Baixe Resolução Reitz Cap 1 e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! Caṕıtulo 1 Análise Vetorial 1.1 Sejam os dois segmentos de reta AB e CD, com −−→ AB = ~B − ~A e −−→CD = ~D − ~C, tal que: −−→ AB = ı̂ + 2̂− k̂ −−→ CD = −3̂ı− 6̂ + 3k̂ Para verificar que −−→ AB e −−→ CD são paralelos basta verificar que −−→ AB ×−−→CD = 0 ou simplesmente que −−→ CD = −3·−−→AB. Então, −−→AB e −−→CD são paralelos e CD/AB = 3. 1.2 Para ~A ⊥ ~B, o produto interno ~A · ~B deve ser igual a zero, já que não existe uma projeção não nula de ~A sobre ~B. Nesse caso, ~A = ı̂ + 4̂ + 3k̂ e ~B = 4̂ı + 2̂− 4k̂: ~A · ~B = 4 + 8− 12 = 0 Ou seja, ~A e ~B são perpendiculates. 1.3 Para que ~A, ~B e ~C sejam os lados de um triângulo retângulo, tem-se que: ~A + ~B = ~C ou ~B + ~C = ~A ou ~C + ~A = ~B︸ ︷︷ ︸ definicão de triângulo e ~A · ~B = 0 ou ~B · ~C = 0 ou ~C · ~A = 0︸ ︷︷ ︸ ângulo reto Verifica-se que: ~A + ~B = ~C e ~A · ~B = 0. Logo, ~A, ~B e ~C formam um triângulo retângulo. 1 2 CAPÍTULO 1. ANÁLISE VETORIAL 1.4 ~A = ~B − ~C Tomando o produto escalar em ambos os lados da equação, obtem-se: ~A · ~A = ~B · ~B + ~C · ~C − 2 · ~B · ~C Como ~B · ~C = BC cos θ, onde B e C são os módulos de ~B e ~C, respectiva- mente, e θ é o ângulo formado entre os dois vetores, obtem-se: A2 = B2 + C2 − 2BC cos θ︸ ︷︷ ︸ lei dos cossenos A interpretação geométrica é evidente e leva à conhecida desigualdade trian- gular | ~A|+ |~C| ≥ | ~B| e ao teorema de Pitágoras, quando θ = π/2, um triângulo retângulo. 1.5 ~A = cos α̂ı + sin α̂ ~B = cos β ı̂ + sin β ̂ Os ângulos de cada vetor com o eixo x são obtidos a partir do produto escalar entre cada um deles e o versor da direção x, ı̂. Fica evidente que o ângulo θ entre ~A e ~B é igual a β − α. Tomando, então, o produto escalar de ~A com ~B, obtem-se: ~A · ~B = | ~A| · | ~B| · cos θ = cos α · cosβ + sin α · sin β Como | ~A| = | ~B| = 1, então: cos (β − α) = cos α · cosβ + sin α · sin β 1.6 ~r = x̂ı + ŷ + zk̂ ~A = Ax ı̂ + Ay ̂ + Azk̂ Tomando o produto interno ( ~r − ~A ) · ~A = (x−Ax)Ax + (y −Ay)Ay + (z −Az)Az = 0 e lembrando que a equação greal de um plano é da forma ax+ by + cz + d = 0, verifica-se que ( ~r − ~A ) · ~A é a equação do plano que passa 1.13. 5 é nulo. Deve-se mostrar que a condição acima é satisfeita se, e somente se, ~A, ~B e ~C são linearmente dependentes: 1. Se os três vetores são linearmente dependentes então é posśıvel escrever ~C = k1 ~A + k2 ~B. Assim, ~A · ( ~B × ~C ) = k1 ~A · ( ~B × ~A ) + k2 ~A · ( ~B × ~B ) = 0. 2. O determinante anula-se somente se uma linha (ou coluna) for nula ou uma combinação linear das outras. Assim: { ~A · ( ~B × ~C ) = 0 } ⇐⇒ { ~C = k1 ~A + k2 ~B } Para ~A = ̂ + 3k̂ ~B = ı̂− 2k̂ ~C = ı̂ + ̂ + k̂ claramente, ~C = ~A + ~B. Assim: ~A · ( ~B × ~C ) = ∣∣∣∣∣∣ 0 1 3 1 0 −2 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 0 1.13 Seja ϕ = ϕ (~r) um campo escalar. A equação ϕ (~r) = constante define uma superf́ıcie, de forma que: dϕ = ∂ϕ ∂x dx + ∂ϕ ∂y dy + ∂ϕ ∂z dz = 0 Essa equação pode ser reescrita como ~∇ϕ (~r) · −→dr = 0. Isso mostra que ~∇ϕ (~r) é perpendicular ao vetor −→dr, que é um vetor paralelo à superf́ıcie num dado ponto ~r. Para ϕ (~r) = ax2 + by2 + cz2, obtem-se ~∇ϕ (~r) = 2ax̂ı + 2bŷ + 2czk̂ e: n̂︸︷︷︸ versor normal à superf ície = ax̂ı + bŷ + czk̂√ (ax)2 + (by)2 + (cz)2 1.14 dϕ ds = ~∇ϕ · −→ ds ds Em coordenadas ciĺındricas, −→ ds = r̂dr + θ̂rdθ + k̂dz e 6 CAPÍTULO 1. ANÁLISE VETORIAL dϕ = ∂ϕ ∂r dr + ∂ϕ ∂θ dθ + ∂ϕ ∂z dz. Por comparação: ~∇ϕ = ∂ϕ ∂r r̂ + ∂ϕ ∂θ ( 1 r ) θ̂ + ∂ϕ ∂z k̂ Uma forma alternativa de resolução seria escrever x, y e z em coordenadas ciĺındricas e, através da regra da cadeia, substituir de forma direta na definição de gradiente em coordenadas cartesianas. 1.15 Definição de divergente: ~∇ · ~F = lim ∆V→0 ( 1 ∆V ) ∫∫ S ~F · n̂dA onde S é a superf́ıcie que limita ∆V . ~F (r, θ, z) = Fr r̂ + Fθ θ̂ + Fz k̂ Em coordenadas ciĺındricas, um diferencial de volume dV é dado por dV = rdrdθdz. Realizando, agora, o cálculo do fluxo de ~F na superf́ıcie S, em cada uma das direções, obtem-se: • r̂ : Fr (r + ∆r, θ, z) · (r + ∆r)∆z∆θ − Fr (r, θ, z) · r∆z∆θ • θ̂ : Fθ (r, θ + ∆θ, z) ·∆z∆r − Fθ (r, θ, z) ·∆z∆r • k̂ : Fz (r, θ, z + ∆z) · r∆θ∆r − Fz (r, θ, z) · r∆θ∆r Substituindo na definição: ~∇ · ~F = lim ∆r→0 ∆θ→0 ∆z→0 [( 1 r∆r∆θ∆z ) · ( Fr (r + ∆r, θ, z) · (r + ∆r)∆z∆θ−Fr (r, θ, z) ·r∆z∆θ + Fθ (r, θ + ∆θ, z) ·∆z∆r − Fθ (r, θ, z) ·∆z∆r + Fz (r, θ, z + ∆z) · r∆θ∆r − Fz (r, θ, z) · r∆θ∆r )] Rearranjando os termons, obtem-se: ~∇ · ~F = lim ∆r→0 [( Fr(r + ∆r, θ, z)− Fr(r, θ, z) ∆r ) + Fr(r + ∆r, θ, z) r ] + lim ∆θ→0 ( Fθ(r, θ + ∆θ, z)− Fθ(r, θ, z) ∆θ ) ( 1 r ) + lim ∆z→0 ( Fz(r, θ, z + ∆z)− Fz(r, θ, z) ∆z ) 1.16. 7 Nota-se aqui que os termos acima entre parênteses correspondem às definições de derivada parcial. Portanto: ~∇ · ~F = 1 r · ∂ ∂r (r · Fr) + 1 r ∂Fθ ∂θ + ∂Fz ∂z 1.16 ~F = ı̂ ( x2 + yz ) + ̂ ( y2 + zx ) + k̂ ( z2 + xy ) ~∇ · ~F = ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z = 2x + 2y + 2z ~∇× ~F = ∣∣∣∣∣∣ ı̂ ̂ k̂ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z Fx Fy Fz ∣∣∣∣∣∣ = 0 1.17 ~∇× ~F = ı̂ ( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ) + ̂ ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ) + k̂ ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ) Assim, para que ~∇× ~F seja perpendicular à ~F , o produto interno entre eles deve ser nulo. Entretanto ~F · ( ~∇× ~F ) = Fx ( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ) + Fy ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ) + Fz ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ) , e, obviamente, esse resultado não é identicamente nulo. 1.18 Utilizando a derivada do produto, ~∇2 (ϕψ) pode ser reescrito da seguinte forma: ~∇2 (ϕψ) = ~∇ · [ ~∇ (ϕψ) ] = ∂ ∂x ( ψ ∂ϕ x + ϕ ∂ψ x ) + ∂ ∂y ( ψ ∂ϕ y + ϕ ∂ψ y ) + ∂ ∂z ( ψ ∂ϕ z + ϕ ∂ψ z ) Aplicando mais uma vez a derivada do produto: ~∇2 (ϕψ) = 2∂ψ ∂x ∂ϕ ∂x + ψ ∂2ϕ ∂x2 + ϕ ∂2ψ ∂x2 + . . . = ~∇2ψ + ~∇2ϕ + 2 ( ~∇ψ ) · ( ~∇ϕ ) 10 CAPÍTULO 1. ANÁLISE VETORIAL 1.24 Para ξ = ~A ·~r, com ~A = Ax ı̂ +Ay ̂ +Az k̂ constante e ~r = x̂ı + ŷ + zk̂, obtem-se ∂ξ ∂x = Ax, ∂ξ ∂y = Ay e ∂ξ ∂z = Az. Utilizando a regra da cadeia, ~∇ϕ (ξ) = ∂ϕ ∂x ı̂ + ∂ϕ ∂y ̂ + ∂ϕ ∂z k̂ pode ser reescrito da seguinte forma: ~∇ϕ (ξ) = ∂ϕ ∂ξ ∂ξ ∂x ı̂ + ∂ϕ ∂ξ ∂ξ ∂y ̂ + ∂ϕ ∂ξ ∂ξ ∂z k̂ Como ϕ é função apenas de ξ, então ∂ϕ∂ξ = dϕ dξ . Portanto: ~∇ϕ (ξ) = ~A · dϕ dξ 1.25 ~∇× ( ~∇× ~F ) ?= ~∇ ( ~∇ · ~F ) + ~∇2 ~F Desenvolvendo o lado esquerdo da equação: ~∇× ( ~∇× ~F ) = ~∇× [( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ) ı̂ + ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ) ̂ + ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ) k̂ ] = ı̂ [ ∂ ∂y ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ) − ∂ ∂z ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x )] + ̂ [ ∂ ∂z ( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ) − ∂ ∂x ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y )] + k̂ [ ∂ ∂x ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ) − ∂ ∂y ( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z )] Desenvolvendo, agora, o lado direito: ~∇ ( ~∇ · ~F ) − ~∇2 ~F = ı̂ [ ∂ ∂x ( ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ) − ( ∂2Fx ∂x2 + ∂2Fx ∂y2 + ∂2Fx ∂z2 )] + ̂ [ ∂ ∂y ( ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ) − ( ∂2Fy ∂x2 + ∂2Fy ∂y2 + ∂2Fy ∂z2 )] + k̂ [ ∂ ∂z ( ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ) − ( ∂2Fz ∂x2 + ∂2Fz ∂y2 + ∂2Fz ∂z2 )] Basta, então, comparar as duas igualdades e verificar que são iguais. 1.26. 11 1.26 1-2-2 Sejam ϕ = ϕ (~r) e ~F , um vetor constante. Utilizando a propriedade ~∇ · ( ϕ~F ) = ( ~∇ϕ ) · ~F + ϕ~∇ · ~F obtem-se que ~∇ · ( ϕ~F ) = ( ~∇ϕ ) · ~F , já que ~F é constante. tomando o produto interno da expressão ∫∫∫ V ~∇ϕdv com ~F e aplicando a propriedade acima descrita, obtem-se que: ∫∫∫ V ~∇ϕdv · ~F = ∫∫∫ V ~∇ · ( ϕ~F ) dv Aplicando, então, o teorema do divergente: ∫∫∫ V ~∇ · ( ϕ~F ) dv = ∫∫ S ϕ~F · n̂ds {∫∫∫ V ~∇ϕdv } · ~F = {∫∫ S ϕn̂ds } · ~F A igualdade é válida para todo ~F (vetor arbitrário), logo ela não depende de sua escolha, de forma que: ∫∫∫ V ~∇ϕdv = ∫∫ S ϕn̂ds 1-2-4 Sejam ~G = ~G (~r) e ~F = ~F (~r) duas funções vetoriais. ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) · ~Fdv = ı̂ ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) Fxdv + ̂ ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) Fydv + k̂ ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) Fzdv Comparando com o item anterior, nota-se que ~∇ · ( Fu ~G ) = ( ~∇Fu ) · ~G + Fu~∇ · ~G = ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) Fu em que u = x, y ou z. Substituino, então, a propriedade acima em cada componente da integral e aplicando o teorema do divergente obtem-se: 12 CAPÍTULO 1. ANÁLISE VETORIAL ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) · ~Fdv = ı̂ ∫∫ S ( ~G · n̂ ) Fxds + ̂ ∫∫ S ( ~G · n̂ ) Fyds + k̂ ∫∫ S ( ~G · n̂ ) Fzds Portanto: ∫∫∫ V ( ~∇ · ~G + ~G · ~∇ ) · ~Fdv = ∫∫ S ~F ( ~G · n̂ ) ds