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Título : Matemática Aplicada
Conteúdo :
RELAÇÕES
RELAÇÕES BINÁRIAS
Uma relação binária R sobre dois universos A e B é
R C A x B
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto deA×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.
Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a ∈A eb ∈B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:
- (a,b) ∈R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
- (a,b) ∈R:dizemos que "a não é R relacionado a b", escrevendo Rb.
O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.
Exemplos:
- Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.
- Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também denotado por δ.
- Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.
Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.
Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).
PAR ORDENADO
CONCEITO
Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b).
DEFINIÇÃO
O par ordenado (a, b) foi definido como {{a}, {a, b}} por K. Kuratowski em 1921. Em 1914 Wiener deu uma definição, historicamente importante, para par ordenado definindo (a, b) como {{a, Ø}, {b, Ø}}}.
ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO
Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento, segunda coordenada ou segunda projeção.
- O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ...
ELEMENTO DE UM CONJUNTO
Os elementos de um conjunto são os objetos que estão no conjunto. Por exemplo, um gestor é um elemento do conjunto de todas as pessoas, mas uma cadeira não é. O elemento de um conjunto também é chamado de membro desse conjunto.
DESCREVENDO UM CONJUNTO POR EXTENSÃO (OU ENUMERAÇÃO)
Um conjunto pode ser descrito por extensão (enumeração) quando escrevemos todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas ou ponto e vírgulas:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
ou
P = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
Desse modo sabemos que 6 está no conjunto P (6 pertence ao conjunto P), mas 11 não.
Quando um conjunto tem muitos elementos podemos representá-lo usando reticências e apenas alguns de seus elementos, se estiver claro quais elementos pertencem ao conjunto e quais não pertencem. Exemplo:
A = {1, 3, 5, 7, ... 997, 999}
Nesse caso A é o conjunto dos números naturais ímpares menores que 1000. Como 701 é um número natural ímpar e menor que 1000, então 701 está em A. As reticências indicam a repetição de um padrão reconhecível. Os números 1, 3, 5, 7 são os primeiros naturais ímpares. As reticências indicam os naturais ímpares que os sucedem.
Podemos indicar um conjunto com infinitos elementos escrevendo seus primeiros elementos (que formam um padrão reconhecível) entre chaves separados por vírgulas e com reticências. O conjunto I de todos os números naturais ímpares será representado por:
I = {1, 3, 5, 7, ...}
O conjunto de todos os quadrados dos números inteiros positivos será:
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos. Exemplo: São apresentados três conjuntos utilizando o diagrama de Venn:
[pic]
REPRESENTANDO UM CONJUNTO POR ABSTRAÇÃO (COMPREENSÃO)
Podemos também representar um conjunto por abstração (compreensão) quando seus elementos são conhecidos através de uma propriedade comum a eles. Nesse caso denota-se o conjunto por:
{x : p(x)} ou por {x | p(x)}
- Niterói, Porto Alegre e Belo Horizonte pertencem ao conjunto das cidades do Brasil;
Se um objeto x não é membro de um conjunto B, isto é, se x não pertence a B, indicamos isso pela notação:
x ε B
(lê-se "x não pertence a B" ou "x não está em B")
Se A = {a, e, i, o, u} temos a ε A; o ε A; b ε A; h ε A, etc.
Além disso, podemos dizer que:
- Os elementos que pertencem ao conjunto {2, 4, 8, 1} são exatamente os números 2, 4, 8, 1.
- O único elemento do conjunto {7, 7, 7} é o número 7.
- Os dois únicos elementos do conjunto {0, 1, 0, 1, 0} são 0 e 1
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO
O número de elementos de um conjunto é o número de diferentes elementos de um conjunto. Se um conjunto A tem exatamente 7 elementos distintos, dizemos isso usando uma das seguintes notações:
n(A) = 7
Exemplos:
- Se S = conjunto dos dias da semana, então n(S) = 7;
- Se U é um conjunto unitário, então 1 = n(U);
- Temos n(Ø) = 0, pois o conjunto vazio tem zero elementos distintos;
- Se J = conjunto dos dias de janeiro, então n(J) = 31, pois janeiro tem 31 dias.
- Se M = {x ε N : 4 < x < 9}, então n(M) = 4), pois na verdade M = {5, 6, 7, 8} tem exatamente 4 elementos diferentes
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Intuitivamente um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes, isto é, se ao contarmos os diferentes membros do conjunto em questão, o processo de contagem chega a um final. Caso contrário o conjunto é infinito. Um conjunto F é finito se não existe uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F. Se existir uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F então o conjunto F é infinito. Por exemplo, o conjunto 2Z dos inteiros pares é subconjunto próprio do conjunto Z dos números inteiros e Z é infinito pois existe uma função bijetora f : Z - > 2Z , por exemplo f(n) = 2n. Se Z fosse um conjunto finito não poderia haver tal bijeção.
Exemplos:
- Seja S o conjunto dos dias da semana. Como S tem 7 elementos, S é finito;
- Seja J o conjunto dos dias do mês de janeiro, como n(J) = 31, então J é finito;
- O conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } dos números naturais é infinito;
- O conjunto P = {0; 2; 4; 6; 8; ... } dos números naturais pares é infinito;
- O conjunto D dos dias de um ano bissexto é finito, pois n(D) = 366;
- O conjunto R = {x : x é um rio da Terra} (conjunto dos rios da Terra) é finito. Mesmo sendo difícil contar o número de rios da Terra, ainda assim R é um conjunto finito;
- O conjunto de grãos de areia em uma praia é finito, pois mesmo sendo eles em grande quantidade, e difíceis de serem contados, não podem ser em número infinito, pois ocupam uma porção finita de espaço.
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são iguais quando tem os mesmos elementos. Isto é, quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Este modo de verificar se dois
