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Tipologia: Notas de estudo
1 / 13
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a)
M=magic(5)
b) i)
ii)
iii)
dp=diag(M)
dp =
17 5 13 21 9
iv)
t=M(:)
t =
17 23 4 10 11 24 5 6 12 18 1 7 13 19 25 8 14 20 21 2 15 16 22 3 9
sum(dp)==k
ans =
1
Verificar se a soma da diagonal secund´aria ´e igual a k = 65:
sum(ds)==k
ans =
1
Verificar se o vector t (com todos os elementos de M ) ´e formado pelos n´umeros 1 , 2 ,... , 25; ter em conta que h´a que ordenar os elementos do vector t e transpor para comparar com o vector linha 1 : 25.
isequal(sort(t)’,1:25)
ans =
1
Nota: Se o aluno calculasse apenas
sum(M)
ans =
65 65 65 65 65
e comentasse que a soma por colunas era constante (e igual a 65), e procedesse de modo an´alogo para a soma por linhas, soma da diagonal princial e soma da diagonal secund´aria, a sua resposta seria considerada correcta.
a) i)
ans =
0
a) ii)
ans =
NaN
b)
Na al´ınea i), o c´alculo de 10^154 − 10154 ´e efectuado em primeiro lugar, de maneira exacta, e d´a o n´umero 0 como resultado, o qual, ap´os multiplica¸c˜ao pelo n´umero 10155 resulta no n´umero 0 (resposta correcta); j´a na al´ınea ii), ao efectuar-se 10155 × 10154 ´e ultrapassado o n´ıvel de overflow; note-se que no sistema de formato duplo IEEE, o n´ıvel de overflow ´e
Ω = realmax ≈ 1. 7977 e + 308
ou seja, tem-se
Assim, 10^155 × 10154 resulta em Inf e Inf-Inf d´a como resultado NaN (not a number).
=⇒ f l(x) = (0.110011) 2 × 2 −^1 = (2−^1 + 2−^2 + 2−^5 + 2−^6 ) × 2 −^1 = 0. 3984.
c)
Ent˜ao, o n´umero de m´aquina imediatamente superior a 128 ser´a
Para concluir quanto vale f l(131), basta notar que 131 est´a entre os dois n´umeros de m´aquina consecutivos 128 e 132, mas mais perto de 132, pelo que f l(131) =
a) Ver notas das aulas te´oricas.
b) i)
cond(f (x)) =
x. cosh x senhx
∣ =^ |x^ coth^ x|.
g=@(x) abs(x.*coth(x))
ezplot(g)
g =
@(x)abs(x.*coth(x))
−6 −4 −2 0 2 4 6
1
2
3
4
5
6
x
abs(x coth(x))
Pela an´alise de gr´afico da fun¸c˜ao cond(f (x)) = g(x) = |x coth(x)|, ´e imediato concluir que a fun¸c˜ao f (x) = senh(x) ser´a mal condicionada para valores de x cujo valor absoluto seja grande, sendo bem condicionada para os restantes valores de x.
b) ii)
x=[10^(-10) 10^(-12) 10^(-14)] format long g ytil=(exp(x)-exp(-x))/
x =
1.0e-010 *
1.0000 0.0100 0.
ytil =
Columns 1 through 2
1.00000008274037e-010 1.00003338943111e-
ytil2=x+(x.^3)/
errosRel2=abs((y-ytil2)./y)
ytil2 =
Columns 1 through 2
1e-010 1e-
Column 3
1e-
errosRel2 =
0 0 0
Como vemos, com o uso da expans˜ao em s´erie de Taylor at´e a 3a^ ordem, obte- mos um erro relativo nulo (o que significa que as aproxima¸c˜oees obtidas com esta f´ormula tˆem precis˜ao idˆenticaa fornecida pela fun¸c˜ao pr´e-definida no MAT- LAB); o que acontece, ´e que n˜ao h´a quaisquer problemas de cancelamento sub- tractivo no uso da f´ormula baseada na s´erie de Taylor, sendo este um processo est´avel de c´alculo de valores se senh(x) (para valores de x pr´oximos de zero)! Vemos, assim, que, embora teoricamente a f´ormula
senhx =
ex^ − e−x 2
seja uma f´ormula exacta do c´alculo de senhx e a express˜ao dada pela expans˜ao em s´erie de Taylor
senhx ≈ x +
x^3 3
nos forne¸ca apenas uma aproxima¸c˜ao,do ponto de vista computacional e para valores de x pr´oximos de zero, o uso da segunda f´ormula ´e prefer´ıvel.
a)
format short d=1:10; d1=10*ones(1,9); A=diag(d)+diag(d1,1)
b=ones(10,1)
b =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b)
x=A\b
x =
-134.
-2.
portanto, que o prolema da resolu¸c˜ao do sistema Ax = b ´e um problema mal condicionado (isto ´e, muito sens´ıvel a altera¸c˜oes nos seus dados).
