Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
Exerc´ıcios Resolvidos: Provas Com Limites
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Atualizado em 06/03/2016
Como provar o limite de uma fun¸c˜ao?
Provar um certo limite ´e mais do que simplesmente resolvˆe-lo. E exige o uso da defini¸c˜ao
formal de limite. Por exemplo, para que
lim
x→a
f(x) = L
´e necess´ario que para todo n´umero > 0 dado exista um numero δtal que se 0 <|x−a|< δ
ent˜ao |f(x)−L|< .
Assim a demostra¸c˜ao de um limite consiste em: mostrar que |f(x)−L|< acontece, partindo
apenas de |x−a|< δ.
Exemplo 1: Demonstre que lim
x→3(4x−5) = 7.
Solu¸c˜ao:
Passo 1: Determinando um valor de δ.
O que queremos ´e a partir de |x−3|< δ chegar a |(4x−5) −7|< . Se conseguirmos essa
proeza teremos demonstrado o limite.
No entanto, antes precisamos encontrar um valor para δ. Para conseguir isso se faz o contr´ario
do que ser´a feito na demonstra¸c˜ao, isto ´e, partimos de |f(x)−L|< tentamos chegar a |x−a|< δ.
Para o caso em particular f(x)=4x−5 e L = 7 temos:
|(4x−5) −7|<
|4x−12|<
|4(x−3)|<
4|x−3|<
|x−3|<
4
Asim um valor poss´ıvel para δseja
4.
Passo 2: Fazendo a demonstra¸c˜ao.
De posse do valor de δpodemos iniciar a demonstra¸c˜ao que consiste em mostrar que a partir
de |x−3|< δ pode se chegar a |(4x−5) −7|< .
|x−3|< δ
1
