Raciocino logico, Notas de estudo de Informática

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RACIOCÍNIO

LÓGICO

CONCURSOS PÚBLICOS/

FORMAÇÃO DE PROFESSORES

(teoria, questões comentadas, exercícios propostos)

Ilydio Pereira de Sá

Prefácio

Quando o professor Ilydio me falou sobre seu novo livro, fiquei muito contente. Logo pensei: são boas notícias para os nossos alunos e certamente um enorme desafio para o Ilydio! Sim, isso mesmo, um desafio! Depois de escrever “A Magia da Matemática” e experimentar o estrondoso sucesso, a certeza que todos nós de- positávamos sobre Ilydio tornaram-se expectativas: será que sua nova obra estará no mesmo patamar, ou acima? Quando eu vi o título “Raciocínio Lógico: concursos e formação de professores” , confesso que fiquei preocupado. O motivo de minha preocupação residiu sobre a proposta da obra: como seria possível conciliar a preparação para concursos com a formação de professores? Nós, professores, sabemos que, no meio dos concur- sos, a postura que reina absoluta entre os alunos é o imediatismo. Tudo deve ser resolvido rapidamente, pelo atalho e pelo macete. Na formação de professores, ao contrário, buscamos uma postura que busca a totalidade e a interligação de saberes. A resolução de problemas se dá de modo mais lento, através de discussões das quais todo imediatismo passa longe. Como conciliar posturas tão antagônicas? Após concluir a leitura desta obra, tiro o chapéu para o grande Mestre Ilydio Pereira de Sá! O seu texto consegue ser dinâmico e profundo, interessante e ágil, com exercícios e exposições interessantíssimas. As dezenas e mais dezenas de exercícios pro- postos, e com gabarito, foram muito bem escolhidas e servem aos objetivos do texto como complemento e reforço, sem abrir mão da perturbação tão importante que fará o leitor repensar os conteúdos apresentados. A leveza de “A Magia da Matemática” não foi um acaso, ela agora se institui como o estilo de seu autor. O candidato que se prepara para um concurso encontrará um texto objetivo que apresenta tudo o que deve ser apresentado, de uma maneira diferenciada, que certamente se perpetuará sobre a própria preparação do candidato. Apostilas sobre o mesmo as- sunto são sempre superficiais e apenas apresentam exercícios, desprovidos de contexto. É pouco provável que, ao ler “Ra-

Sumário

VIII Raciocínio Lógico

• Introdução....................................................................................... Prefácio.......................................................................................V
• 1. Noções Básicas da Lógica Matemática....................................
• 1.1)Proposições - Cálculos Proposicionais...................................
  • Exercícios Propostos (lista 1)..............................................
  • Gabarito (lista 1).................................................................
• 1.2) Problemas com Tabelas....................................................... - Exercícios Propostos (Lista 2)............................................. - Gabarito (lista 2)..............................................................
• 1.3) Argumentação Lógica:..........................................................
  • Exercícios Propostos (Lista 3).............................................
  • Gabarito (lista 3)................................................................
• 1.4) Argumento Dedutivo e Argumento Indutivo........................
• 2. A Teoria dos Conjuntos e Problemas com Diagramas.............
  • Exercícios Propostos (lista 4)..............................................
  • Gabarito (lista 4).................................................................
• Importantes Métodos Algébricos e Aritméticos....................... 3) Questões Clássicas de Raciocínio e
• 3.1) Regra de Três........................................................................
• 3.2) Regra de Sociedade............................................................
• 3.3) Regra do Falso Número ou da Falsa Posição..................... - Exercícios Propostos (lista 5)......................................... - Gabarito (lista 5)............................................................
• 3.4) O Princípio da Casa dos Pombos.......................................
• (do Fim para o Começo).......................................................... 3.5) Aplicando as Operações Inversas
• de Contagem e de Probabilidades............................................ 3.6) O Princípio Multiplicativo, Problemas
  • Exercícios Propostos (lista 6).........................................
  • Gabarito (lista 6)............................................................
• 3.7) Seqüências Lógicas e Lei de Formação..............................
  • Exercícios Propostos - lista 7.........................................
  • Gabarito (lista 7)............................................................
• 4. Verdades e Mentiras...........................................................
  • Exercícios Propostos - lista 8.........................................
  • Gabarito (lista 8)............................................................
• 5. Questões Gerais de Raciocínio Lógico...............................
• Gabarito - Exercícios Gerais....................................................
• Bibliografia...............................................................................
• O Autor.....................................................................................

2 Raciocínio Lógico

matemática, que encontrarão aqui material complementar à sua formação com diversas sugestões de exercícios e atividades que possam contribuir para o preparo de suas aulas, visando o desen- volvimento do raciocínio lógico matemático de seus alunos.

O nosso trabalho está dividido em cinco partes:

I) Noções Básicas da Lógica Matemática. II) A Teoria dos Conjuntos e os “Problemas com Diagramas”. III) Questões Clássicas de Raciocínio e Importantes Métodos Algé- bricos e Aritméticos. IV) Verdades e Mentiras V) Questões gerais sobre Raciocínio Lógico

1. Noções Básicas de Lógica Matemática

1.1) Proposições - cálculo proposicional

Definições básicas:

•Denominamos proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Exemplos: a) A lua é um satélite da Terra. b) 7 < 9 c) Pelé é o nome de um planeta do Sistema Solar.

As proposições são sentenças fechadas e que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.

Uma sentença do tipo x > 2 não pode ser considerada uma proposição pois o julgamento de sua veracidade vai depender do valor atribuído à variável x. Sentenças deste tipo são denominadas abertas.

Exemplos: a) “Fulano” é jogador de futebol. b) 3x + 2 = 11 c) “Ela” é eficiente.

•Denomina-se conjunto Universo de uma sentença aber- ta ao conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Ao subconjunto formado pelos valores da variável que tornam a sentença verdadeira denominamos conjunto verdade ou conjunto solução da sentença aberta.

Exemplo: Considere a sentença aberta: x é um número natural, múltiplo de 3. Considere ainda o conjunto Universo {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} Neste

Noções Básicas de Lógica Matemática 5

Os principais conectivos e modificadores usados em lógica são: A) Negação:

Se uma proposição p for verdadeira, a sua negação (~p) será falsa e se a proposição p for falsa, a sua negação ~p será verdadeira.

A tabela-verdade que representa uma proposição p e a sua negação ~p será:

p ~p V F F V

B) Conjunção (“e”) , símbolo ∧^ :

Dadas duas proposições p e q, a conjunção dessas proposições será a proposição composta p e q (p ∧^ q), que só será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras, sendo falsa nos demais casos. A tabela verdade da conjunção p ∧^ q será:

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Exemplos: Indique o valor lógico das proposições seguintes:

A) “A neve é branca e o sal de cozinha é doce” Resposta: Falso, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa (linha 2 da tabela-verdade). B) “O algodão é duro e Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.”

6 Raciocínio Lógico

Resposta: Falso, pois a primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira (linha 3 da tabela-verdade).

C) Disjunção: (“ou”), símbolo ∨ :

Dadas duas proposições p e q, a disjunção dessas proposições será a proposição composta “p ou q” (p (^) ∨ q), que será verdadeira quando, pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira, ou seja, a disjunção só será falsa quando ambas as proposições forem falsas.

A tabela-verdade da disjunção p (^) ∨ q será:

p q p (^) ∨ q V V V V F V F V V F F F

Exemplos: Qual o valor lógico das proposições seguintes:

A) “Paris é a capital da França ou 1 + 2 = 7 ” Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. (linha 2 da tabela-verdade).

B) “9 é um número primo ou 16 é múltiplo de 4”. Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposição é falsa, mas a segunda é verdadeira. (linha 3 da tabela-verdade)

C) “15 é um número par ou o Brasil fica na América do Norte” Resposta: Falso, pois ambas as proposições são falsas. (linha 4 da tabela-verdade).

8 Raciocínio Lógico

Podemos considerar que sua atitude estava de acordo com a frase lida, e também estaria caso resolvesse não entrar, já que nada era dito aos torcedores dos demais times.

Um outro exemplo é a proposição: “Se a Terra é plana, en- tão o quiabo é um mineral”, é considerada logicamente verdadei- ra, pois a primeira proposição é falsa e a segunda também é falsa. (linha 4 da tabela-verdade).

Mais um exemplo: A proposição: “Se o alface é um vegetal, então 4 + 3 = 9” é considerada logicamente falsa, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. (linha 2 da tabela-verdade).

Uma outra forma de observarmos uma proposição con- dicional é considerá-la como a inclusão de um conjunto (p), em outro (q). Ou seja, sempre que p ocorre, q também ocorre.

Podemos sempre imaginar através de um diagrama, que o condicional p → q representa um conjunto associado a p, contido em outro conjunto associado a q.

Exemplo: Se o jovem é escoteiro, então é leal.

p

q

Noções Básicas de Lógica Matemática 9

A proposição condicional acima pode ser representada da seguinte forma:

E) Proposição Bicondicional: (“p se e somente se q”), símbolo p ↔ q

O valor lógico da proposição bicondicional só será verda- deiro no caso em que ambas as proposições apresentarem valores lógicos iguais, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas.

A tabela-verdade da proposição bicondicional será:

p q p ↔^ q V V V V F F F V F F F V

Exemplo: A proposição: “O açúcar é doce, se e somente se o Brasil está na América do Sul” é logicamente verdadeira, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda também é verdadeira. (linha 1 da tabela-verdade).

Pessoas que são leais

Escoteiros

Noções Básicas de Lógica Matemática 11

B) Quantificador Existencial (símbolo (^) ∃ )

Significa: “Para algum”, “Existe algum” Exemplo: x é um número par é uma sentença aberta. A sentença: ∃^ x/x é um número par (Lê-se: Existe algum x, tal que x é par) é uma proposição. (Logicamente verdadeira).

Obs: A variável x neste exemplo pertence ao universo dos números inteiros.

Construção de tabelas-verdade: Dadas várias proposições simples: p, q, r, s, ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos que estudamos (~, (^) ∧ , ∨ , etc) e construir proposições compostas, tais como: (p ∧ q) → (~p (^) ∨ r).

É possível construirmos tabelas-verdade correspondentes a qualquer proposição composta dada. Esta tabela mostrará os casos em que a proposição composta é verdadeira ou falsa, de acordo com os valores lógicos das proposições simples que a compõem, bem como dos conectivos que foram usados. As tabelas verdade poderão ser muito úteis na análise de argumentos lógicos, que mos- traremos posteriormente.

OBS: A tabela-verdade de uma proposição composta terá

2 n^ linhas, sendo n o número de proposições simples existentes.

A justificativa da propriedade acima é decorrente de matemáti- ca combinatória e do princípio fundamental da contagem. Cada proposição simples tem duas possibilidades de julgamento (V ou F), como são n proposições, teremos: 2. 2. 2. 2. 2 .....= 2 n

“Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” (Cora Coralina)