜ao ser˜ao corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada quest˜ao. Nao destaque a folha extra.
- Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no fim do caderno de respostas. N ˜AO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho ser˜ao descartadas e quest˜oes nelas resolvidas n˜ao ser˜ao consideradas.
- N ˜AO ´e necess´ario devolver o Formul´ario.
Boa prova!
Q8. Considere uma part´ıcula de massa m na presen¸ca de um potencial harmˆonico V (x) = 12 mω^2 x^2 ,
onde ω ´e a frequˆencia angular do oscilador e x ´e a coordenada da part´ıcula (1-dim).
(a) S˜ao dadas as fun¸c˜oes de onda estacion´arias correspondentes ao estado fundamental ψ 0 e ao primeiro estado excitado ψ 1 :
ψ 0 (x) = A exp
mω 2 ℏ
x^2
, ψ 1 (x) = B x exp
mω 2 ℏ
x^2
onde A e B s˜ao constantes de normaliza¸c˜ao. Calcule A e B supondo que as fun¸c˜oes de onda sejam reais. (b) Seja E 0 a energia do estado fundamental. Sabemos que E 1 = E 0 + ℏω para o primeiro estado excitado, j´a que o quantum de energia do oscilador ´e ℏω. Usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, encontre a energia E 0. (c) Para os estados estacion´arios, o valor m´edio da posi¸c˜ao 〈x〉 ´e sempre nulo. Construa uma fun¸c˜ao de onda n˜ao estacion´aria como combina¸c˜ao linear de ψ 0 e ψ 1 com coeficientes reais, tal que o valor m´edio 〈x〉 seja o maior poss´ıvel. Em outras palavras, considere o estado normalizado ψ (x) =
1 − β^2 ψ 0 (x) + β ψ 1 (x) , com 0 ≤ β^2 ≤ 1 e determine o coeficiente β que maximiza o valor de 〈x〉. (d) Suponha que a fun¸c˜ao de onda constru´ıda no item anterior descreva o estado do oscilador harmˆonico no tempo t = 0. Escreva a fun¸c˜ao de onda do estado para um tempo t > 0 arbitr´ario, supondo que nenhuma medi¸c˜ao foi feita sobre o sistema. Para esse estado, avalie o valor m´edio da posi¸c˜ao 〈x〉(t) em fun¸c˜ao do tempo.
Q9. Seja uma part´ıcula com momento angular l = 1.
(a) Na representa¸c˜ao onde as matrizes de L^2 e Lz s˜ao diagonais, obtenha a matriz da compo- nente Lx. Lembre que a matriz de Lx deve representar um operador hermitiano. Sugeri- mos usar os operadores escada L±. (b) Calcule os autovalores de Lx. (c) Encontre o autovetor de Lx com o maior autovalor. (d) Suponha agora que vocˆe encontrou o maior autovalor numa medi¸c˜ao de Lx. Calcule as probabilidades de medir respectivamente +ℏ, 0 e −ℏ numa medi¸c˜ao posterior de Lz.
Q10. Um mol de um g´as ideal monoatˆomico se encontra na temperatura T e ocupa um volume V.
A energia interna por mol de um g´as ideal ´e dada por u = cV T , onde cV ´e o calor espec´ıfico molar, que ´e considerado constante. Responda as quest˜oes abaixo:
(a) Considere a situa¸c˜ao em que o g´as se encontra em contato com um reservat´orio t´ermico na temperatura T e sofre uma expans˜ao quase-est´atica revers´ıvel na qual o seu volume passa de V para 2V. Calcule o trabalho realizado pelo g´as durante a sua expans˜ao. (b) Ainda com rela¸c˜ao ao processo f´ısico descrito no item (a), determine o calor trocado pelo g´as com o reservat´orio t´ermico. (c) Determine as varia¸c˜oes de entropia do g´as e do reservat´orio t´ermico no processo descrito no item (a). (d) Considere agora a situa¸c˜ao em que o g´as est´a isolado e sofre uma expans˜ao livre na qual o seu volume passa de V para 2V. Determine as varia¸c˜oes de entropia do g´as e do universo durante o processo de expans˜ao livre.
