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A Função Composta e a Regra da Cadeia
Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, freqüentemente, precisamos diferenciar potências dessas funções. Por exemplo, se
y fx^2 , (1)
a regra da derivada do produto de funções, dá
dy dx
Dxfx.fx
fx.fx fx.fx
e, agrupando os termos, obtemos:
dy dx
2 fxfx. (2)
É surpresa que a derivada de (^) fx^2 não seja simplesmente 2 fx, como poderíamos esperar por analogia com a fórmula Dxxn^ nxn^1 , com n 2? Há um fator adicional, fx, cuja origem pode ser explicada escrevendo-se y (^) fx^2 , na forma
y u^2 com u fx.
Então
dy dx
Dxfx^2 ,
dy du
2 u (^2) fx e
du dx ^ f
x ,
de modo que a forma da derivada na equação (^) (^2) , acima, toma a forma
dy dx
dy du
. du dx
A equação (3) - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer y gu e u fx. A forma da equação (2) é simplesmente um caso especial desta, com gu u^2.
Exemplo 1 :
Se
y 3 x 5 ^17 ,
não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 17 a^ potência de 3 x 5 : o resultado seria um polinômio com 18 termos e alguns coeficientes teriam até 14 algarismos! Mas, se escrevermos
y u^17 com u 3 x 5 ,
então dy du
17 u^16 e du dx
Assim, a regra da cadeia fornece
Dx 3 x 5 ^17
dy dx ^
dy du.^
du dx ^ ^17 u
17 3 x 5 ^16 .3 51 3 x 5 ^16.
Confira este resultado, calculando Dx 3 x 5 ^17 no SN.
Exemplo 2 :
Para uma interpretação física da regra da cadeia, imagine uma refinaria de petróleo que produza u litros de gasolina de x barris de óleo cru. Então, em um segundo processo, a refinaria produz y gramas de um produto petroquímico a partir dos u litros de gasolina. A figura 5 ilustra os dois processos.
x barris de óleo cru Processo 1 u litros de gasolina Processo 2 y gramas de petroquímico
figura 1
y é, assim, uma função de u e u é uma função de x, de modo que a saída final, y, é uma função também da entrada x. Considere as unidades em que as derivadas destas funções são medidas:
dy du
: g l
(gramas de petroquímico por litro de gasolina)
du dx
: l barril
(litros de gasolina por barril de óleo)
dy dx
: g barril
(gramas de petroquímico por barril de óleo)
Levando essas unidades a cada termo correspondente da equação (3) obtemos: g barril
g l
. l barril
O prático cancelamento das unidades no segundo membro desta última igualdade, parece confirmar a validade da regra da cadeia. Por exemplo, se obtemos 3 gramas de petroquímico por litro de gasolina e 75 litros de gasolina por barril de óleo, como poderíamos deixar de obter 3 75 225 gramas de petroquímico por barril de óleo?
Obs .:
No caso de termos y gfx, a regra da cadeia (enunciada em (3)) pode ser escrita na forma:
Dxgfx gfx.fx. (4)
Esta notação tem a vantagem de especificar os valores das variáveis nos quais se calculam as derivadas. Neste caso, fx é chamada derivada da função interna.
A Regra da Cadeia para as funções trigonométricas
Se u fx então:
Dxsenu cos u.Dxu Dx cot gu cos ec^2 u.Dxu Dx cos u senu.Dxu Dx sec u sec u.tgu.Dxu Dxtgu sec^2 u.Dxu Dx cos ecu cos ecu. cot gu.Dxu
