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Lista de Exercícios
Introdução à Estatística (capítulo 3)
DEVORE, J. L. (2006). Probabilidade e Estatística: para Engenharia e Ciências. 6ª ed., São Paulo: Pioneira Thompson Learning
Seção 3.6 - Distribuição de probabilidade de Poisson
75. Seja X o numero de falhas na superfície de uma cadeira de um determinado tipo selecionada aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro λ=5. a) P(X ≤ 8) b) P(X = 8) c) P(X = 9) d) P(5 ≤ X ≤ 8) e) P(5 < X < 8) 79. Um artigo no Los Angeles Times (3 de dezembro de 1993) relata que 1 em 200 pessoas possui o gene recessivo que causa câncer de cólon hereditário. Em uma amostra de 1000 indivíduos, qual é a distribuição aproximada do número dos que possuem o gene? Use essa distribuição para calcular a probabilidade aproximada de: a) Entre 5 e 8 (inclusive) possuírem o gene. b) Ao menos 8 possuírem o gene. 81. Suponha que pequenas aeronaves pousem em um aeroporto, de acordo com um processo de Poisson, com a taxa α=8 por hora, de forma que o número de pousos durante um período de tempo de t horas é uma va de Poisson com parâmetro λ=8 t. a) Quais são as probabilidades de exatamente seis aeronaves pequenas chegarem durante um período de uma hora? Ao menos seis? Ao menos 10? b) Qual é o valor esperado e o desvio padrão do número de pequenas aeronaves que chegam durante um período de 90 minutos? c) Qual é a probabilidade de ao menos 20 aeronaves pequenas chegarem durante um período de 2 horas e meia? De no máximo 10 chegarem nesse período? 83. O numero de solicitações de assistência recebido por um serviço de guincho é um processo de Poisson com taxa α=4 por hora. a) Calcule a probabilidade de exatamente dez solicitações chegarem em um certo período de 2 horas. b) Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos para o almoço, qual é a probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? c) Quantas ligações você espera que ocorram durante o almoço? 85. O artigo “Reliability-Based Service-Life Assessment of Aging Concrete Structures” ( J. Structural Engr. , 1993, p. 1600-1621) sugere que um processo de Poisson pode ser usado para representar a ocorrência de cargas estruturais no tempo. Suponha que o tempo médio entre as ocorrências de cargas seja 0,5 ano. a) Quantas cargas podem ser esperadas durante um período de dois anos? b) Qual é a probabilidade de mais de cinco cargas ocorrerem durante um período de dois anos? c) Quanto tempo deve ter um período para que a probabilidade de não ocorrerem cargas seja no máximo 0,1?
87. Suponha que as árvores sejam distribuídas em uma floresta de acordo com um processo bidimensional de Poisson com parâmetro α. O número esperado de árvores por acre é igual a
- a) Qual a probabilidade de que em um quarto de acre haja no máximo 16 árvores? b) Se a floresta cobrir 85.000 acres, qual será o número esperado de árvores na floresta? c) Suponha que você selecione um ponto na floresta e construa um círculo de raio 0, milha. Seja X = número de árvores na região circular. Qual é a fmp de X? ( Sugestão: 1 milha quadrada = 640 acres.)
LARSON, R.; FARBER, B. (2004). Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall
Capítulo 4 Seção 4.1 – Distribuições de probabilidade
1. O que é uma variável aleatória? Dê um exemplo de variável aleatória discreta e de uma contínua. Justifique sua resposta.
Verdadeiro ou falso
Nos exercícios 3 e 5, determine se a proposição é verdadeira ou falsa. Se for falsa, reescreva-a em sua forma verdadeira.
3. Na maior parte das aplicações, as variáveis aleatórias contínuas representam dados de contagem, enquanto as discretas representam dados de medida. 5. A média de uma variável aleatória representa a “média teórica” de um experimento probabilístico e algumas vezes não é um resultado possível.
Diferenciando variáveis aleatórias discretas e contínuas
Nos exercícios 9-12, determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua. Explique seu raciocínio.
9. x representa o número anual de mortes nas rodovias do Texas 10. x representa o volume de sangue retirado para um exame 11. x representa o número de livros vendidos por trimestre em uma livraria. 12. x representa a quantidade de neve (em polegadas) caída no Alasca no último inverno.
Capítulo 4 Seção 4.3 – Mais distribuições discretas de probabilidade
Determinando uma distribuição
Nos exercícios 1-3, determine qual é a distribuição de probabilidade – binomial ou de Poisson
- que se aplica à questão. Justifique sua escolha. Não é preciso responder à pergunta. 2. O número médio de petroleiros em um porto é oito por dia. O porto tem infraestrutura para dar conta de até 12 em um dia. Qual é a probabilidade de que mais petroleiros do que é possível cheguem em um determinado dia?
c) P(-1≤X≤1) d) P(X≤ -1 ou X=2)
4.15. p(x) = , x= 0, 1, 2, 3, 4
a) P(X=4) b) P(X≤1) c) P(2≤X<4) d) P(X>-10)
4.17. O setor de comercialização estima que um novo instrumento para analise de amostras de solo terá grande sucesso, moderado sucesso não terá sucesso, com probabilidades de 0,3; 0, e 0,1 respectivamente. A receita anual associada com um produto de grande sucesso, moderado sucesso ou nenhum sucesso é de R$10 milhões, R$5 milhões e R$1 milhão, respectivamente. Faça a variável aleatória X denotar a renda anual do produto. Determine a função de probabilidade de X.
4.19. Em um processo de fabricação de semicondutores, três pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes.
a) Qual é a probabilidade de que todas as três pastilhas passem no teste? b) Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que encontram as especificações.
4.21. Um arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro componentes encontrarem as especificações sejam iguais a 0,95; 0,98 e 0,99. Considere que os componentes sejam independentes.
a) Qual a probabilidade de que todos os componentes em um arranjo encontrem as especificações? b) Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que encontram as especificações?
TRIOLA, M. F. (2013). Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. 11ª ed., Rio de Janeiro: LTC
Seção 5.2 – Variáveis Aleatórias
25. No jogo Pick 3 da loteria de Illinois, você paga 50 centavos para selecionar uma sequência de três dígitos, como 233. Se você seleciona a mesma sequência de três dígitos que é extraída, você ganha e recebe US$ 250.
a) Quantas seleções são possíveis? b) Qual é a probabilidade de ganhar? c) Se você ganha, qual seu lucro líquido? d) Ache o valor esperado.
e) Se você aposta 50 centavos no jogo Pick 4 de Illinois, o valor esperado é de - centavos. Qual é melhor: uma aposta de 50 centavos no jogo Pick 3 de Illinois ou uma aposta de 50 centavos no jogo Pick 4 de Illinois? Explique.
29. Há uma probabilidade de 0,9986 de que um homem de 30 anos de idade, selecionado aleatoriamente, sobreviva este ano. A companhia Fidelity de seguros cobra US$ 161 para segurar que o homem sobreviva este ano. Se o homem não sobrevive ao ano, a apólice paga US$ 100.000 como benefício por morte.
a) Da perspectiva de um homem de 30 anos, quais são os valores correspondentes aos dois eventos de sobreviver e não sobreviver ao ano? b) Se um homem de 30 anos compra a apólice, qual é o seu valor esperado? c) A companhia pode esperar lucrar com muitas dessas apólices? Por quê?
Seção 5.3 – Distribuição de Probabilidade Binomial
39. Em uma pesquisa com 320 graduados em faculdades, 36% relataram que permaneceram em seu primeiro emprego de tempo integral menos de um ano.
a) Se 15 sujeitos pesquisados são selecionados aleatoriamente sem reposição para uma pesquisa de acompanhamento, ache a probabilidade de que 5 deles tenham permanecido em seu primeiro emprego menos de um ano. b) Se parte de a) é alterada, de modo que 20 sujeitos de pesquisa selecionados, explique por que a fórmula da probabilidade binomial não pode ser usada.
Exercícios de Revisão
10. Na análise dos locais atingidos por bombas V1 na Segunda Guerra Mundial, Londres foi subdivida em 576 regiões, cada uma com 0,25 km². Um total de 535 bombas atingiu a área combinada de 576 regiões.
a) Qual número médio de bombas por região? b) Se uma região é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de que ela não tenha sido atingida. c) Com base na probabilidade da parte b), quantas das 576 regiões se espera que não tenham sido atingidas? d) Na verdade, houve 229 regiões que não foram atingidas. Como esse resultado real se compara com o resultado da parte c)?
Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. (2009) Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª ed., São Paulo: Prentice Hall Brasil
Seções 3.1 – Conceito de Variável Aleatória, 3.2 – Distribuições de probabilidades discretas
3.3 Considere W a variável aleatória definida como o número de caras menos o número de coroas em três jogadas de uma moeda. Lista os elementos do espaço amostral para três lançamentos da moeda e, para cada ponto amostral, atribua um w valor de W.
Capítulo 4 Seção 4.3 – Mais distribuições discretas de probabilidade
2. Poisson. Estamos interessados em contar o número de ocorrências dentro de uma dada unidade de espaço. 3. Binomial. Estamos interessados em contar o número de sucessos em n tentativas. 6. μ = 8
a) P (4) = 8^4 e -8/4! ≈ 0, b) P ( x ≥ 4) = 1 – ( P (0) + P (1) + P (2) + P (3))
≈ 1 – (0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286)
= 0,
c) P ( x > 4) = 1 – ( P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + P (4))
≈ 1 – (0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286 + 0,0573)
= 0,
7. (a) 0,3293 (b) 0,8781 (c) 0,
Montgomery, D. C.; Runger, G. C. (2003). Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2ª ed, Rio de Janeiro: LTC
Seção 4.2. Distribuições de probabilidades e funções de probabilidade
4.11. f(0) = 1/3, f(1,5) = 1/3, f(2) = 1/6, f(3) = 1/
4.13. Todas as probabilidades são maiores que 0 e menores do que 1 e totalizam um.
a.1 b. 0 c. 3/4 d. ½
4.15. Todas as probabilidades são maiores que 0 e menores do que 1 e totalizam um.
a. 9/25 b. 4/25 c. 12/25 d. 1
4.17. P(X = 10 milhões) = 0,3.
P(X = 5 milhões) = 0,6.
P(X = 1 milhão) = 0,
4.19. a) 0,
b) P(X = 0) = 0,008.
P(X = 1) = 0,096.
P(X = 2) = 0,384.
P(X = 3) = 0,512.
4.21. a) 0,
b) P(X = 0) = 0,00001.
P(X = 1) = 0,00167,
P(X = 2) = 0,07663.
P(X = 3) = 0,
TRIOLA, M. F. (2013). Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. 11ª ed., Rio de Janeiro: LTC
Capítulo 5 – Seção 5.
25. a) 1000 b) 0,001 c) 249,50 dólares d) -25 centavos
e) Como ambos os jogos têm o mesmo valor esperado, nenhuma aposta é melhor que a outra.
29. a) -161 dólares e 99.839 dólares b) -21 dólares
c) Sim, pois o valor esperado para a companhia de seguros é 21 dólares, que indica que a companhia pode esperar obter uma média de 21 dólares por cada uma das apólices.
Seção 5.
39. a) 0,
b) Diferentemente de a) , os 20 sujeitos selecionados são mais do que 5% dos 320 sujeitos disponíveis, de modo que a independência não pode ser admitida pela diretriz dos 5%. O requisito de independência para a probabilidade binomial não é satisfeito.
Exercícios de Revisão
10. a) 0,929 b) 0,395 c) 227,5 regiões d) O resultado real de 229 está muito próximo do resultado calculado.
Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. (2009) Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª ed., São Paulo: Prentice Hall Brasil
3.
3.5 (a) 1/30; (b) 1/10.
Espaço Amostral w HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
