Resolução de exercícios, Exercícios de Mecânica

Baixe Resolução de exercícios e outras Exercícios em PDF para Mecânica, somente na Docsity! Física I -2009/2010 1a Série - Vectores - Resolução Questões: Q1 - Dado o vector A da figura seguinte, desenhe os vectores 1 2 A e 2A. A 2A A 1 2 Q2 - Para cada um dos pares de vectores A e B seguintes, obtenha graficamente o vector diferença A−B a) A A A A B - B -B b) A A A B -B - B c) A A A B -B - B 1 Q3 - Dados os vectores A e B seguintes, obtenha graficamente o vector C = 2A− 3B. A B Q4 - Obtenha os valores numéricos das componentes (escalares), segundo os eixos dos x e dos y, de cada um dos vectores indicados. a) A x y 130º 5 0 As componentes escalares do vector A são: Ax = 5cos 130 ◦ = 5× (−0.64) = −3. 2 Ay = 5 sin 130 ◦ = 3. 8 b) B x y 30º 4 0 As componentes escalares do vector B são: Bx = 4cos 210 ◦ = −4 cos 30 ◦ = −3. 5 By = 4 sin 210 ◦ = −4 sin 30 ◦ = 2.0 c) C x y 45º5 0 As componentes escalares do vector C são: Cx = 5cos (−45 ◦) = 3.5 Cy = 5 sin (−45 ◦) = −3.5 2 b) x y 0 5 30º 30º A Ax = 5cos (30 ◦ + 30 ◦) = 2. 5 Ay = 5 sin (30 ◦ + 30 ◦) =: 4. 3 c) xy 0 5 30º A 45º Ax = 5cos (30 ◦ − 45 ◦) = 4. 8 Ay = 5 sin (30 ◦ − 45 ◦) = −1. 3 5 Problemas: Nestes problemas, os vectores unitários que definem a direcção e sentido dos eixos coorde- nados x, y, z são denominados, respectivamente, por i, j, k. P1 - Calcule: a) O módulo do vector a = i+ 2j + 2k; | a| = √ 1 + 4 + 4 = 3 b) O vector unitário com a direcção e sentido de a (Dado um vector a, o vector unitário com a direcção e sentido de a, que poderemos denotar por ba, denomina-se versor de a) ba = a | a| = 1 3 i+ 2 3 j + 2 3 k P2 - Dados os vectores a e b, cujas componentes segundo os eixos coordenados x, y e z são, respectivamente, ax = 5; ay = 4; az = −3; bx = 3; by = −4; bz = 5, determine: a) O vector c = 6a− 3b; Os vectores a e b podem ser escritos na forma a = 5i+ 4j − 3k b = 3i− 4j + 5k. Assim, c = 6a− 3b = (30− 9) i+ (24 + 12) j + (−18− 15) k = 21i+ 36j − 33k. b) A quantidade a2 + b2; Dado um vector v, podemos definir o produto interno ou escalar do vector v por si própio com sendo v2 = v · v. Consequentemente, a2 + b2 = a · a+ b · b = 25 + 16 + 9 + 9 + 16 + 25 = 100. c) O ângulo entre os vectores a e b; O produto interno dos vectores a e b pode ser escrito na forma a · b = |a| ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ cos θ, em que θ é o ângulo entre as direcções de a e b, e pode ser escrito também na forma a ·b = axbx+ayby+azbz. Consequentemente, |a| ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ cos θ = axbx + ayby + azbz 6 e cos θ = axbx + ayby + azbz |a| ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ = 5× 3− 4× 4− 3× 5 √ 25 + 16 + 9 √ 9 + 16 + 25 = −0.32 : −16.0 O ângulo θ é, então, θ = arccos (−0.32) = 1. 896 5 rad = 108.7 ◦ d) A projecção de b segundo a. O vector que resulta da projecção de b segundo a é um vector com módulo ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ cos θ e a direcção e sentido do vector a, ou seja, é o vector ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ cos θ a |a| = ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ a · b |a|2 ¯̄ ¯b ¯̄ ¯ = a · b |a|2 = − 16 ³ 5i+ 4j − 3k ´ 50 = −1.6i− 1.28j + 0.96k. P3 - Dados os pontos P (x1, y1, z1) e Q (x2, y2, z2), escreva a expressão cartesiana (isto é, em termos dos vectores unitários segundo os eixos dos x, y, z) do vector −−→ PQ e e obtenha a expressão do seu módulo. O vector −−→ PQ tem origem no ponto P (x1, y1, z1) e extremidade no ponto Q (x2, y2, z2). Portanto, −−→ PQ = x2i+ y2j + z2k − ³ x1i+ y1j + z1k ´ = (x2 − x1) i+ (y2 − y1) j + (z2 − z1) k. O módulo deste vector é ¯̄ ¯ −−→ PQ ¯̄ ¯ = q (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 + (z2 − z1) 2 P4 −Considere os dois vectores u e v, no plano x0y, possuindo, respectivamente, os módulos√ 3 e 1. O vector u faz com o semi-eixo 0x um ângulo de 30o e o vector v faz com esse semi-eixo um ângulo de 60o. Calcule: a) As componentes de u e v, segundo os eixos dos x, y, z; b) As componentes da resultante da adição de u e v; c) O módulo dessa resultante; d) As componentes do vector diferença u− v; e) O módulo do vector u− v; f) O produto interno u · v. 7 Física I -2009/2010 2a Série - Força e Movimento 1 - Resolução Questões: Q1 - Duas ou mais forças estão aplicadas aos corpos em cada uma das alíneas. Desenhe, em cada caso, o vector força resultante, Fres. a) FR b) FR c) FR d) FR Q2 - Identifique todas as forças aplicadas aos corpos seguintes, nas condições especificadas. a) Um elevador, suspenso de um cabo, desce com velocidade constante. b) Uma mola em hélice comprimida está a empurrar um bloco sobre uma mesa com superfície rugosa. c) Um tijolo está cair do topo de um edifício de três andares. d) Um foguete é lançado com velocidade inicial fazendo um ângulo de 30o com a horizontal, Q3 - A figura apresenta um gráfico do módulo da aceleração em função do módulo da força aplicada, para um corpo de massa m. O gráfico apresenta os dados como pontos individuais, pelo quais foi traçada uma recta. Desenhe e identifique na figura o gráfico do módulo da aceleração em função do módulo da força aplicada, para corpos de massa: a) 2m; b) 0.5m. Forca (unidades arbitrarias) Forca (unidades arbitrarias) m m/2 2m Q4 - Uma força constante aplicada a um corpo, dá origem a uma aceleração deste último, com módulo 10 m/s2. Qual será o módulo da aceleração do corpo, se: a) O módulo da força aplicada passar para o dobro? b) A massa do corpo passar para o dobro? c) Tanto o módulo da força como o módulo da massa passam para o dobro? d) O módulo da força passa para o dobro e a massa passa para metade? 1 Q5 - As figuras mostram as forças aplicadas a um objecto em várias situações. Para cada caso, de- senhe o vector força resultante aplicada ao corpo e, na parte inferior de cada figura, o vector aceleração do corpo. a) FR a b) FR a c) a FR Q6 - Em cada uma das figuras seguintes falta uma força. Utilize a direcção da aceleração apresentada, em cada caso, para identificar a força em falta e desenhe-a na figura. a) a b) a c) a Q7 - Considere os seguintes diagramas de movimento para uma partícula. Desenhe o vector força resultante que actua na partícula na posição 2. a) 0 2 4 0 2 4 FR 2 b) 0 2 4 0 2 4 FR c) 2 4 0 2 4 0 FR d) 0 2 4 0 2 4 FR Q8 - Para cada uma das situações seguintes, esboce uma figura e represente todas as forças aplicadas ao corpo em causa. Em seguida, desenhe um diagrama dessas forças e faça uma legenda, identificando a origem de cada uma das fiorças. Por fim, represente, numa cor diferente, o vector que representa a força resultante, Fres, das forças aplicadas.. Nota - Em geral, num diagrama de forças não deve ser colocada a força resultante, por poder ser confundida com uma das forças individuais aplicadas. Neste exercício, excepcionalmente, pede-se que a força resultante, seja representada. Por isso, e para evitar confusão, a força resultante deve ser desenhada com uma cor que a diferencie das outras. a) Um, caixote pesado desce verticalmente, com velocidade constante, suspenso de um cabo de aço; b) Um rapaz empurra uma caixa assente no chão, com velocidade cujo módulo cresce uniformemente. Neste caso, o "corpo"é a caixa. c) Uma bicicleta desce uma encosta, com movimento uniformemente acelerado. Despreze o atrito com o solo (excepto o do rolamento), mas considere não desprezável a resistência do ar. d) Os travões de carro foram accionados quando descia uma encosta, de forma que ficaram bloquea- dos. Q9 - Numa tentativa de enunciar a 3a lei de Newton, um estudante diz que as forças de acção e reacção são iguais e opostas entre si. Neste caso, como é que poderia alguma vez haver uma força não nula sobre um objecto? As forças constituintes de qualquer par de acção e reacção actuam sempre em corpos distintos. Consequentemente as duas nunca contribuem para a força resultante que actua num corpo. 3 b) -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F2 F3 c) . -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F2 F3 Q16 - Três forças, F1, F2 e F3, originam a aceleração de um corpo com massa de 1 kg, cujo módulo é indicado. Em cada diagrama de forças estão representadas duas forças, mas a terceira não está representada. Para cada caso, desenhe o vector correspondente à terceira força, aplicando-o na origem do sistema de referência. a) |a| = 2 m/s2 -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F2 A força F3 deve ser tal que FR = F1 + F2 + F3 = ma, com m = 1kg e |a| = 2 m/ s2. Do gráfico retiramos F1x = 2N; F1y = 1N F2x = −2N; F2y = 2N. Da 2.a Lei de Newton, |a| = ¯̄ ¯FR ¯̄ ¯ m = r ¡ F1x + F2x + F3x ¢2 + ³ F1y + F2y + F3y ´2 m . Substituindo os valores dados e os calculados, r ¡ F1x + F2x + F3x ¢2 + ³ F1y + F2y + F3y ´2 = m |a| q¡ 2N− 2N + F3x ¢2 + ¡ 1N + 2N + F3y ¢2 = 1kg× 2m/ s2 q F 23x + ¡ 3N + F3y ¢2 = 2N Uma possibilidade é F3y = −3N e F3x = 2N. 6 -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F3 F2 Podemos verificar o resultado: FRx = 2N− 2N + 2N = 2N FRx = 1N+ 2N− 3N = 0 A aceleração do corpo de massa 1 kg,actuado por esta força, será a = FR m = 2N 1kg i = 2i ¡ m/ s2 ¢ , cujo módulo é, evidentemente, |a| = 2m/ s2. Note-se que este resultado não é o único possível. b) a = (0,−3) m/s2 -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F2 c) O corpo move-se com velocidade constante. -2 -2 2 2 Fx(N) Fy(N) F1 F2 Q17 - Se o ouro fosse vendido a peso, preferia comprá-lo na Serra da Estrela ou em Lisboa? Se fosse vendido pela massa em qual das duas localidades preferia comprá-lo? Porquê? Q18 - Quanto pesa um astronauta no espaço, longe de qualquer planeta? Q19 - Suponha que está a pressionar, com a mão, um livro contra uma parede. O livro não se move. a) Identifique as forças aplicadas ao livro e desenhe um diagrama de forças. As forças aplicadas ao livro são a força gravítica (o peso), P , exercida pela Terra, a força exercida pela mão, F , e a força exercida pela parede no livro, que se pode decompor em duas componentes, uma normal à parede, n e outra com a direcção da parede (a força de atrito estático), fe . O diagrama de forças aplicadas ao livro, suposto pontual, é o seguinte: 7 F fe P n b) Suponha que diminui a força, F , que está aplicar com mão ao livro, mas não o suficiente para o livro se mover. O que acontece ao módulo de cada uma das seguintes quantidades? Aumenta, diminui ou não se altera? F P (peso do livro) n (força da parede sobre o livro) fe (força de atrito estático entre o livro e a parede) femax (módulo máximo da força de atrito estático entre o livro e a parede)¯̄ ¯F ¯̄ ¯ diminui; ¯̄ ¯P ¯̄ ¯ mantém-se; |n| diminui, porque, como o livro está em equilíbrio, |n| = ¯̄ ¯F ¯̄ ¯; ¯̄ ¯fe ¯̄ ¯ mantém-se, porque, como o livro está em equilíbrio, ¯̄ ¯fe ¯̄ ¯ = ¯̄ ¯P ¯̄ ¯. femax não se altera porque depende apenas do coeficiente de atrito entre as superfícies do livro e da parede. Q20 - Considere um contentor que se encontra na caixa de um camião. a) Se a aceleração do camião tem módulo muito pequeno, o contentor move-se solidariamente com o camião, sem escorregar. Qual é a força ou forças que actua(m) no contentar, originando a aceleração deste? Qual é a direcção e sentido desta(s) força(s)? b) Desenhe um diagrama das forças que actuam no contentor e apresente a respectiva legenda. c) O que acontece ao contentor se a aceleração do camião tiver módulo muito elevado? Justifique a sua resposta. Q21 - Cinco bolas deslocam-se no ar, com as velocidades representadas pelos vectores das figuras, Coloque por ordem, do maior para o menor, os módulos das acelerações a1 a a5. Note que alguns podem ser iguais. Utilize o formato A > B = C > D. Justifique. 1 2 3 4 5 50 g 50 g 50 g 100 g 100 g imediatamente apos ser largada imediatamente apos ser largada v = 0 v = 0 v = -20 m/s v = -20 m/s v = 20 m/s Q22 - Considere uma bola de madeira com massa 1 kg e uma bola de chumbo com massa 10 kg, com dimensões e formas idênticas. São largadas a partir do repouso, simultaneamente, de uma torre. a) Comece por supor que a resistência do ar é desprezável. Durante a queda, as forças resultantes que actuam em cada bola são de módulos iguais ou diferentes? Neste último caso, qual é a de maior módulo? Justifique. Durante a queda, e se desprezarmos a resistência do ar, a única força que actua nas bolas é a força da gravidade, pelo que a força resultante é igual à força da gravidade A aceleração das duas bolas é igual, vertical. dirigida para baixo e de módulo igual a g = 9.8m/ s2. O módulo da força resultante que actua numa bola de massa m é, portanto F = mg, directamente proporcional à massa. Consequentemente a força resultante com maior módulo é a que actua na bola de chumbo. b) E as acelerações? São iguais ou diferentes? Neste último caso, qual é a de maior módulo? Justifique. As acelerações são iguais, como foi explicafo na alínea anterior. c) Qual das bolas atinge primeiro o solo? Ou chegarão ao solo ao mesmo tempo? Justifique. Como as acelerações são iguais, chegarão ao solo ao mesmo tempo, por aplicação simples das leis da cinemática do movimento com aceleração constante, uma vez que são largadas do repouso. 8 Legenda: Forças exercidas na mão (desprezando o peso e as forças exercidas pelo braço): FAM → força exercida pelo bloco A na mão; Forças exercidas no bloco A: FMA → força exercida pela mão no bloco A; FBA → força exercida pelo bloco B no bloco A; PA → Peso do bloco A Forças exercidas no bloco B: FAB → força exercida pelo bloco A no bloco B; PB → Peso do bloco B b) Por aplicação da 2.a lei a cada bloco e da 3.a lei a cada par de acção e reacção, colocque por ordem os módulos de todas as forças verticais, do maior ao menor. Justifique A resultante das forças exercidas no bloco B é nula, porque este desloca-se com velocidade constante. Consequente- mente, FAB = PB. Como FBA e FAB constituem um par de acção e reacção, FBA = FAB. A resultante das forças exercidas no bloco A é nula, porque este desloca-se com velocidade constante. Consequentemente, FMA = FBA + PA. Concluímos FBA < FMA e PA < FMA.É-nos dito que PA < PB. Além disso, FMA = FAM, porque as forças FMA e FAM cinstituem um par de acção e reacção. Colocando por ordem, temos: PA < PB = FAB = FBA < FMA = FAM Q26 - Um mosquito colide de frente com um camião que se desloca com velocidade de módulo 90 km/h. a) Qual é o tamanho relativo dos módulos das forças exercidas pelo camião no mosquito e pelo mosquito no camião? Justifique. b) Desenhe os diagramas de forças pra o mosquito e o camião no momento da colisão. Ligue pares de acção e reacção com uma linha a tracejado. c) A sua resposta à alínea b) confirma a resposta à alínea a). Explique. Q27 - Na situação (a), o corpo A é acelerado, assente sobre uma mesa (sem atrito entre o corpo e a mesa), por outro corpo, suspenso, com o peso de 10 N. Na situação (b) o mesmo corpo A é acelerado por uma tensão de 10 N na corda. A aceleração do bloco A no caso (b) tem módulo maior, igual ou menor do que a aceleração no caso (a)? Justifique. A A 10 N T = 10 N (a) (b) Q28 - Desenhe os diagramas de forças para os corpos A e B. Ligue pares de acção e reacção (ou forças que actuam como pares de acção e reacção) com uma linha a tracejado. a) A B Atrito b) A B Atrito Fext B 11 Q29 - Uma bola descreve uma trajectrória circular, num plano vertical, presa a um fio. Num instante em que a bola se encontra no ponto mais baixo da trajectória, uma faca afiada é utilizada para cortar o fio. Desenhe a trajectória subsequente da bola até que atinge o solo. Q31 - Um berlinde desloca-se numa trajectória circular no interior de um cone. Desenhe um diagrama das forças que actuam no berlinde quando se encontra no lado esquerdo do cone e um segundo diagrama das forças que actuam no berlinde quando se encontra no lado direito do cone. Q32 - Um avião a jacto desloca-se numa trajectória horizontal com velocidade constante. a) Qual é a força resultante que actua no avião? b) Desenhe um diagrama das forças que actuam no avião e identifique-as. c) Os aviões inclinam-se para um lado quando viram. Explique por quê, em termos das forças e das leis da Física. Sugestão: Que aspecto terá o diagrama das forças observado por detrás do avião? 12 Problemas: P1 - Uma força dependente do tempo, F = (8.00 i − 4.00 t j) N (onde t está em s), é aplicada num objecto de 2.00 kg inicialmente em repouso. a) Em que instante o objecto se move com velocidade de módulo 15.0 m s−1 ? Vamos utilizar a 2.a lei de Newton na forma F = ma, em que m é a massa do objecto e a a sua aceleração. Resulta a = F m = ³ 4.00 i− 2.00 t j ´ m/ s2. Utilizando, agora, a = dv dt , obtemos v = Z t 0 adt = Z t 0 dt ³ 4.00 i− 2.00 t j ´ N = 4.00t i− t2j m/ s Pretendemos encontrar o instante t, em segundo, para o qual |v|2 = (4.00N× t)2 + t4 = (15.0m/ s)2 resultando imediatamente t = 3.0 s. b) A que distância está o objecto da sua posição inicial quando a sua velocidade possui módulo igual a 15.0 m s−1? O vector posição, em relação ao ponto de partida, é, para qualquer instante t, r = Z t 0 vdt = Z t 0 dt ³ 4.00t i− t2j ´ m/ s = 2.00t2 i− t3 3 j m No instante t = 3 s, temos r = 18.0 i− 9.00j m. A distância deste ponto ao ponto de partida, de coordenadas (0,0), é d = q (18.0m)2 + (9.00m)2 = 20.1m. c) Qual é o deslocamento total do objecto entre o ponto de partida e o ponto referido na alínea anterior? O deslocamento total é ∆r = r (t = 3.0 s)− r (t = 0.0 s) = 18.0 i− 9.00j m P2 - Se a força gravitacional da Terra faz com que um estudante de 60 kg em queda livre tenha uma aceleração de 9.8 m s−2 para baixo, determine a aceleração da Terra, para cima, durante a queda do estudante. Considere a massa da Terra igual a 5.98× 1024 kg. 13 e N = m (g + a) = 72 kg ¡ 10m/ s2 + 1.5m/ s2 ¢ = 8.28× 102N. c) enquanto o elevador viaja com velocidade constante? Neste intervalo de tempo temos, de novo, N + P = 0 e N = mg = 7.2× 102N. d) durante o tempo em que o elevador desacelera? Agora, a componente da aceleração segundo o eixo de referência escolhido obtém-se de a = −1.2m/ s 1.5 s = −0.8m/ s2. Finalmente , a partir de N + P = ma e N = m (g + a), obtemos N = 72kg ¡ 10m/ s2 − 0.8m/ s2 ¢ = 6.62N 16 P6 - Uma massaM é mantida numa dada posição por uma força aplicada F e um sistema de roldanas como se mostra na figura 3. As roldanas não têm massa e atrito. Determine: a) a tensão em cada secção da corda, T1, T2, T3, T4, e T5, São indicadas apenas as relações entre as diversas grandezas, para orientação da resolução. T5 = Mg T2 + T3 = T5 e T2 = T3 T1 = T3 F = T1 T4 = T1 + T2 + T3 Portanto T2 = Mg 2 T3 = Mg 2 T1 = Mg 2 T4 = 3Mg 2 b) a intensidade de F . F = T1 = Mg 2 17 Física I -2009/2010 3a Série - Movimento unidimensional - Resolução Questões: Q1 -Esboce um diagrama de pontos para cada um dos movimentos unidimensionais abaixo indicados, de acordo com as seguintes instruções: • Utilize o modelo de uma partícula (ou seja, represente o corpo cujo movimento está a estudar por uma única partícula) • Bastam seis a oito marcas pontuais para cada um dos diagramas. • Numere as posições de acordo com a sua ordem pontual. • Apresente os diagramas de forma clara e precisa. a) Um automóvel arranca ao longo de uma estrada rectilínea, após o semáforo ter passado a verde e algum tempo depois desloca-se com velocidade constante. 0 2 4 6 Justificação: O diagrama apresenta umavisão estroboscópia do movimento. São apresentadas as posições dos ponto, durante o movimento, para instantes separados por intervalos de tempo iguais. Os vectores deslocamento entre as posições apresentadas são os indicados na figura seguinte: 0 2 4 6 8 !r1 !r2 !r3 !r4 !r5 !r6 !r7 !r8 A velocidade média entre cada par de pontos consecutivos é dada por vimed = ∆ri ∆t . Como os intervalos de tempo, ∆t, são iguais, podemos representar de forma análoga os vectores velocidade média para cada intervalo de tempo, numa escala apropriada. Se os intervalos de tempo forem infinitesimais (∆t→ 0), esses vectores representam a velocidade instantânea no instante considerado: 0 2 4 6 8 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 No início do movimento, este é acelerado com aceleração de módulo positivo, isto é, 0 < |∆v/∆t|. Por exemplo, |v1| < |v2|. A partir de determinado instante (na figura, o instante t4), o movimento possui velocidade constante 1 d) O vai-vem espacial desloca-se numa órbita circular em torno da Terra, completando uma revolução em 90 minutos. 0 6 8 4 2 Q2 Para cada um dos diagramas seguintes, escreva uma breve descrição do movimento de um objecto que corresponda ao diagrama apresentado. A sua descrição, que deve mencionar um objecto específico, deve ser similar às que são apresentadas em Q1. a) 0 1 2 3 4 5 Para Um automóvel desacelera (isto é, deslocando-se em mivneto rectilínio, a sua aceleração tem sinal contrário ao da velocidade), porque o condutor avistou um sinal vermelho, o que o força a aparar- b) 0 1 2 3 4 Inicio Um objecto, largado do repouso, cai com movimento unformemente acelerado. c) Inicio do movimento Um automóvel desloca-se com velocidade constante ao longo de uma trajectória rectilínea, até que atinge uma curva circular, que é descrita com velocidade de módulo inferior. Após a curva, o automóvel desloca-se de novo numa trajectória rectilínea, com avelocidade de módulo igual à da velocidade antes da curva. 4 Q3 - Saindo de casa. o João anda com velocidade constante no sentido da paragem do autocarro, que dista da casa 200 m . A meio caminho entre a casa e a paragem, avista um autocarro e começa a correr com velocidade de módulo crescente até atingir a paragem. Casa do Joao Paragem de autocarro a) Desenhe um diagrama do movimento do João ao longo da rua. 0 2 4 6 ... Mudámos aqui, ligeiramente, o movimento: no último intervalo, o módulo da velocidade do João diminuiu (não queremos que ele bata na paragem de forma descontrolada) b) Adicione um eixo de coordenadas, com origem na casa do João, debaixo do diagrama que desenhou. Chame x1 à posição em que o João começa a andar, x2 à posição em que se encontra quando avista o autocarro e x3 à posição em que atinge a paragem de autocarro. Desenhe setas acima do eixo de coordenadas que representem o deslocamento do João, ∆x1, desde a posição inicial à posição em que avista o autocarro e o deslocamento, ∆x2, desde esta última posição até à posição final, junto à paragem. x0 x1 x2 x3 !x1 !x2 c) Repita a alínea b) num novo desenho, agora colocando a origem do eixo de referência na posição em que se encontrava o João quando avistou o autocarro. x0x1 x2 x3 !x1 !x2 d) Como variam as setas que representam os deslocamentos quando muda a posição da origm do referencial? Não variam 5 e) Utilizando dois eixos coordenados, esboce um gráfico da posição do João em função do tempo, correpondendo ao movimento do João. 00 x1 x2 x3 x t Q4 - O gráfico abaixo mostra em posição, em função do tempo, de um objecto que se move numa trajectória rectilínea, durante 12 s. 0 0 10 20 30 40 2 4 6 8 10 12 t (s) x (m) a) Indique a posição do objecto nos seguintes instantes de tempo: t = 2 s; t = 4 s; t = 6 s; t = 10 s. b) Qual é a velocidade do objecto durante os primeiros 4 s do movimento? c) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t = 4 s a t = 6 s? d) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t = 6 s a t = 10 s? e) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t = 10 s a t = 12 s? f) Esboce um diagrama do movimento (pontos) no intervalo de tempo de t = 0 s a t = 12 s. Q5 - Interprete os seguintes gráficos da posição em função do tempo, para movimento unidimensional escrevendo uma pequena descrição do que está a acontecer. Seja criativo. a) Um automóvel em movimento 0 0 10 20 30 20 40 60 80 t (min) x (km) O automóvel desloca-se com velocidade constante de módulo v1 = 1km/min durante 10 minutos, após o que permanece parado durante 10 minutos. Em seguida desloca-se, durante 10 minutos com velocidade de módulo v2 = 0.5 km/min, estando depois imóvel durante 10 minutos, para se deslocar de novo, durante 10 minutos com velocidade de módulo v1. Após estar parado dez minutos, regressa ao ponto de partida, deslocando-se durante 20 minutos com velocidade de módulo v3 = 1.25 km/min . Em resumo, o automóvel deslocou-se até 25 km do ponto de partida, tendo gasto 45 minutos para a viagem de ida (incluindo as paragens ao longo do percurso), esteve parado 10 minutos, após o que regressou ao ponto de partida, sem paragens, gastando 20 minutos na viagem de volta. 6 Q10 - Para cada um dos seguintes gráficos da posição em função do tempo, desenhe o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, imediatamente por baixo, como mostra a figura. 100 100 100 100 -100 -100 -100 -100 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 t (s) t (s) t (s) t (s) t (s) t (s) t (s) t (s) x(m) x(m)x(m) x(m) v v v v 0 0 0 0 (A) (B) (C) (D) Q11 - Considere o seguinte gráfico da velocidade em função do tempo que descreve o movimento de um corpo. Imediatamente abaixo desenhe o gráfico da posição em função do tempo para o mesmo movimento. Escolha a escala apropriada para a velocidade e descreva o movimento. Resolução: 10 -10 0 0 1 2 3 4 5 t (s) v(m/s) 0 1 2 3 4 5 t (s) x(m) 0 5 9 Q12 - Considere os dois gráficos seguintes de posição em função do tempo. Para cada gráfico, desenhe o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo imediatamente abaixo. Não são apresentados valores, mas os gráficos que desenhar deverão indicar correcta- mente as velocidades relativas. Resolução: 0 0 t t x x t v 0 (A) (B) t v 0 Q13 - A figura mostra o diagrama de movimento para dois automóveis, A e B. A B 0 0 5 5 a) Desenhe um único gráfico da posição em função do tempo.e, imediatamente por baixo, o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, para os movimentos de ambos os carros. b) Existe algum instante de tempo em que automóveis ocupem a mesma posição? Em caso afirmativo indique-o(s) no diagrama do movimento e nos gráficos. c) Existe algum instante de tempo em que os dois os automóveis tenham a mesma veloci- dade? Em caso afirmativo indique-o(s) no diagrama do movimento e nos gráficos. Q14 - Desenhe um gráfico da posição em função do tempo.e, imediatamente por baixo, o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, para os seguintes movimentos unidimensionais.. a) Um automóvel parte do repouso, acelera uniformemente até atingir a velocidade de 60 km/hora em 15 s, move-se com velocidade constante durante 30 s e volta a estar em repouso após 5 s. b) Uma pedra cai de uma ponte e cai com movimento uniformemente acelerado. O módulo da sua velocidade é de 30 m/s quando atinge o solo, 3 s depois Q15 - Os quatro diagramas de movimento unidimensional seguintes apresentam uma posição inicial 0 e uma posição final 1. Nos diagramas a) e b) (movimento horizontal) os símbolos x0 e x1 representam as posições inicial e final, os símbolos vx0 e vx1 as velocidades inicial e final e 10 ax a aceleração (constante). Nos diagramas c) e d) (movimento vertical) utilizam-se símbolos correspondentes com x substituído por y. Após se ter escolhido, para cada caso, o sentido indicado do eixo de referência, indique no quadro abaixo se estas quantidades são positivas, negativas ou nulas. A) B) 0 01 1 1 0 0 00 0 x para Inicio Inicio y yC) D) 0 x 1 velocidade inicial nao nula A B C D x0 ou y0 x1 ou y1 v0x ou v0y v1x ou v1y ax ou ay Q16 - Para cada um dos gráficos da velocidade em função do tempo que seguem, referentes a movimentos unidimensionais, desenhe o respectivo gráfico da aceleração em função do tempo. Resolução: 0 0 0t t t t t t v v v 0 0 0 (A) (B) (C) a a a Q17 - Se, num movimento unidimensional, a velocidade média é nula durante um intervalo de tempo ∆t e se v(t) é uma função contínua, mostre que a velocidade instantânea se deve anular em algum instante durante aquele intervalo. (Um esboço de x em função de t poderá ser útil na sua explicação). Q18 — No movimento unidimensional é possível ter uma situação em que a velocidade e a aceleração têm sinais opostos? Em caso afirmativo, esboce um gráfico da velocidade em função do tempo para comprovar a sua resposta. 11 10 cm 8 cm 2 cm 2 cm Como a bala tem dimensões, temos de considerar os intervalos de tempo correspondentes à entrada e à saída da tábua (ver figura) .Vamos introduzir a suposição, de que o valor da aceleração média durante esses percursos é metade do valor da aceleração quando está inteiramente no interior da tábua (recorde-se que, como o movimento é unidimensional, podemos identificar os vectores deslocamento, velocidade e aceleração como quantidades algébricas, uma vez que a direcção destes vectores é a mesma e não varia). . Durante a entrada na tábua (percurso 1 com 2.00 cm de comprimento) e durante a saída (percurso 3 com 2.00 cm de comprimento) o valor da aceleração é, assim, a/2, em que a é a o valor da aceleração no percurso em que a bala está totalmente no interior da tábua ( 2 com 8.00 cm de comprimento). Utilizamos a equação do movimento uniformemente acelerado unidimensional, v2 − v20 = 2ax, aplicando aos diferentes percursos, obtendo 1. no percurso de entrada, 1 v21 − v20 = 2 a 2 × 1; (1) 2. no percurso no interior da tábua, 2 v22 − v21 = 2a× 2; (2) 3. no percurso de saída, 3 v23 − v22 = 2 a 2 × 3, (3) em que v0, v1, v2 e v3 são os valores da velocidade da bala ao tocar na tábua, após o percurso 1, após o percurso 2 e após o percurso 3, respectivamente. Substituindo as eq.s (1) e (2) na eq. (3), vamos obter v23 = v22 + 2 a 2 × 3 v23 = v21 + 2a× 2 + 2 a 2 × 3 v23 = v20 + 2 a 2 × 1 + 2a× 2 + 2 a 2 × 3 v23 − v20 = a ( 1 + 2 2 + 3) a = v23 − v20 1 + 2 2 + 3 ou a = (280m/ s)2 − (420m/ s)2 2.00× 10−1m = −4. 90× 105 m/ s2 Repare-se que este resultado é o mesmo que se obteria se considerássemos a bala como uma partícula pontual: a = v2 − v20 2x , em que x é a espessura da tábua. Obtemos, assim, 14 a = (280m/ s)2 − (420m/ s)2 2.00× 10−1m = −4. 90× 105 m/ s2, que é o resultado obtido acima. b) Qual é o tempo total de contacto da bala com a tábua? Podemos calcular o tempo total, obtendo os intervalos de tempo para os três percursos 1, 2 e 3 e somando-os. Como conhecemos o valor da aceleração em cada percurso, a utilização da expressão ∆x = vi∆t + 1 2a (∆t) 2, conjuntamente com a equação v2f − v2i = 2a∆x, permite-nos obter o intervalos de tempo para cada um dos percursos. Para o percurso 1: 1 = v0∆t1 + 1 2 a (∆t1) 2 v21 = v20 + 2a 1 Obtemos ∆t1 = −v0 ± p v20 + 2a 1 a = −420m/ s + q (420m/ s)2 − (4. 90× 105 m/ s2)× (0.02m) −4. 90× 105 m/ s2 2 = 4. 829 9× 10−5 s e v21 = (420m/ s)2 − ¡ 4. 90× 105 m/ s2 ¢ × (0.02m) = 1. 666× 105 (m/ s)2 v1 = p 1. 666× 105m/ s = 4.082× 102m/ s Para o percurso 2: 2 = v1∆t2 + 1 2 a (∆t2) 2 v22 = v21 + 2a 2 Obtemos ∆t2 = −v1 + p v21 + 2a 2 2a = −4.082× 102m/ s + q (4.082× 102m/ s)2 − 2× 4. 90× 105 m/ s2 × 0.08m −4. 90× 105m/ s2 = 2. 268 8× 10−4 s e v22 = ¡ 4.082× 102m/ s ¢2 − 2× 4. 90× 105m/ s2 × 0.08m = 8.823× 104 (m/ s)2 v2 = p 8.823× 104m/ s = 2.970× 102m/ s. 15 Para o percurso 3: 3 = v2∆t3 + 1 4 a (∆t3) 2 . Obtemos ∆t3 = −v2 − p v22 + a 3 a = −2.970× 102m/ s + q (2.970× 102m/ s)2 − 4. 90× 105m/ s2 × 0.02m −4. 90× 105m/ s2 2 = : 6. 93× 10−5 s v23 = v22 + 2a 3 = ¡ 2.970× 102m/ s ¢2 − 4. 90× 105m/ s2 × 0.02m = 7.8409× 104 (m/ s)2 v3 = p 7.8409× 104m/ s = 2.80× 102m/ s, como esperávamos. O intervalo de tempo em que a bala está em contacto com a tábua é, portanto, ∆t = ∆t1 +∆t2 +∆t3 = 4. 830× 10−5 s + 2. 268 8× 10−4 s + 6. 93× 10−5 s = 3. 44× 10−4 s :c) Que espessura de tábua (calculada até à precisão de 0.1 cm) seria necessária para parar a bala? Queremos que o comprimento 2 seja tal que o valor da velocidade da bala seja nula, quando atinge a parede oposta à da entrada, isto é, pretendemos v2 = 0m/ s. Utilizamos a equação v22 = v21 + 2a 2, com v2 = 0m/ s, para obter 2 = − ¡ 4.082× 102m/ s ¢2 −2× 4. 90× 105m/ s2 = 0.17m. A este valor temos de adicionar o percurso 1 = 0.02m, para obter, finalmente para a espessura, L, da tábua de modo a parar a bala totalmente no seu interior, L = 1 + 2 = 0.02m+ 0.17m = 0.19m 16 Física I -2009/2010 4a Série - Movimento bi- e tridimensional - Resolução Questões: Q1 - A figura mostra as posições de um objecto em movimento, em instantes de tempo sucessivos Desenhe e identifique o vector velocidade média v0 para o moviemento entre 0 e 1, e o vector velocidade média v1 para o movimento de 1 a 2. Em seguida, desenhe o vector v1 − v0, aplicado no ponto 1. 1 0 2 1 1 0 0 2 2 v0 -v0 -v0 v1 v1 v1 Q2 - Um automóvel ligeiro entra numa cruzamento em que xiste óleo no pavimento, movendo-se a 16 m/s no sentido Sul-Norte. Depois de uma violenta colisão com um camião, o automóvel desliza com velocidade de módulo 12 m/s no sentido oeste-leste. N E Desenhe na figura os vectores que representam as seguintes grandezas: a) A velocidade, v0, do automóvel, quando entra no cruzamento; b) A velocidade, v1, do automóvel, quando deixa o cruzamento; c) A variação da velocidade ao automóvel, ∆v = v1 − v0, resultante da colisão N E v0 v1 !v v v= -1 0 . 1 Q3 - A figura mostra uma rampa e uma bola que rola sobre essa rampa. Desenhe na figura os vectores aceleração da bola nos pontos assinalados por letras, de A a E, (ou escreva a = 0, onde for apropriado. A B C D E Para obter a aceleração em cada ponto, temos de determinar qual é a força resultante que actua na bola em cada um desses pontos e aplicae a 2.a lei de Newton a = Fres m , em que m é a massa da bola. Em todos os pontos as forças que actuam na bola são a Força gravítica e a força que a rampa exerce na bola. Estas forças, em cada ponto possuem as orientações seguintes: A B C D E P P P P P nA nB nC nD nE Note-se que estamos a supor que o ponto D está colocado numa região da rampa com declive não nulo. Como consequência, a aceleração da bola em cada um dos pontos é a indicada na figura seguinte. A B C D EaA aE = 0 aB aC aD Q4 - Complete o diagrama de movimento para a trajectória indicada, desenhando os vec- tores velocidade e aceleração em cada ponto. 2 Vamos utilizar a relação a = ∆v ∆t para obter a aceleração em cada ponto. Por exemplo, a0 = v1 − v0 t1 − t0 = v1 − v0 ∆t . A direcção, sentido e módulo relativo dos vectores aceleração podem ser obtidos a partir da diferença de dois vectores velocidade. No entanto, as dimensões do vector aceleração são, como sabemos, diferentes das dos vectores velocidade. v0 v0 v1v1 a0a0 a3 a4 a1 a2 v2 v3 v4 v5 Q5 - Os dois gráficos seguintes apresentam os valores de x em função de t e de y em função de t, respectivamente, para uma partícula que se move no plano x0y. 0 0 0 1 2 3 4 5 6 5 10 15 x(m) t(s) 0 1 2 3 4 5 6 5 10 15 y(m) t(s) a) Utilize o terceiro gráfico para desenhar a função y = y(x) correspondente à trajectória dessa partícula. b) No mesmo gráfico desenhe o vector velocidade da partícula no instante t = 3.5 s. 0 0 5 5 10 20 2515 10 15 y(m) x(m) v 3.5 s( ) 3 Substituindo este valor de x na equação da trajectória, chegamos a ymax = v0y v0x v0xv0y g − g 2v20x µ v0xv0y g ¶2 = v20y g − v20y 2g = v20y 2g , como anteriormente. Concluímos, portanto que ymaxLua ymaxTerra = gTerra gLua . A altura máxima é maior na Lua do que na Terra Q9 - Um projéctil é lançado com velocidade inicial fazendo um ângulo entre 0o e 90o com a horizontal. a) Existe algum ponto da trajectória em que os vectores velocidade, v, e aceleração, a, sejam paralelos um ao outro? Em caso afirmativo, caracterize esse ponto. b) Existe algum ponto da trajectória em que os vectores velocidade, v, e aceleração, a, sejam perpendiculares um ao outro? Em caso afirmativo, caracterize esse ponto. c) Quais das seguintes grandezas permanecem constantes ao longo da trajectória: x, y, |v|, vx, vy, ax, ay? Q10 - O veio de distribuição de um determinado automóvel roda com velocidade angular de 3000 rpm (rotações por minuto). Qual é o valor da velocidade angular em revoluções por segundo? Q11 - A figura mostra os pontos do diagrama de movimento de um objecto com movimento circular uniforme. Complete o diagrama: a) Desenhe os vectores velocidade instantânea, v, em cada ponto indicado. b) Noutra cor, desenhe os vectores aceleração instantânea, a, em cada ponto indicado. 0 1 2 3 4 5 6 7 6 Q12 - A figura mostra três pontos num prato que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo central. 1 2 3 1 2 3 v1 v2 v3 a) Desenhe os vectores velocidade em cada um dos pontos indicados. Os vectores velocidade são tangentes à trajectória em cada ponto e apontam no sentido do deslocamento. Estão indicados na seguna figura. b) Coloque por ordem, do maior para o menor, os módulos das vectores velocidade, em cada um dos pontos indicados. No movimento circular uniforme, a velocidade angular, ω, pode definir-se como o ângulo descrito pelo vector posição de um ponto, referido ao centro de rotação, num intervalo de tempo a dividir por esse intervalo de tempo.É evidente que a velocidade angular é igual para os três pontos indicados (na realidade é a mesma para todos os pontos do prato). ω = ∆θ ∆t Para um determinado ponto do prato (por exemplo, o ponto 1, cuja posição em relação ao centro é definida em cada instante pelo vector r1, ∆θ = ∆s r1 , em que ∆s é o arco na trajectória do ponto 1 correspondente ao ângulo ao centro ∆θ, e ω = 1 r1 ∆s ∆t 1 2 3 v1 r1 v2 v3 !" !s Mas ∆s ∆t = |v1| , pelo que podemos escrever ω = v1 r1 . Repetindo o raciocínio para qualquer outro ponto, concluímos que, genericamente, ω = v r ou v = ωr. 7 Consequentemente podemos ordenar as velocidades de acordo com os seus módulos: v1 = v2 < v3. Q13 - Num barco que se desloca com velocidade constante de módulo 5 m/s em relação à água, um passageiro anda para a popa do barco com velocidade de módulo 2 m/s em relação ao barco. a) Escreva a equação que lhe permite obter a velocidade do passageiro em relação à água. Vamos considerar dois referenciais, um ligado à água (que chamamos, arbitrariamente, referencial fixo, S, e outro ligado ao barco, que denominamos referencial móvel, S0). A velocidade do referencial S0 em relação ao referencial S é a velocidade do barco em relação à água, que poderemos chamar u. Chamaremos v à velocidade do passageiro em relação à água (isto é, ao referencial S) e v0 à velocidade do passageiro em relação ao barco (isto é, ao referencial S0). A equação que permite obter a velocidade do passageiro em relação à água é, portanto, v = v́ + u. b) Substitua os valores apropriados na equação, de modo a obter o valor dessa velocidade. (não se esqueça que a grandeza velocidade é vectorial). Todos os vectores que figuram na equação possuem a mesma direcção. Como o passageiro se desloca para a popra do berco, o sentido de v0 é opsto ao de u. A equação escalar correspondente, tomando (arbitrariamente) o sentido de u (velocidade da água) como sentido positivo, é v = −v0 + u. Substituindo os valores dados, u = 5m/ s e v0 = 2m/ s, obtemos o módulo da velocidade do passageiro em relação à água, v = −2m/ s + 5m/ s = 3m/ s. Como este valor é positivo, o vector v tem o sentido de u. Q14 - Um barco está a atravessar um rio, deslocando-se com velocidade de módulo 5 m/s em relação à água. O rio possui uma corrente com velocidade de módulo 3 m/s, em relação à margem, no sentido da esqueda para a direita das figuras. Na situação (a), o barco aponta verticalmente em relação às margens do rio e é arrastado pela corrente. Na situação (b), o barco aponta obliquamente em relação às margens, no sentido de onde vem a corrente, com o ângulo necessário para que possa atravessar o rio numa trajectória perpendicular às margens. Para cada situação, desenhe os vector velocidade, vRM, do rio em relação à margem, vBR, do barco em relação ao rio e ,vBM, do barco em relação à margem. Partida Partida Chegada (a) (b) 8 P2 - Um peixe que nada num plano horizontal tem velocidade v0 = (4.0 i+1.0 j) m s−1 num ponto do oceano onde o seu vector posição em relação a uma rocha fixa no porto é r0 = (1.0 i − 4.0 j) m. Depois de o peixe nadar com aceleração constante durante 20.0 s, a sua velocidade é v = (20.0 i− 5.0 j) m s−1. a) Quais as componentes da aceleração? Como o movimento é uniformemente acelerado, com aveleração a, a relação entre as velocidades no instante t e no instante t = 0 é v = v0 + at, de onde se obtém a = v − v0 t = (20.0 i− 5.0 j)m/ s− (4.0 i+ 1.0 j)m/ s 20.0 s = µ 16.0 20.0 i+ −6.0 20.0 j ¶ m/ s2 = ³ 0.80 i− 0.30j ´ m/ s2. As componentes da aceleração são, assim, ax = 0.80m/ s 2 ay = −0.30m/ s2 b) Qual a direcção da aceleração em relação ao eixo do x? A direcção da aceleração em relação ao eixo dos x é dada por θ = arctan ay ax = arctan −0.30 0.80 = −0. 36 rad. c) Onde está o peixe no instante t = 25 s e em que direcção se move? Para obter a posição do peixe num determinado instante t, utilizamos a equação da posição r = r0 + v0t+ 1 2 at2 = (1.0 i − 4.0 j)m+(4.0 i+ 1.0 j)m/ s× 25 s+ 1 2 h³ 0.80 i− 0.30j ´i m/ s2 × (25 s)2 = ³ 3.5× 102 i − 7.3× 10 j ´ m A velocidade nesse instante é v = v0 + at = (4.0 i+ 1.0 j)m/ s + h³ 0.80 i− 0.30j ´ m/ s2 i × 25 s = ³ 2.4× 10 i − 6. 5 j ´ m/ s A direcção segundo a qual o peixe se move é a da sua velocidade nesse instante, que faz um ângulo θ = arctan −6. 5 2.4× 10 = −0. 26 rad 11 P3 - As coordenadas de um objecto que se move no plano x0y variam no tempo, de acordo com as equações: x = (−5.0 sin t) m e y = (4.0− 5.0 cos t) m, onde t está em s. a) Determine as componentes da velocidade e da aceleração em t = 0 s. As coordenadas da posição da partícula e correspondenres derivadas são, com t em segundo. x = (−5.0 sin t) m y = (4.0− 5.0 cos t) m vx = dx dt = −5.0 cos t = −5.0 m s−1 vy = dy dt = 5.0 sin t = 0 m s−1 ax = d2x dt2 = 5.0 sin t = 0 m s−2 ay = d2y dt2 = 5.0 cos t = 5.0 m s−2 b) Escreva expressões para o vector posição, o vector velocidade, e o vector aceleração para qualquer instante t > 0. r = −5.0 sin t i+ (4.0− 5.0 cos t) j m −→v = ³ −5.0 cos t i+ 5.0 sin t j ´ m/ s −→a = ³ 5.0 sin t i+ 5.0 cos t j ´ m/ s2 c) Descreva a trajectória do objecto num gráfico x0y. Eliminamos o tempo entre x e y, obtendo sin t = x −5 cos t = y − 4.0m −5.0m ou x2 25m2 + (y − 4.0m)2 25m2 = 1 x2 + (y − 4.0m)2 = (5m)2 . A trajectória é uma circunferência de raio 5 m, centrada no ponto x = 0; y = 4.0m. P4 - O João está na base de um monte, enquanto o Pedro está 30 m acima na encosta do monte. O João está na origem de um sistema de coordenadas x0y, e a linha que descreve a encosta do monte é dada pela equação, y = 0.4x, como se mostra na figura. Se o João atirar uma maçã ao Pedro segundo um ângulo de 50o em relação à horizontal, com que velocidade deve atirá-la para que aquele a apanhe? 12 Vamos supor que 30 m é a distância de João ao Pedro ao longo da encosta (como sugere o enunciado). Se xP e yP são as coordenadas de da posição do Pedro, então x2P + y2P = (30m) 2 (5) Por outro lado, como a encosta é dada por y = 0.4x e (xP, yP) está sobre esta linha, temos também yP = 0.4xP (6) de onde, substituindo a eq. (6) na eq. (5), x2P + 0.4 2x2P = (30m)2 x2P = (30m)2 1 + 0.42 xP = 30m √ 1 + 0.42 = 27. 9m e, portanto, yP = 0.4× 27.9m = 11. 2 m A trajectória da maçã atirada pelo João tem de passar pelo ponto (27.9, 11.2) m. A equação da trajectória obtém-se de x = v0xt = v0t cos 50 ◦ y = v0yt− 1 2 gt2 = v0t sen 50 ◦ − g 2 t2 Eliminando t entre estas equações, temos, com g = 5.0m/ s2 t = x v0 cos 50◦ y = x sen 50◦ cos 50◦ − g 2 x2 v20 cos 2 50◦ ou y = x tan 50◦ − g 2 x2 v20 cos 2 50◦ e, por conseguinte, substituindo nesta equação as duas coordenadas de posição do Pedro, 11.2m = (27.9m) tan 50◦ − ¡ 5.0m/ s2 ¢ (27.9m)2 v20 cos 2 50◦ (27.9m)2 v20 cos 2 50◦ = (27.9m) (5.0m/ s2) tan 50◦ − 11.2m (5.0m/ s2) v0 = 20.7m/ s 13 Nesta caso, o valor absoluto da velocidade inicial é v0 = v0y e, portanto, h = 1 2 v20 g b) Qual o tempo que ela leva no ar nos dois casos? Se a velocidade inicial faz um ângulo θ0 com o eixo dos x, o alcance horizontal obtem-se de y = v0yt− 1 2 gt2 fazendo y = 0, obtendo-se 1 2 gt2 − v0yt = 0 ou t = 0 (correspondendo ao instante de partida) e t = 2v0y g ou tvoo = 2tsub. O alcance horizontal é dado pelo valor de x correspondente a t = tvoo: = v0xtvoo ou = 2v0xv0y g = 2v20 cos θ0 sin θ0 g = v20 sin 2θ0 g utilizando sin 2θ0 = sin (θ0 + θ0) = 2 sin θ0 cos θ0. Se o valor absoluto da velocidade inicial for definido, entaõ o valor máximo do alcance horixonatal obtem encontrando o valor de θ0 para o qual d dθ0 = 0 ou d dθ0 µ v20 sin 2θ0 g ¶ = v20 g 2 cos 2θ0 = 0 de onde 2θ0 = π 2 e θ0 = π 4 . Então se o valor absoluto da velocidade inicial da pulga for o encontrado na alínea anterior, temos, com θ0 = π 4 , = v20 sin π 2 g = v20 g 16 P8 - Uma bola ligada à extremidade de um fio é posta a rodar no ar segundo uma circun- ferência horizontal de raio 0.30 m. O plano da circunferência está 1.2 m acima do chão. A corda parte-se e a bola aterra 2.0 m afastada do ponto no chão directamente por baixo da sua posição quando a corda parte. Determine o módulo da aceleração centrípeta da bola durante o seu movimento circular. A velocidade horizontal da bola é segundo o eixo dos x (horizontal), ou v0 = v0x. Se o sistema de tiver origem no ponto em que a bola se encontra quando a corda se parte e o eixo dos y for dirigido para cima, x = v0xt y = − 1 2 gt2. A trajectória da bola é y = − g 2v20x x2 Então, y = −1.2m quando x = 2.0m, −1.2m = − 10m/ s2 2v20x (2.0m)2 v0x = v0 = 4.1m/ s Este é o módulo da velocidade da bola durante o movimento circular uniforme, correspondendo à acel- eração centrípeta com módulo ac = v2 r = (4.1m/ s)2 0.30m = 56.0m/ s2. P9 - Um comboio trava ao contornar uma curva apertada, passando de 90.0 km h−1 para 50.0 km h−1 nos 15.0 s que demora a dar a curva. O raio da curva é 150 m. Calcule a aceleração do comboio no momento em que a sua velocidade comboio atinge o valor de 50 km h−1. O módulo da velocidade inicial do comboio é v0 = 90.0 km/h = 9.00× 104m 3600 s = 25.0m/ s. No final da curva esse valor é de v = 50.0 km/h = 5.00× 104m 3600 s = 13.9m/ s. 17 A componente tangencial da aceleração do comboio durante a curva é de aT = (13.9− 25.0) m/ s 15.0 s = −0.74m/ s2. A componente radial da aceleração no fim da curva é aR = v2 r = (13.9m/ s)2 150m = 1. 29m/ s2. A aceleração pedida é a = aRR+ aTT = ³ 1. 29R+−0.74T ´ m/ s2. P10 - A Joana conduz o seu Mercedes com uma aceleração de módulo (3.0 i− 2.0 j) m s−2 enquanto que a Sofia imprime ao seu Jaguar uma aceleração de módulo (1.0 i + 3.0 j) m s−2. Ambas partem do repouso da origem de um sistema de coordenadas xy. Passados 5 s, a) qual é a velocidade da Joana em relação à Sofia? No referencial ligado ao chão e com origem no ponto de partida do movimento, v = at r = 1 2 at2 Então, em relação ao solo, as velocidades da Joana e da Sofia são, com t em segundo, vJ = h (3.0 i− 2.0 j)m/ s2 i t vS = h (1.0 i+ 3.0 j)m/ s2 i t A velocidade da Joana em relação à Sofia é vJ − vS = h³ 2.0 i− 5.0 j ´ m/ s2 i t No instante t = 5 s, a velocidade relativa é vJ − vS = 10.0 i− 25.0 j (m/ s) . b) a que distância estão uma da outra? A posição de Joana é dada por rJ = 1 2 aJt 2 = 1 2 h (3.0 i− 2.0 j)m/ s2 i t2 18 O tempo que demora a atingir a outra margem é dado por t = L v0 Nesse tempo, o deslocamento no sentido da corrente é = ut = u v0 L = 1.50m/ s 2.0m/ s × 160m = 120.m. P13 - Um carro viaja para leste com velocidade de 50.0 km h−1. Está a cair chuva vertical- mente em relação à Terra. Os traços da chuva nas janelas laterais do carro fazem um ângulo de 60.0o com a vertical. Determine a velocidade das gotas de água da chuva relativamente a) ao carro e b) à Terra. Se u for o módulo da velocidade do carro em relação à Terra, temos u = ¡ 50.0× 103m ¢ /3600 s = 13.9m/ s . v0 é o módulo da velocidade das gotas de chuva ém relção ao carro. Então, u v0 = sen 60◦ e v0 = u sen 60◦ = 13.9m/ s sen 60◦ = 16. 1m/ s Por outro lado, u v = tan 60◦ ou v = u tan 60◦ = 13.9m/ s tan 60◦ = 8.03m/ s. P14 - Um camião segue para norte com uma velocidade constante de 10.0 m s−1 numa estrada horizontal. Um rapaz que vai na parte de trás do camião deseja atirar uma bola enquanto o camião se move e apanhar a bola depois do camião ter percorrido 20.0 m. Despreze a resistência do ar. a) Com que ângulo em relação à vertical deve a bola ser atirada? 0◦. b) Qual deve ser o módulo da velocidade inicial da bola? No referencial do camião a velocidade inicial é vertical.Como o tempo de voo é tvoo = 20.0m 10.0m/ s = 2.00 s, e de v = v0 − gt 21 temos tvoo = 2v0 g ou v0 = gtvoo 2 = 10m/ s2 × 2.00 s 2 = 10.0m/ s c) Qual a forma da trajectória da bola vista pelo rapaz? A trajectória vista pelo rapaz é rectilínea e vertical. d) Um observador fixo no solo vê o rapaz atirar e apanhar a bola. Determine a forma da trajectória da bola e a sua velocidade inicial para este observador No referencial ligado à Terra, r = v0xt i + µ v0yt− 1 2 gt2 ¶ j ou x = v0xt y = v0yt− 1 2 gt2 Eliminando t entre as duas equações, y = v0y x v0x − 1 2 g µ x v0x ¶2 y = x tan θ0 − g 2v0 cos2 θ0 x2 Para o observador ligado á Terra, v0x = 10.0m/ s v0y = 10.0m/ s e v0 = q (10.0m/ s)2 + (10.0m/ s)2 = 14.1m/ s e θ0 = arctan 1 = 0.785 rad. 22 Folha de Cálculo: S1 - A Polícia montou uma operação de ”caça” aos excessos de velocidade na estrada. De um carro de polícia colocado atrás de uma placa, um agente mede por radar que a velocidade de um condutor é de 35.0 m s−1. Passados 3 s ele avisa o seu colega que está noutro carro da polícia 100 m adiante, na estrada. O segundo carro de polícia começa a perseguir o condutor 2.00 s após ter recebido o alerta, partindo do repouso e acelerando a 2.00 m s−2. a) Quanto tempo demora até o condutor ser alcançado? b) Qual é a velocidade do carro da polícia quando alcança o condutor? c) Qual é a distância entre o ponto em que o segundo carro da polícia estava inicialmente e o ponto em que o condutor foi alcançado? S2 - Um vendedor tem de visitar quatro clientes uma vez em cada período de vendas. Os quatro clientes estão em cidades diferentes e o vendedor quer visitar todos eles no tempo mínimo. A distância viajada depende da trajectória escolhida. Que trajectória deverá ele escolher? Suponha que o vendedor parte da origem O e visita os quatro clientes uma vez, antes de voltar à origem, viajando entre eles em linha recta. Os clientes estão localizados num plano, nos pontos: A = (−10,5), B = (−8,−7), C = (1,11), D = (12,9). Utilize uma folha de cálculo para calcular o módulo do vector deslocamento para cada troço em linha recta da viagem e a distância total viajada, para diferentes sequências de visita a A, B, C e D. Confronte em cada caso, a distância total viajada com o gráfico da respectiva trajectória. Determine a trajectória que corresponde à menor distância total viajada. Pode encontrar esta trajectória por ”força bruta”, isto é, experimentando todas as trajectórias possíveis. Quantas tentativas fez até encontrar a trajectória pretendida? Em que ordem deve o vendedor visitar os quatro clientes? Qual o valor da distância então percorrida? Escolha outros quaisquer quatro pontos e repita o exercício. S3 - As coordenadas de um projéctil são: x = x0 + vx0t y = y0 + vy0t− 1 2 gt2 onde vx0 = v0 cos θ0 e vy0 = v0 sin θ0. Fazendo uso destas equações, utilize a folha de cálculo para calcular as coordenadas x e y de um projéctil e as componentes vx e vy como funções do tempo. A velocidade inicial e o ângulo de lançamento do projéctil devem ser parâmetros de entrada. Utilize a função gráfico da folha de cálculo para representar as coordenadas x e y em função do tempo. Represente também vx e vy em função do tempo. S4 - Utilize a folha de cálculo para resolver o seguinte problema: O Benfica está empatado com o Sporting, faltando apenas alguns segundos para o fim do jogo. A equipa do Benfica tem a posse da bola e vai tentar fazer golo. O jogador tem de chutar a bola de uma distância de 47.5 m para enfiar na baliza. Se a trave da baliza tem 3.05 m de altura, com que ângulo e velocidade deve ele chutar a bola para marcar golo? existe apenas 23 Para o bloco do centro (2) T2 + P2 +N2 + T 02 + fc = m2a2 ou, com o eixo dos x dirigido para a esquerda e com o eixo dos y dirigido para cima: x : T2 − T 02 − fc = m2a2 y : −P2 +N2 = 0 fc = μcN2 4.0 kg 1.0 kg 2.0 kg T3’ P3 y Bloco 3 Para o bloco da direita (3): T3 + P3 = m3a3 ou, com um eixo dirigido para cima, T3 −m3g = m3a3 Como o sistema se move solidariamente, temos ainda, com as direcções escolhidas para os eixos, a1 = a2 = a3 = a e T1 = T2 T 02 = T3 De modo que o conjunto de equações se reduz a −T1 +m1g = m1a T1 − T3 − fc = m2a fc = μcN2 −P2 +N2 = 0 T3 = m3 (a+ g) −m3g −m3a− μcm2g −m2a+m1g = m1a a (m1+m2+m3) = g (m1 − μcm2 −m3) a = m1 − μcm2 −m3 m1+m2+m3 g = 4.0 kg− 0.35× 1.0 kg− 2.0 kg 4.0 kg + 1.0 kg + 2.0 kg = 0.24m/ s2. b) a tensão em cada uma das duas cordas. T1 = m1 (g − a) = 4.0 kg ¡ 10m/ s2 − 0.24m/ s2 ¢ = 39.0N T3 = m3 (a+ g) = 2.0× (0.24 + 10) = 20.5N. 2 P2 - Um rapaz sobe a encosta de um monte, com 15o de inclinação, arrastando o seu trenó com o peso de 60.0 N, a velocidade constante. Puxa o trenó através de uma corda atada a este último, exercendo uma força de módulo 25 N. Se a corda tiver uma inclinação de 35o em relação à horizontal, qual é o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a neve? No cimo do monte, o rapaz salta para cima do trenó e escorrega pelo monte abaixo. Qual o módulo da sua aceleração na descida? As forças que actuam no trenó são T +N + P + fc = ma Com o eixo dos x dirigido para cima, obtemos as equações escalares: x : T cosα−mg sin θ − fc = 0 y : T sinα−mg cos θ +N = 0 fc = μcN com θ = 15◦, α = 20◦. Temos, assim, fc = T cosα−mg sin θ μc (mg cos θ − T sinα) = T cosα−mg sin θ μc = T cosα−mg sin θ mg cos θ − T sinα = 25N× cos 20◦ − 60N× sin 15◦ 60N× cos 15◦ − 25N× sin 20◦ = 0.16 Na descida, as forças são N 0 + f 0c + P 0 = m0a ou x : −f 0c + P 0 sin 15◦ = m0a y : N 0 − P cos 15◦ = 0 f 0c = μcN 0 e m0a = −μcm 0g cos 15◦ +m0g sin 15◦ a = g (sin 15◦ − μc cos 15 ◦) a = −0.16× 10× cos 15◦ + 10× sin 15◦ = 1.0 m s-2 P3 - Uma caixa é transportada num camião que viaja horizontalmente com velocidade de módulo 15 m s−1. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o camião é 0.40. Determine a distância mínima de paragem para o camião de forma a que a caixa não escorregue. Na travagem, a caixa é actuada pelas forças: fe + P +N = ma x : −fe = ma y : N − P = 0 3 A distância mínima corresponde à aceleração provocada pela força de atrito estático máxima: femax = μeN = μemg e a = −μeg = −0.40× 10m/ s2 = −4.0m/ s2. A distância mínima de travagem é, pois, x = −v20 2a = − (15m/ s)2 −2× 4.0m/ s2 = 28m. P4 - Um bloco A de massa m = 2.00 kg está em repouso sobre a extremidade esquerda de um bloco B de comprimento L = 3.00 m e massa M = 8.00 kg. O coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos é 0.300 e a superfície sobre a qual está o bloco B não tem atrito. Uma força constante horizontal de módulo F = 10.0 N está aplicada no bloco A colocando-o em movimento como se mostra na figura. a) Quanto tempo demora o bloco A a chegar à extremidade direita do bloco B, (como se mostra em b)? Forças a actuar no bloco A: NA + PA + F + fe = mAaA x : F − fe = mAaA y : NA − PA = 0 fe = μeNA aA = F mA − μeg = 10N 2kg − 0.300× 10m/ s2 = 2.0m/ s2. 4 No ponto mais baixo, temos T − P = mv2 r T = mg + mv2 r = 85× 10 + 85× 8.002 10 = 1.39× 103N. P7 - Um pequeno disco de massa 0.250 kg está ligado a um fio e roda segundo um círculo de raio 1.00 m sobre uma mesa horizontal sem atrito, como se mostra na figura. O fio passa através de um buraco no centro da mesa e uma massa de 1.00 kg está ligada à outra extremidade. A massa suspensa permanece em equilíbrio enquando o disco roda. a) Qual é a tensão na corda? As forças que actuam sobre o disco são o peso, a nornal à mesa e a tensão da corda, que é centrípeta. Segundo um eixo eadial apontando para o centro, a 2.a lei de Newton exprime-se na forma T1 = m1a = m1 v2 r As forças que actuam na massa pendurada são o seu peso e a tensão da corda: T2 + P2 = 0 ou T2 = m2g. Portanto T2 = T = m2g = 1.00× 10 = 10N. b) Qual é o módulo da força central que actua no disco? É a força T1 = T = 10. N. c) Qual é o módulo da velocidade do disco? Temos v = r T1r m1 = s 10N× 1m 0.250 kg = 6. 3m/ s. P8 - Na montanha russa que se mostra na figura, o carro tem uma massa de 500 kg quando cheio de passageiros. 7 a) Se o carro tem uma velocidade de 20.0 m s−1 no ponto A, qual é o módulo da força exercida pelo carril no carro nesse ponto? No ponto A P +N = ma ou −P +N = m v2 r N = m µ g + v2 r ¶ = 500 kg à 10m/ s2 + (20m/ s) 2 10m ! = 2.5× 104N. b) Qual é o módulo da velocidade máxima que o carro pode ter em B para permanecer no carril? No ponto B, P −N 0 = m v 02 r0 A velocidade máxima para permanecer no carril é dada pela equação anterior, com N 0 = 0, ou v 0 = p gr0 = p 10m/ s2 × 15m = 12m/ s. P9 - Um carro contorna uma curva inclinada como se mostra na figura. O raio de curvatura da estrada é R, ângulo de inclinação é θ, e o coeficiente de atrito estático é μ. Determine: a) o domínio de módulos da velocidade que o carro pode ter sem que escorregue para cima ou para baixo na estrada, A 2.a lei de Newton exprime-se na forma P +N + fa = ma ou x : −N sin θ + αfa cos θ = max y : −mg +N cos θ + αfa sin θ = may 8 e ax = − v2 r fa ≤ μN e α = 1 se a força de atrito aponta para cima, α = −1 se a força de atrito aponta para baixo. Não escorregamento significa ay = 0. −mg +N cos θ + αfa sin θ = 0 −N sin θ + αfa cos θ = −m v2 r ou. com fa = μN −mg +N (cos θ + αμ sin θ) = 0 N (sin θ − αμ cos θ) = m v2 r e N = mg/ (cos θ + αμ sin θ) v2 = rg (sin θ − αμ cos θ) / (cos θ + αμ sin θ) obtendo-se v2max = rg (sin θ + μ cos θ) / (cos θ − μ sin θ) α = −1 v2min = rg (sin θ − μ cos θ) / (cos θ + μ sin θ) α = +1 b) o valor mínimo de μ que permita que a que a velocidade tenha módulo mínimo nulo. vmin = 0⇒ μ = sin θ cos θ = tan θ c) o domínio de módulos de velocidades possível para R = 100 m, θ = 10◦, e μ = 0.10. P10 - Um objecto de 0.500 kg está suspenso por um fio do tecto de um camião em movimento acelerado. Se o módulo da aceleração do camião é a = 3.00 m s−1, determine: a) o ângulo que a corda faz com a vertical, b) a tensão na corda. As forças que actuam no objecto são a tensão da corda e o peso: T + P = ma ou x : T sin θ = ma y : T cos θ − P = 0 ou tan θ = a g e θ = arctan 3.00m/ s2 10.0m/ s2 = 16.7◦ 9 Física I -2009/2010 6a Série - Energia - Resolução Questões: Q1 - Identifique dois processos através dos quaisa pode ser transferida energia do ambiente para um sistema? Q2 - Identifique as transformações de energia em cada um dos seguintes processos (por exemplo: Ec → Ug → ETérm) a) Uma bola cai do topo de um arranha-céus; O sistema é a bola e a Terra (interactuando através da gravidade). Se não considerarmos a resistência do ar, temos apenas Ug → Ec . Se tivermos em conta a resistência do ar, temos Ug → ½ Ec ETérm . b) Um helicóptero sobe com velocidade constante; O sistema é o helicóptero a Terra e o ar (um helicóptero não subiria na Lua) As transformações serão EQ(combustível)→ Ec (hélices)→ ½ Ug ETérm c) Uma seta é lançada por um arco e atinge o centro de um alvo; d) Um saltador à vara corre, assenta a vara e salta sobre a barra. Q3 - Identifique um sistema apropriado para a aplicação da conservação de energia a cada um dos seguintes casos: a) Uma mola em hélice é utilizada para lançar uma bola; Mola+bola+Terra. Formas de energia envolvidas: Energia potencial elástica (mola); Energia potencial gravítica (bola - Terra); Energia cinética da bola. Estamos a desprezar a massa da mola. b) Uma mola em hélice é utilizada para lançar um carrinho numa calha de ar; Se a calha de ar estiver colocada na horizontal: mola+carrinho Se a calha de ar estiver colocada obliquamente em relação à horizonta, termeos de acrescentar a Terra. c) Uma mola em hélice é utilizada para empurrar um corpo sobre uma mesa. o qual se move até parar; d) Um carrinho, que se move numa calha de ar, choca com uma mola em hélice e volta para trás com velocidade de módulo aproximadamente igual à que tinha antes do choque. Q4 - Caracterize um sistema isolado. É um sistema em que não existem transferências de energia e de matéria através das suas fronteiras. Q5 - a) Num determinado processo. a energia potencial de um sistema diminui ao mesmo tempo que o ambiente efectua trabalho sobre o sistema. A energia cinética do sistema aumenta, diminui ou mantém-se constante? Ou não tem informação suficiente para poder responder? Justifique. 1 b) Num determinado processo. a energia potencial de um sistema aumenta ao mesmo tempo que a o ambiente efectua trabalho sobre o sistema. A energia cinética do sistema diminui, aumenta ou mantém-se constante? Ou não tem informação suficiente para poder responder? Justifique. Q6 - Para cada sistuação descrita • Identifique todas as forças que actuam no corpo; • Desenhe um diagrama das forças aplicadas ao corpo; • Determine se o trabalho realizado por cada força é positivo, negativo ou nulo. a) Um elevador está a subir. T P deslocamento As forças são: T → Tensão da corda; P → Peso do elevador. Num deslocamento vertical para cima, o trabalho da tensão é positivo e o trabalho do peso é negativo. b) Um elevador está a descer. T P deslocamento As forças são: T → Tensão da corda; P → Peso do elevador. Num deslocamento vertical para baixo, o trabalho da tensão é negativo e o trabalho do peso é positivo. c) Uma pessoa empurra uma caixa sobre uma superfície rugosa. Se a superfície é rugosa, existe atrito entre a superfície da caixa e aquela em que assenta. F fc P deslocamento As forças são: F → Força que empurra a caixa; P → Peso da caixa; fc → força de atrito cinético. Num deslocamento horizontal o trabalho da força F é positivo, o trabalho da força fc é negativo e o trabalho do peso é nulo. 2 d) Uma bola é atirada verticalmente para cima. Considere a situação desde que a bola sai da mão do lançador até atingir o ponto mais alto da trajectória. e) Um automóvel efectua uma curva com velocidade de módulo constante. Q7 - Um carrinho de plástico com massa 0.2 kg e um carrinho de chumbo com massa 20 kg são empurrados com forças iguais sobre uma superfície sem atrito, partindo do repouso. Após percorrerem a distância de 1m, a energia cinética do carrinho de plástico é maior, menor ou igual à do carrinho de chumbo? Justifique. Aplicando o teorema da energia cinética, concluímos imediatamente que a energia cinética dos dois carrinhos é igual após efectuarem deslocamentos iguais sob a acção de forças iguais. Q8 - Nos sistemas de eixos apresentados, trace gráficos da energia cinética de: a) Um automóvel com massa 1000 kg, cuja módulo da velocidade varia uniformemente de 0 a 20m/ s em 20 s. 0 0 5 10 15 20 25 0.5x10 5 1.0x10 5 1.5x10 5 2.0x10 5 2.5x10 5 EC(J) t(s) A aceleração constante do automóvel pode ser obtida, utilizando a equação do movimento uniformemente acelerado unidimensional que relaciona velocidade, aceleração e tempo: a = v − v0 t− t0 , que conduz a a = 20m/ s− 0 20 s− 0 = 1.0m/ s2 o que permite obter valores da velocidade e da energia cinética, para diferentes instantes de tempo: v = v0 + at ou v (m/ s) = 1m/ s2t ( s) t v Ec = 1 2 mv2 ( s) (m/ s) ( J) 0 0 0 5 5 0.125× 105 10 10 0.500× 105 15 15 1. 125× 105 20 20 2.000× 105 Marcamos agora os pontos no gráfico e unimo-los com uma curva suave. 3 pessoa. Se a pessoa se mantiver parada, explique porque é que ela não será atingida pela bola quando esta regressar da sua oscilação. Estaria a pessoa segura se tivesse empurrado a bola quando a largou? Problemas: P1 - Uma força F = (4.0xi+3.0yj) N actua numa partícula que se desloca ao longo do eixo do x desde a origem até x = 5.0 m. Determine o trabalho realizado pela força sobre a partícula. Utilizando a definição de trabalho sobre uma partícula ao longo de um percurso, obtemos W = Z x=5 x=0 F · dr = Z x=5 x=0 (4.0xi+ 3.0yj) · idx = Z x=5 x=0 4.0xdx = 4.0 x2 2 ¯̄ ¯̄ 5 0 = 2.0× 52 = 50. J P2 - Uma carroça carregada de tijolos tem uma massa total de 18 kg e é puxada a velocidade constante por uma corda. A corda tem uma inclinação de 20.0 ◦ acima da horizontal e a carroça desloca-se 20.0m sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o chão e a carroça é 0.500. Determine: a) a tensão na corda. As forças que seexercem na carroça são o peso P , a força exercida pelo pavimento, normal a este, n, a força de atrito cinético, fc (estamos a supor que, de alguma forma a carroça está a escorregar), a tensão da corda. O diagrama de força é o seguinte: T fe P n x y A 2.a lei de Newton exprime-se na forma: n+ P + fc + F = ma com a = 0, porque a velocidade é constante: As equações escalares correspondentes, no sistema de referência da figura, são x : T cos 20◦ − fc = 0 y n+ T sin 20◦ − P = 0 fc = μn 6 Vindo, então, fca = μ (P − T sin 20◦) T cos 20◦ − μ (P − T sin 20◦) = 0 T (cos 20◦ + μ sin 20◦) = μP T = μP (cos 20◦ + μ sin 20◦) = 0.500× 18 kg× 10m/ s2 (cos 20◦ + 0.500× sin 20◦) = 81.N. b) a trabalho realizado pela corda sobre a carroça. WF = T∆ cos 20◦ = 81N× 20m× cos 20◦ = 1.5× 103 J c) o trabalho realizado pela força da gravidade. WP = 0, porque a força da gravidade tem direcção perpendicular à do deslocamento. d) o trabalho realizado pela força normal exercida pelo chão. WN = 0, porque a força normal tem direcção perpendicular à do deslocamento. e) a energia "perdida"devido ao atrito. Wfa = −μ (P − T sin 20◦)∆ = −0.500× ¡ 18 kg× 10m/ s2 − 81m/ s2 sin 20◦ ¢ × 20m = −1.5× 103 J que é a energia transformada em energia térmica, devido ao atrito P3 - Um arqueiro puxa a corda do seu arco para trás 0.400m, exercendo uma força cujo módulo cresce uniformemente de zero a 230N. a) Qual é a constante elástica equivalente do arco? Se F é a força cresce uniformemente, o arco comporta-se como uma mola elástica, pelo que lhe podemos associar uma constante elástica "equivalente"keq , tal que F = keqx. Substituindo os valores dados, obtemis 230N = k × 0.400m k = 230N 0.400m = 575N/m b) Qual o trabalho realizado quando a corda do arco é puxada? Como o arco se comporta de forma análoga à de uma mola elástica, podemos escrever o trabalho realizado pela força que está aplicada ao arco na forma W = 1 2 keqx 2 = 1 2 × 575N/m× (0.400m)2 = 46.0 J. 7 P4 - Uma pequena massa m é puxada para o cimo de um meio cilindro (de raio R) sem atrito, como se mostra na figura. a) Se a massa se move com uma velocidade de módulo constante, mostre que F = mg cos θ. As forças aplicadas ao corpo de massa m são: a força F,a força normal, em cada ponto, à superfície do cilindro, N , e o peso, P . Como o corpo se move com velocidade contante, a 2.a lei de Newton exprime-se na forma: F +N + P = 0 Escolhendo agora um sistema de referência com origem no corpo de massa m e com um eixo na direcção radial e outro na direcção tangencial à superfície do cilindro, obtemos as correspondentes equações escalares r : N − P sin θ = 0 t : −F + P cos θ = 0 de onde F = P cos θ = mg cos θ. b) Determine o trabalho realizado pela força F quando se move a massa, com módulo da velocidade constante, da base para o topo do cilindro. Utilizamos o facto de um elemento de arco na superfície do cilindro pode ser escrito na forma dr = Rdθut, de onde resulta W = Z F · dr = Z π 2 0 FRdθ = mgR Z π 2 0 cos θdθ = mgR ³ sin π 2 − sin 0 ´ = mgR. P5 - Um lançador de bolas de uma máquina de jogos, como se mostra na figura, tem uma mola com uma constante de força 1.20N/ cm. A superfície em que a bola se move tem uma inclinação de 10 ◦ em relação à horizontal. Se a mola está inicialmente comprimida de 5.00 cm, determine a velocidade de lançamento de uma bola de 100 g quando o lançador é solto. Despreze o atrito e a massa da mola. 8 P10 - Duas massas estão ligadas por uma corda leve que passa por uma roldana sem atrito como se mostra na figura. A massa de 5.0 kg é largada do repouso. Utilizando a lei de conservação da energia, determine: a) a velocidade da massa de 3.0 kg quando a massa de 5.0 kg toca no chão, Como se considera que as forças de atrito são desprezáveis (e também supomos que a massa da roldana é nula), a soma das veriações da energia cinética e da energia potencial gravítica é nula, ou ∆EC +∆U = 0 2∆EC1 +∆EC2 +∆U1 +∆U2 = 0 1 2 (m1 +m2) v 2 +m1gh−m2gh = 0, em que m1 e m2 são as massas dos dois corpos e v é o módulo (comum) das suas velocidades. Resolvendo em ordem a v2, obtemos v2 = 2 m2 −m1 m1 +m2 gh e v = s 2× 10m/ s2 × 4.0m× 5.0 kg− 3.0 kg 5.0 + 3.0 kg = 4.5m/ s. A velocidade do corpo de massa 3.0 kg tem direcção vertical, sentido para cima e módulo v = 4.5m/ s. b) a altura máxima a que a massa de 3.0 kg sobe. Quando a massa 2 toca no chão, a outra massa continua a subir porque possui velocidade não nula, sendo actuada apenas pela força gravítica, uma vez que a corda deixou de estar tensa. Utilizando a conservação da energia mecânica do sistema massa 1 + Terra, a partir do momento em que a massa m2 toca no chão, a massa m1 continua a mover-se de uma distância h0 tal que m1gh 0 = 1 2 m1v 2 h0 = m1v 2 2m1g = v2 2g = (4.5m/ s)2 2× 10/ s2 = 1.0 m A massa 1 sobe 1.0 m a contar da posição em que estava quando a massa 2 tocou no chão. P11 - Considere o sistema representado na figura. O coeficiente de atrito entre a massa de 3.0 kg e a superfície é de 0.40. O sistema parte do repouso. Qual a velocidade da massa de 5.0 kg após ter descido 1.5 m? 11 Figura 1: O trabalho da força de atrito sobre o corpo, Wfc , quando este se desloca de uma determinada distância, é igual à variação da energia mecânica do sistema, isto é, Wfa = ∆EC +∆U, em que EC é a nergia cinética do sistema e U a enrgia potencial (neste caso, gravítica). Esta equação pode ser escrita na forma 1 2 (m1 +m2) v 2 + (−m2gh)− (−μm1gh) = 0 de onde obtemos v = s 2 (m2 − μm1) gh (m1 +m2) = s 2× (5.0 kg− 0.40× 3.0 kg)× 10m/ s2 × 1.5m 5.0 kg + 3.0 kg = 3.8m s−1. P12 - Um berlinde escorrega sem atrito ao longo de uma calha, como se mostra na figura. Se o berlinde fôr largado de uma altura h = 3.50R qual a sua velocidade no ponto A? Qual o valor da força normal que actua sobre ele naquele ponto, se a sua massa é de 5.00 g? No ponto de partida a energia potencial gravítica, referida à base do traço circular, é Ui = mgh e a energia cinética é ECi = 0, porque o berlinda está em repouso. No ponto A, UA = 2mgR e ECA = 1 2mv2A. Portanto 1 2 mv2A + 2mgR = mgh vA = p 2gh− 4gR = p 3gR 12 No ponto A, as forças que actuam sobre o berlinde são o peso e a normal, no mesmo sentido, para baixo, portanto: N +mg = mv2A R N = 3gm− gm = 2× 0.005 kg× 10m/ s2 = 0.1N P13 - Um bloco de 3.0 kg escorrega ao longo de um plano inclinado que faz um ângulo de 30o com a horizontal, partindo do repouso de uma altura h = 60 cm, como se indica na figura. Depois de atingir a base, o bloco escorrega ao longo de uma superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito em ambas as superfícies fôr 0.20, qual a distância percorrida pelo bloco sobre a superfície horizontal até parar? (Sugestão: Divida a trajectória em duas partes rectas). Utilizando a mesma nomenclatura do problema anterior, no percurso no plano inclinado, temosWfc = ∆EC +∆U , ou ∆EC +∆U −Wfc = 0 1 2 mv21 −mgh− µ −μmg × h cos θ sin θ ¶ = 0 v21 = 2gh ∙ 1− μ cos θ sin θ ¸ v1 = s 2× 10m/ s2 × 0.60m× ∙ 1− 0.20× µ cos 30 ◦ sin 30 ◦ ¶¸ = 2.8 m/ s. Na trajectória horizontal. ∆EC = Wfa − 1 2 mv21 = −μmg∆ ∆ = v21 2μg = (2.8 m/ s)2 2× 0.20× 10m/ s2 = 2.0m. ÷ 13 Na posição A: ECA = 0; UelA = 1 2 kx21; UgA = mgx1. Na posição B: ECB = 1 2 mv2B ; UelB = 0; UgB = 0. Na posição C: ECB = 0; UelB = 0; UgB = mgx2 . a) A energia mecânica total conserva-se e, portanto: ETot = 1 2 kx21 +mgx1 = 1 2 mv2B = mgx 2 Podemos calcular ETot a partir da 1.a expressão, ou ETot = 1 2 kx21 −mgx1 = 1 2 × 2.5× 104N/m× (0.10m)2 + 25kg× 10m/ s2 × (−0.10m) = 100 J. b) Como ETot = mgx2 = 100 J, obtemos x2 = 100 J 25 kg× 10m/ s2 = 0.40m. c) De 1 2 mv2B = 100 J, vem v2B = 2× 100 J m vB = s 2× 100 J 25 kg = 83m/ s. d) O ponto em que a energia cinética é máxima é o ponto em que a soma das energias potenciais é mínima, isto é, para x < 0, a coordenada x para a qual a quantidade U = 1 2kx 2 +mgx é mínima. Esse valor obtem-se derivando U em ordem a x e igualando a 0. Obtemos dU dx = kx+mg = 0 ou x = − mg k = − 25 kg× 10m/ s2 2.5× 104N/m = −0.01m. 16 A 2.a derivada é d2U dx2 = k > 0 o que significa que nessse ponto a energia potencial total é um mínimo (a energia cinética é máxima). nesse ponto, U = 1 2 × 2.5× 104N/m× (−0.01m)2 + 25kg × 10m/ s2 × (−0.01m) = −1, 3 J. e EC = 100. J− (−1.3 J) = 101. 3 J. Na região x > 0, temos sempre ETot = 1 2 kx2 +mgx = 100 J. O valor máximo de EC corresponde, nesta região, a x = 0 , obtendo-se EC = 100 J Consequentemente o ponto em que a eenrgia cinética é máxima é x = −0.01m. e) A velocidade máxima para cima da criança é vmax = s 2× 100 J 25 kg = 2.8m/ s. P17 - A Jane que tem uma massa de 50.0 kg, precisa de oscilar através de um rio de largura D, cheio de crocodilos, para salvar o Tarzan de perigo. Contudo ela tem de oscilar contra a força do vento F horizontal e constante, agarrada a uma trepadeira de comprimento L, que inicialmente faz um ângulo θ com a vertical, como se mostra na figura. Considere D = 50.0 m, F = 110 N, L = 40.0 m, θ = 50.0o e que o Tarzan tem uma massa de 80.0 kg. a) Qual a velocidade mínima com que a Jane tem de iniciar a sua oscilação para conseguir alcançar o outro lado? b) Quando a Jane chega ao outro lado, ela e o Tarzan têm de oscilar de volta ao lado de partida da Jane. Com que velocidade mínima têm eles de iniciar a sua oscilação? 17 Física I -2009/2010 7a Série - Oscilações - Resolução Questões: Q1 - Será que a amplitude A e a constante na fase φ de um oscilador, podem ser determinadas, se apenas for especificada a posição no instante t = 0? Explique. Q2 - Uma massa ligada a uma mola tem um movimento harmónico simples com amplitude A. Será que a energia total varia se a massa duplicar mas a amplitude se mantiver? As energias cinética e potencial dependem da massa? Explique. Q3 - Uma massa é pendurada numa mola segundo a vertical e é posta em oscilação. Porque é que o seu movimento acaba por parar? Q4 - Um relógio de pêndulo está atrasado. Como se deveria ajustar o comprimento do pêndulo para acertar as horas? Problemas: P1 - Uma partícula move-se ao longo do eixo dos x com movimento harmónico simples, tendo partido da origem no instante t = 0 deslocando-se para a direita. A amplitude do movimento é 2.00 cm e a frequência é 1.50Hz. a) Escreva a equação para o deslocamento. b) Determine a velocidade máxima e o primeiro instante em que a partícula atinge essa velocidade; faça o mesmo para a aceleração. c) Qual a distância total percorrida no intervalo de tempo entre t = 0 e t = 1.00 s. a) A equação do movimento, que exprime a coordenada de posição em função do tempo, é do tipo x = A cos (ωt+ φ) , em que A é a amplitude, ω é a frequência angular e φ a constante de fase. ω = 2πν = 2π× 1.50Hz = 9. 42 rad/ s; A = 2.00 cm. Como x (0 s) = 0.0 cm, vem x (0) = A cosφ = 0 e φ = π 2 ou φ = 3π 2 . A escolha entre estes dois valores para a constante de fase é determinada pela indicação de que no instante inicial, a velocidade é positiva (se para t = 0 a partícula se desloca para a direita, a velocidade nesse instante tem o sentido positvo dos eixo dos x e é, portanto, positiva). A velocidade, em função dotempo, é dada por v = dx/dt = −Aω sin (ωt+ φ) e, para t = 0, v (0) = −Aω sinφ 1