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RELATÓRIO PRÁTICA 4 ÓTICA - FISICA BACHARELADO
Tipologia: Trabalhos
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Pela Lei de Snell-Descartes^1 , o produto do ´ındice de refra¸c˜ao do meio no qual a luz se propaga pelo seno do ˆangulo que o raio luminoso forma com a normal ´e constante. Assim, segue que:
narsen(θ 1 ) = nprismasen(r 1 ) (3) A condi¸c˜ao de desvio m´ınimo ´e a igualdade dos ˆangulos de incidˆencia e emergˆencia do prisma^2 , sendo, conforme a Figura 1.1, θ 1 = θ 2 = θ, o que resulta em r 1 = r 2 = r, d 1 = d 2 = d e θ = d + r. A partir da an´alise do triˆangulo formado, tendo como a base o raio que atravessa o prisma e que ´e oposta ao ˆangulo de refringˆencia, A, obtemos:
A + 90◦^ − r + 90◦^ − r = 180◦^ =⇒ A = 2r =⇒ r =
Observa-se agora o triˆangulo menor que tem como base o raio que percorre o prisma e v´ertice oposto `a mesma formado pela intersec¸c˜ao dos prolongamentos dos raios que incidem e emergem do corpo ´optico. Vemos:
d + d + (180◦^ − δ) = 180◦^ =⇒ δ = 2d (5)
Como θ = d + r, substituindo d na Equa¸c˜ao 5, implica que:
δ = 2θ − 2 r =⇒ δ = 2θ − A =⇒ θ =
δ + A 2
Desse modo, tomando nar ≈ 1, substitui-se as Equa¸c˜oes 4 e 6 na Equa¸c˜ao 3. Finalmente:
nprisma =
sen
δm+A 2
sen
A 2
Quando um feixe de luz ´e refratado nas faces de um prisma^3 , ele tem sua tra- jet´oria desviada, sendo poss´ıvel medir o desvio total sofrido pelo raio emer- gente em rela¸c˜ao ao raio incidente. Na Figura 1.2, mostra-se, qualitati- vamente, como se comporta esse des- vio D em fun¸c˜ao do ˆangulo i de in- cidˆencia. Constata-se que, conforme i aumenta, D decresce, at´e atingir um ponto Dm, o chamado desvio m´ınimo. Se i segue aumentando, D tamb´em tende a crescer. Assim, ao tratar o ponto de inflex˜ao do gr´afico neste caso, verifica-se que os ˆangulos de incidˆencia e emergˆencia s˜ao iguais.
Figura 1.2 - Gr´afico do desvio D em fun¸c˜ao do ˆangulo de incidˆencia i, com o m´ınimo(Dm).
(^1) Cf. Nussenzveig, H. Moys´es.Curso de f´ısica b´asica: 4: Otica, Relatividade e F´´ ısica Quˆantica. 1. ed. S˜ao Paulo: Edgard Bl¨ucher, 1998. p. 7. (^2) Ribeiro, Jair L´ucio Prados. Demonstra¸c˜ao alg´ebrica das condi¸c˜oes de ocorrˆencia do desvio m´ınimo em um prisma de base triangular. 2013.
3 Procedimento Experimental
Dispomos de:
Primeiramente alinhou-se o laser com o goniˆometro e com a marca¸c˜ao da haste, de forma a estabelecer um sistema de referˆencia, como mostra Figura??. Colocou-se um prisma com a face alinhada com a linha AB da mesa girat´oria, de forma que o v´ertice ficasse pr´oximo ao centro da mesa e a luz do laser incidisse pr´oxima a este.
A
laser
Figura 3.1 - Arranjo Experimental
Varia-se o ˆangulo de incidˆencia do raio do laser girando em algum sentido a mesa girat´oria, cuidando para n˜ao mover nenhuma outra parte do equipamento. Observando-se uma mudan¸ca no raio de sa´ıda, desloca-se a haste alinhando-a ao raio e medindo por ela o ˆangulo de desvio do raio de laser. Anotou-se os valores de ˆangulos de desvios em tabela. Repetiu-se o procedimento anterior para diversos ˆangulos de incidˆencia para o caso de dois prismas: um de vidro e outro de acr´ılico; atentando para n˜ao excedermos o ˆangulo cr´ıtico. Utilizaram-se dos dados na Tabela para plotar este comportamento em gr´afico. Os mesmos experimentos s˜ao realizados com o prisma oco cheio de ´agua e com o segundo prisma de vidro, por´em para estes s´o ´e anotado o valor de ˆangulo de desvio m´ınimo para o calculo do ´ındice de refra¸c˜ao de seus respectivos materiais, descartando-se todos os outros ˆangulos.
4 Resultados e discuss˜oes
Nessa se¸c˜ao mostramos os resultados experimentais bem como o te´orico para o prisma de vidro com abertura angular (A) igual a 45◦. Na tabela 1 medimos os ˆangulos de incidˆencia do lˆeiser e tamb´em o ˆangulo de desvio ap´os passar pelo prisma , com isso constru´ımos o gr´afico 1, onde verificado alguns erros experimentais ao medir os ˆangulos citados a cima.
∂n ∂δm =^
cos( δm 2 + A) 2 ∗sen( A 2 ) e^
∂n ∂A =^
−sen( δm 2 ) 2 ∗[sen( A 2 )]^2 Para calcular a incerteza de nprisma foi usado a equa¸c˜ao abaixo
δn =
cos(δm 2 + A) 2 ∗ sen(A 2 )
)^2 ∗ (δδm )^2 + (
−sen(δ 2 m ) 2 ∗ [sen(A 2 )]^2
)^2 ∗ (δA)^2 (9)
Resolvendo a equa¸c˜ao com os valores j´a conhecidos calamos o valos da incerteza de δn de vidro. Logo o valor de nprisma com a incerteza fica nprisma = 1, 457 ± 0 , 006
Nessa se¸c˜ao mostramos os resultados experimentais bem como o te´orico para o prisma de acr´ılico equil´atero com abertura angular (A) igual a 60◦. Na tabela 1 medimos os ˆangulos de incidˆencia do lˆeiser e tamb´em o ˆangulo de desvio ap´os passar pelo prisma , com isso constru´ımos o gr´afico da figura 4.
θi [◦] Anguloˆ de desvio(δ) [◦] 25 , 0 ± 0 , 5 43 , 0 ± 0 , 5 30 , 0 ± 0 , 5 40 , 0 ± 0 , 5 35 , 0 ± 0 , 5 38 , 0 ± 0 , 5 40 , 0 ± 0 , 5 37 , 0 ± 0 , 5 45 , 0 ± 0 , 5 37 , 0 ± 0 , 5 50 , 0 ± 0 , 5 35 , 0 ± 0 , 5 55 , 0 ± 0 , 5 36 , 0 ± 0 , 5 60 , 0 ± 0 , 5 37 , 0 ± 0 , 5
Figura 3: Resultados experimentais para o prisma de abertura angular 60◦
Figura 4: Gr´afico do desvio angular em fun¸c˜ao do ˆangulo de incidˆencia para o prisma equil´atero de acr´ılico
O gr´afico da Figura 2 se ajustou de maneira satisfat´oria a uma fun¸c˜ao do segundo grau, como mostrado a figura e que escrevemos mais abaixo.
f (x) = 0, 011 x^2 − 1 , 12 x + 63, 80
Considerando que a fun¸c˜ao anterior ´e diferenci´avel e derivando a mesma em rela¸c˜ao a x, em seguida igualando o resultado a zero. obtemos:
f ′(x) = 0, 022 x − 1 , 12 = 0
Dai conclu´ımos que o ponto x minimo, ou seja , o ˆangulo de incidˆencia minimo para que tenha o menor desvio ´e xminimo = 50, 91 ◦, substituindo xminimo na equa¸c˜ao 1 e fazendo as opera¸c˜oes b´asicas, obtemos o valor do desvio minimo igual a 35, 29 ◦^ ± 0 , 01 ◦.
Dispondo do ˆangulo de desvio minimo e do ˆangulo de abertura do prisma ´e poss´ıvel calcular o ´ındice de refra¸c˜ao do prisma, se o ˆangulo de desvio ´e 35, 29 ◦^ ± 0 , 01 ◦^ e a abertura angular ´e A = 60◦^ ± 0 , 5 ◦.
nprisma = 1, 478 ± 0 , 009
A incerteza de nprisma foi calculada com a mesma equa¸c˜ao da se¸c˜ao anterior.
Nessa se¸c˜ao mostramos os resultados experimentais para o ´ındice de refra¸c˜ao do prisma de equil´atero de vidro com abertura angular (A) igual a 60◦^ ± 0. 5 ◦. Sendo o ˆangulo de desvio m´ınimo (medido experimentalmente) igual a 37◦^ ± 0. 5 ◦. Dessa forma, temos:
nprisma = 1, 498 ± 0 , 016 A incerteza de nprisma foi calculada com a mesma equa¸c˜ao da se¸c˜ao 4.3.
Nessa se¸c˜ao mostramos os resultados experimentais para o ´ındice de refra¸c˜ao do prisma de equil´atero de vidro com abertura angular (A) igual a 60◦^ ± 0. 5 ◦. Sendo o ˆangulo de desvio m´ınimo (medido experimentalmente) igual a 44◦^ ± 0. 5 o. Dessa forma, temos:
nprisma = 1, 576 ± 0 , 016
Aqui, da mesma forma que nos casos anteriores, a incerteza de nprisma foi calculada com a mesma equa¸c˜ao da se¸c˜ao 4.3.
5 Conclus˜ao
Sabe-se que um raio luminoso ao incidir em um prisma sofre refra¸c˜ao e seu ˆangulo de desvio pode ser encontrado empiricamente, onde `a medida que o ˆangulo de incidˆencia cresce, o ˆangulo de desvio total descrece at´e chegar ao desvio m´ınimo, e logo ap´os o ˆangulo de desvio aumentar´a conforme o aumento do ˆangulo de incidˆencia. Nesta experiˆencia fora poss´ıvel demonstrar tal fenˆomeno perfeitamente atrav´es do gr´afico desenhado a partir de dados empiricos. Verificando o gr´afico da figura 2, nota-se que os resultados experimentais est˜ao aproximadamente de acordo com os te´oricos demonstrado pela par´abola, uma vez que o ˆangulo de desvio diminui at´e um valor m´ınimo e logo ap´os aumenta. Com tais dados, achamos um ´ındice de refra¸c˜ao para o prisma de vidro de abertura A=45:
nExperimental vidro I = 1. 457 ± 0. 006
Referˆencias
[1] Tipler Paul;Mosca,Gene.F´ısica para cientistas e Engenheiros vol 2 , 6o^ ed ,editora LTC, Rio de Janeiro ,2009.
[2] SILVA, Dˆenis Aparecido da. Sobre problemas de m´aximo e m´ınimo na Geometria Euclidi- ana. 2013.
[3] Ribeiro, Jair L´ucio Prados. Demonstra¸c˜ao alg´ebrica das condi¸c˜oes de ocorrˆencia do desvio m´ınimo em um prisma de base triangular. 2013.
