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Questões Resolvidas
e Comentadas
Diógenes Santos
Matemática
para o Vestibular, ENEM
e Concursos Públicos
Questões Resolvidas e
Comentadas
Diógenes Santos
Agradecimentos
Em primeiro lugar, e não poderia ser diferente, à Deus, que na Sua
infinita bondade e sabedoria fez com que tudo acontecesse no seu devido
tempo. A Ele, sempre presente em minha vida, devo tudo.
A Karla Oliveira, amiga e companheira, que foi quem mais acreditou
e apoio este projeto. Muitas das vezes, ao pensar em desistir, foi ela quem
reativou a vontade de seguir em frente. Reafirmo meu carinho e admiração
a essa pessoa tão especial.
Ao pessoal do meu trabalho ( TNEl-KM ), que durante todo tempo, de
forma direta ou indireta, deram força e ideias na confecção deste livro.
Ao prof°. Thiago Dias, que por muitas vezes corrigiu questões e deu
soluções maravilhosas.
A minha eterna professora e educadora Maximínia Magda, por um
dia ter acreditado em um ninguém. Ela com certeza mudou meus caminhos.
Ao meus caríssimos alunos que, ao trazerem as dúvidas, ajudaram no
meu crescimento e que gerou a criação deste livro.
Prefácio
A confecção deste livro veio com os questionamentos de alguns
alunos que, por muitas vezes, traziam provas e questões aleatórias para tirar
dúvidas. Percebi que eles não tinham material um específico, algo que os
orientassem e os preparassem para as provas. Sendo assim, separei por
assuntos as questões de matemática da Universidade de Pernambuco (UPE),
de 1999 a 2014, e resolvi todas, passo a posso, de forma que os estudantes,
que já tenham visto a teoria dos assuntos, possam resolver as questões e
caso precisem consultem as resoluções.
Claro que as resoluções aqui apresentadas são sugestões de soluções
e os alunos, principalmente os mais "criativos", por certo descobrirão outras
maneiras e formas de resolvê-las.
Como se diz em matemática, "não importa o caminho a ser seguido
na solução do problema, o que importa é sempre chegar no mesmo lugar."
"Forte é aquele que forte se imagina..."
- Capítulo I – Funções do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos .. QUESTÕES
- Capítulo II – Funções Exponenciais e Logarítmicas ......................................
- Capítulo III – Funções Trigonométricas ........................................................
- Capítulo IV – Matemática Básica .................................................................
- Capítulo V – Sequências, P.A. e P.G. ............................................................
- Capítulo VI – Geometria Plana .....................................................................
- Capítulo VII – Geometria Espacial ................................................................
- Capítulo VIII – Geometria Analítica .............................................................
- Capítulo IX – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
- Capítulo X – Análise Combinatória e Binômio de Newton
- Capítulo XI – Probabilidade
- Capítulo XII – Números Complexos
- Capítulo XIII – Polinômios
- Capítulo I – Funções do Primeiro e Segundo graus, Modular e Conceitos. RESOLUÇÕES
- Capítulo II – Funções Exponenciais e Logarítmicas
- Capítulo III – Funções Trigonométricas
- Capítulo IV – Matemática Básica
- Capítulo V – Sequências, P.A. e P.G.
- Capítulo VI – Geometria Plana
- Capítulo VII – Geometria Espacial
- Capítulo VIII – Geometria Analítica
- Capítulo IX – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
- Capítulo X – Análise Combinatória e Binômio de Newton
- Capítulo XI – Probabilidade
- Capítulo XII – Números Complexos
- Capítulo XIII – Polinômios
Funções do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questões 1
Questões
Capítulo I
Diógenes Santos 2
- UPE2000 Uma função : ( )
f x f x
(^)
é linear se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x y f x f y f a x a f x
(^)
quaisquer
que sejam x , y em e a uma constante real. Considerem-se as funções indicadas a
seguir, com domínio, o conjunto dos números reais. Podemos afirmar que é linear: A) f ( ) x sen (2 x 5) B) f ( ) x 2 x 5 C) f ( ) x x^3 1 D) f ( ) x ( x 1) 2 ( x 1)^2 E) f ( ) x 3 x
UPE2000 (^) Em um terreno retangular de (^90) m de perímetro, Maria Eduarda pretende construir um galpão para depósito de sua fábrica de confecções. O código de obras da cidade exige que sejam dados recuos de 2 m na frente e nos fundos e 1,5 m em cada lateral. Podemos afirmar que a área máxima do galpão, em metros quadrados, é: A) B) C) D) E)
UPE2001 Uma questão da prova de matemática foi para determinar as raízes do
polinômio dado por f ( ) x ax^2 bx c ,onde a , b e c são números reais e a não é nulo.
O aluno Neto copiou errado o coeficiente do 1 grau e encontrou para raízes 2 e 3.A aluna Maria Eduarda copiou errado o termo independente e encontrou para raízes 5 e 1.Sendo f (1) 1, podemos afirmar que as raízes do polinômio f ( ) x são: A) Dois números inteiros. B) Dois números complexos não reais. C) Dois números racionais D) Dois números irracionais E) Dois números reais cujo quociente é negativo.
Funções do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questões 3
- UPE2002 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas. I II (^0 0) Se f : * ,definida por f ( ) x Ln x ,então f ( x y ) f ( ) x f ( ). y (^1 1) Se f é uma função definida no conjunto dos números reais positivos por ( ) ( ) ( ) , (1) 2
f x y f x f y f
^ ^ ^ (^)
então f (5) 32.
2 2 A soma de duas funções injetoras é uma função injetora. 3 3 A trajetória de um objeto é dada pelo gráfico da função definida por f t ( ) t^2 8 , t onde t é medido em segundos e f t ( )é medido em metros. Após 3 segundos, o objeto alcançará a altura máxima. (^4 4) Se f é uma função de A em , definida por f ( ) x x x 4,então a imagem de f é o conjunto{ y | y 4}.
- UPE2004-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas. Um laboratório farmacêutico, após estudo do mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de x milhares do produto A era dado pela fórmula: L x ( ) 100(12.000 x )( x 4.000). Analisando-se as afirmações, tem-se que: I II 0 0 O laboratório terá lucro para qualquer quantidade vendida do produto A. 1 1 O laboratório terá lucro, se vender mais de 4.000e menos de 12.000unidades do produto A. (^2 2) Se o laboratório vender mais de 12.000unidades do produto A ,ele terá prejuízo. 3 3 O lucro do laboratório será máximo se forem vendidos 8.000unidades do produto A. (^4 4) Se o laboratório vender 4.000unidades do produto A ,não terá lucro.
Funções do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questões 5
- UPE2005-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas.
O gráfico abaixo representa uma função polinomial do 2 grau y^ p x ( ),que corta o eixo
das abscissas em (^) x 1 e x 2,tal que p (0) 2.
I II (^0 0) O valor mínimo de p x ( )é y 2. (^1 1) p x ( ) x^2 x 2. (^2 2) p x ( ) 0 se x 1 ou x 2. (^3 3) A soma dos coeficientes de p x ( ) é( 2). (^4 4) A imagem de p x ( )é[ 9 / 4, ).
- UPE2005-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas. Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo de R$ (um real e
vinte centavos) por unidade produzida e uma despesa fixa de R$ (quatro mil reais), independente da quantidade de peças produzidas. O preço de venda da unidade é de R$ (dois reais), e a empresa vende toda a produção. Então: I II 0 0 Se a empresa produz e vende (^) unidades, ela terá um lucro deR$ (^1 1) O custo para produzir unidades é deR$ (^2 2) Se a empresa produz e vende unidades, o lucro será deR$ (^3 3) Se a empresa produz e vende unidades, ela terá um prejuízo deR$ 4 4 Se a empresa produz e vende (^) unidades, ela não terá prejuízo.
Capítulo I
Diógenes Santos 6
- UPE2005-MAT2 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas. Observe a figura abaixo.
Na figura, a reta ( ) r de equação f ( ) x ax b intercepta a parábola de equação
g x ( ) ax^2 bx c nos pontos e I II 0 0 A equação cartesiana da reta r é y 4 x 8. (^1 1) A equação da parábola é y x^2^ 2. x (^2 2) O valor máximo da parábola é2. 3 3 O coeficiente angular da reta r é2. (^4 4) f ( ) x g x ( )para todo x pertencente ao intervalo 4 x 2.
- UPE2006-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas. No Brasil, quem ganha um salário mensal menor ou igual a R$está isento do
pagamento de Imposto de Renda. Quem ganha um salário mensal acima de R$até
R$ paga um IR igual a da parte de seu salário que excede R$quem
ganha um salário mensal acima de R$ paga um IR igual a R$
(correspondente a da parte do salário entre R$e R$) mais da
parte do salário que excedeR$ I II (^0 0) Se um funcionário ganha R$de salário, ele paga R$de IR. (^1 1) Uma pessoa que paga R$de IR tem um salário deR$ (^2 2) Uma pessoa que ganha R$paga R$de IR. (^3 3) Uma pessoa que ganha R$paga R$de IR. (^4 4) Uma pessoa que paga R$de IR tem um salário acima deR$
Capítulo IV
Diógenes Santos 30
UPE2001 Os filhos do Sr. Júnior, Neto e Maria Eduarda, nasceram em 20 /12.Em 20 /12 / 2000, dia do aniversário deles, Daniela, amiga de Júnior, perguntou as idades das crianças. Júnior respondeu: “Suas idades são tais que cinco vezes a idade de Maria Eduarda somada a treze vezes a idade de Neto é igual a 38 anos”. No dia 20 /12 / 2000,a soma das idades de Maria Eduarda e Neto é: A) 5 anos B) 6 anos C) 7 anos D) 8 anos E) 9 anos
UPE2001 Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor oferece-lhe duas condições de pagamento. A primeira, pagamento à vista com um desconto de 10%sobre o preço de tabela; e a segunda em duas parcelas, pelo preço de tabela, sendo 50% de entrada e o restante com 30 dias. O consumidor dispõe do valor para o pagamento a vista. Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25%ao mês ( 30 dias), então: A) É mais vantajoso ele comprar a prazo. B) Se comprar a prazo, ele tem um lucro de8%. C) É mais vantajoso comprar a vista. D) Se comprar a prazo, terá um prejuízo de8%. E) É indiferente comprar a vista ou a prazo.
UPE2002 Uma máquina produz 1500 unidades de um produto no período de 30 dias, ao custo total de R$ 0,25 por unidade. A voltagem de funcionamento da máquina é 220 volts. Por razões de racionamento, a Concessionária de Energia resolve reduzir a tensão em 10%. Para que essa possa funcionar, o empresário investe a importância de R$ 3.000,00, para ser paga em 20 meses (considerar o mês com 30 dias), na compra de um estabilizador de tensão. Admitindo um lucro de 5%sobre o custo total de uma unidade do produto, o preço de venda, em real, deverá ser de A) 0,3500 B) 0,3600 C) 0,3721 D) 0,3584 E) 0,3675
UPE2002 Os amigos Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prêmio de R$que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais às respectivas idades. Sabendo que as idades estão em progressão aritmética, que Daniela é a mais velha e tem anos, Neto é o mais novo e tem anos, podemos afirmar que:
Matemática Básica
Questões 31
A) Neto recebeuR$ B) Marcela recebeuR$ C) Daniela recebeuR$ D) Neto recebeu o dobro de Maria Eduarda. E) Maria Eduarda recebeuR$
- UPE2003 O Sr. Júnior, atacadista do ramo de tecidos, resolveu vender seu estoque de um determinado tecido. O estoque tinha sido comprado ao preço de R$o metro. Esse tecido foi revendido no varejo às lojas pertencentes a Daniela, Eduarda, Neto e Antônio, respectivamente. A loja de Daniela comprou 1/ 3do estoque a R$o metro.
A loja de Eduarda comprou a quarta parte do que sobrou a R$o metro. A metade do
resto do estoque foi vendido a Antônio pelo Sr. Júnior a R$o metro e o que sobrou, a
Neto a R$ o metro. Sabendo que o Sr. Júnior lucrou R$e que o estoque por
ele comprado tinha x metros, podemos afirmar que x / 50é igual a: A) m B) m C) m D) m E) m
UPE2003 Misturam-se três litros de álcool a cinco litros de gasolina. Quantos litros de gasolina devem ser adicionados à mistura para 3/ 4da mistura sejam constituídos por gasolina? A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
UPE2003 Admita-se que N é a nota final de um vestibulando; E ,a nota obtida no
ENEM e M , a média aritmética das provas do vestibular. Suponha-se que a nota do ENEM tem peso 2,0 e a média das provas do vestibular tem peso 8,0 (oito). Um vestibulando obtém 7,0 (sete) na nota do ENEM e sua nota final foi 8,0 (oito).
Considerando N , M e E com aproximação de duas casas decimais, pode-se afirmar que a média M das provas do vestibular do candidato foi: A) 8,00 B) 7,50 C) 8,50 D) 8,10 E) 8, 25
- UPE2004-MAT1 Um certo produto é vendido nas lojas A e B. Na loja B , o produto é (^) R$mais caro que na loja (^) A .Se a loja B oferecer um desconto de20% no produto, o preço seria o mesmo nas duas lojas. O preço do produto na loja A é: A) R$ B) R$ C) R$ D) R$ E) R$
Matemática Básica
Questões 33
- UPE2005-MAT1 O número de gols, marcados nos jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol, foi e Na segunda rodada, serão realizados
^ jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja (^) superior à média obtida na primeira rodada? A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
UPE2005-MAT1 Uma caravana de pessoas deve atravessar um deserto em dias. Seu suprimento de água permite que cada pessoa disponha de litros por dia. Após dias, a caravana encontra três pessoas, vítimas de uma tempestade de areia, e as acolhe. Quantos litros de água por dia poderão ser consumidos por cada pessoa, se a caravana prosseguir sua rota como havia planejado? A) l B) l C) l D) l E) l
UPE2005-MAT1 Eduarda, certo dia, fez compras em lojas do Shopping Center. Em cada uma gastou a metade do que possuía e pagou, na saída, R$(dois reais) de estacionamento. Após as despesas, restaram a Eduarda (^) R$ (vinte reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer as compras? R$ R$ C) R$ D) R$ E) R$
UPE2005-MAT1 Um laboratório utiliza, na fabricação de um determinado remédio, as substâncias A e B .Sabendo que 1 ml da substância A custa R$( centavos),
1 ml da substância B custa R$( centavos) e que um frasco de 100 ml do remédio
custa (^) R$(três reais e sessenta centavos), quantos ml da substância A têm no frasco?
A) 70 B) 65 C) D) 50 E) 30
- UPE2005-MAT2 Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante, subindo alguns degraus da escada no percurso. Neto é uma dessas pessoas. Para uma certa escada rolante, com velocidade constante, Neto observa que gasta 30 segundos, quando sobe 5 degraus da escada e, 20 segundos, quando sobe 10 degraus, a fim de atingir o pavimento superior. Se a escada estiver parada, pode-se afirmar que o número de degraus que Neto sobe para ir ao pavimento superior é de: A) 30 B) 28 C) 20 D) 25 E)18
Geometria Plana
Questões 61
Capítulo VI
Geometria Plana
- UPE2000 (^) A figura abaixo é um retângulo de lados (^10) cm e (^8) cm .Podemos afirmar que o valor de (^) x ,em (^) cm ,é:
A) 4 B) 4,5 C) 5 D) 6 E) 5,
UPE2001 Um pintor cobra R$por metro quadrado de pintura. Apresentam- se três painéis de idênticos materiais e 12 m de perímetro. Um em forma de círculo, outro em forma de um hexágono e um terceiro em forma de um quadrado. O pintor, só tendo condições de pintar um deles, deve escolher o que lhe proporcionará maior renda. Assim: A) Terá a maior renda se escolher o painel hexagonal. B) Terá a menor renda se resolver pintar o painel hexagonal. C) Se escolher o painel circular, terá a maior renda. D) Qualquer painel que escolher, a renda será a mesma. E) Deverá escolher o painel quadrado para ter maior renda.
UPE2001 A distância em linha reta entre duas cidades A e B é 10 km .A empresa de distribuição de água do Estado necessita construir um reservatório de água para o abastecimento das respectivas cidades. Estudos verificaram que o reservatório deve ser
construído em um ponto D , tal que os ângulos ADB e ABD tenham por medida 45 cada um. O custo pela ligação hidráulica é de R$ por metro de encanação do reservatório às cidades.
