Baixe Questões sobre matriz e coordenadas e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Conven¸
c˜oes: • Se^ A^ ´e uma matriz, a matriz transposta de
A^ ser´
a denotada por
t A.
-^ Coordenadas est˜
ao dadas em rela¸
c˜ao a um sistema ortogonal de coor-
denadas. Q1.^
Considere a matriz
A^ ∈
M(R^3
), dada por
A^ =
a^ b
cd e f g h i
.^ Se^
B^ =
a^ c
5(b
−^2 c) d^ f^
5(e^ −
2 f^ ) g^ i^
5(h^ −
, sabendo que det( 2 i)
A) = 2, pode-se afirmar que det(
−^1 B) ´
e
igual a (a)^ −
1 /^10
(b)^ −
1 /^100
(c)^ −
1 /^20
(d)^1
/^100
(e)^1
/^20
Q2.^ Dados os pontos
A(1,^
2 ,^ 3),^
B(−^1
,^2 ,^ −3),
C(4,
1 ,^ −2) e
D(5,
0 ,^ 3), pode-se
afirmar que (a)^ o ˆ
angulo entre
−−→ AB^ e
−→ AC^ ´e agudo, e
−→ AC^
−−→e BD s˜ao paralelos.
(b)^ o ˆ
angulo entre
−−→ AB^ e
−→ AC^ ´e agudo, e
−→ AC^
−−→e BD s˜ao ortogonais.
(c)^ o ˆ
angulo entre
−−→ AB^ e
−→ AC^ ´e obtuso, e
−→ AC^
−−→e BD s˜ao paralelos.
(d)^ o ˆ
angulo entre
−−→ AB^ e
−→ AC^ ´e obtuso, e
−→ AC^
−−→e BD n˜ao s˜
ao paralelos.
(e)^ o ˆ
angulo entre
−−→ AB^
−→e AC ´e agudo, e
−→ AC^
−−→e BD n˜ao s˜
ao paralelos nem
ortogonais.
Q3.^ Lembrando que o tra¸
co de uma matriz quadrada ´
e a soma das entradas
na diagonal principal da matriz, se
A^ =
^1
1 −^1
, ent˜ 0
ao o tra¸
co de
−^1 A
´e igual a^ (a)^2 (b)^ −
(c)^0 (d)^ −
(e)^1 Q4.^ Considere as matrizes
A =
−^2
−^3
−^1
−^1
−^1
^ − 2
e^ B
−^1
−^2
−^1
−^3 −
−^2
,^
e as afirma¸
c˜oes abaixo: (I) det(
A)^6 = det(
B)
(II) det(
A) = det(
B)
(III) det(
2 AB) =
(IV) det(
2 AB) =
Est´a correto o que se afirma em (a)^ (I), (III) e (IV), apenas. (b)^ (II) e (IV), apenas.^ (c)^ (I) e (III), apenas. (d)^ (I) e (IV), apenas.^ (e)^ (II) e (III), apenas.
Q7.^ Considere as afirma¸
c˜oes abaixo sobre matrizes
A, B
∈^ M^3
(R).
(I) det(
A^ +^ B
) = det(
A) + det(
B)
(II) det(
λA) =
λ^ det(
A), para todo
λ^ ∈^ R
(III) det(
A) = det(
tA)
Assinale a alternativa correta. (a)^ Apenas as afirma¸
c˜oes (I) e (II) s˜
ao verdadeiras.
(b)^ Apenas a afirma¸
c˜ao (I) ´
e verdadeira.
(c)^ Apenas as afirma¸
c˜oes (II) e (III) s˜
ao verdadeiras.
(d)^ Apenas a afirma¸
c˜ao (III) ´
e verdadeira.
(e)^ Nenhuma das afirma¸
c˜oes ´e verdadeira.
Q8.^ Sejam
m, n
∈^ R. Considere as afirma¸
c˜oes abaixo acerca do sistema
^ x^1
+^ x 2
+^ mx
x+^1
x+^2
nx= 0^3 mx+^1
nx+^2
x= 0^3
(I) Se
n^6 =^
m, ent˜
ao o sistema tem uma ´
unica solu¸
c˜ao.
(II) Se
n^ =^
m^ e^ m
6 = 1, ent˜
ao o n´
umero de vari´
aveis livres do sistema ´
e 1.
(III) Se
n^ =^ m
e^ m^6 =
−1, ent˜
ao o n´
umero de vari´
aveis livres do sistema ´
e 2.
Est´a correto o que se afirma em (a)^ (I), apenas. (b)^ (II), apenas.^ (c)^ (I) e (II), apenas. (d)^ (I), (II) e (III).^ (e)^ (I) e (III), apenas.
Q9.^
Sejam
~u, ~v, ~
w^ ∈^
(^3) R.^ Sabendo que
~v^ = (
,^3 ,^ 1),
~w^ = (
−^2 ,^2 ,
−1) e que
~u^ −^ ~w
´e ortogonal a
~v, pode-se afirmar que
~u^ ·^ ~v^
´e igual a
(a)^ −
1 /^2
(b)^1
/^2
(c)^1 (d)^ −
(e)^0 Q10.^
Uma caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos tem 13 moedas to- talizando 83 centavos. Ent˜
ao, pode-se afirmar que o n´
umero de moedas de 1
somado com o n´
umero de moedas de 5 menos o n´
umero de moedas de 10 ´
e
igual a (a)^1 (b)^5 (c)^7 (d)^ −
(e)^ −
Q11.
Seja
a^ ∈^
R, e considere os pontos
A(a,
1 , a) e
B(1, a,
- e o vetor
~u^ =
(2, a, a
). Ent˜
−−→ao, AB ´e ortogonal a
~u^ se, e somente se,
a^ for igual a
(a)^2
/3 ou 2 (b)^ −
1 /3 ou 2
/^3
(c)^ −
1 /3 ou 2 (d)^ −
1 /^3
(e)^2
/^3
Q15.
Considere as afirma¸
c˜oes abaixo a respeito de vetores
~u^ e^ ~v
de^ R
(I) Se 4
~u^ +^ ~v
´e ortogonal a 2
(^1) ~u − 2 ~v, ent˜
ao^ ‖~v
‖^ = 4
‖~u‖.
(II)^ ‖
~u^ +^ ~v
2 ‖+^ ‖
~u^ −^ ~v
(^2) ‖~u‖+ 2
(^2) ‖~v‖.
(III) Existe apenas uma quantidade finita de pares de vetores
{~u, ~v
}^ com
~u^6 =^ ~v
que satisfazem
‖~u^ −
(^2 2) ~v‖ =^ ‖~u‖
(^2) ~v‖− 4 ‖~u‖‖
~v‖.
Est´a correto o que se afirma em (a)^ (II) e (III), apenas. (b)^ (I), apenas. (c)^ (I), (II) e (III). (d)^ (I) e (II), apenas. (e)^ (I) e (III), apenas. Q16.^ Seja
~u^ um vetor de
3 R.^
Sabendo que
‖~u‖^
= 4, que
~u^ ´e ortogonal ao
vetor (
,^ −^1 ,^ 0) e que
~u^ faz um ˆ
angulo de 45 graus com o vetor (
,^0 ,^ 1), pode-
se afirmar que a soma das coordenadas de
~u^ vale
(a)^ 4 ou 20
/^3
(b)^ 4 ou
−^14 /
(c)^ −
4 ou 14
/^3
(d)^20
/3 ou
−^4
(e)^20
/3 ou 14
/^3
Questão 1 Alternativa A
23 DE
45 DE
67 DE
89 AC
1011 AE
1213 EE
1415 AD
16 A
