Resoluções Jackson capitulo 7, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resoluções Jackson capitulo 7 e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! 7.1  For each set of Stokes parameters given below deduce the amplitude of the electric  field, up to an overall phase, in both linear polarization and circular polarization  bases and make an accurate drawing similar to Fig. 7.4 showing the lengths of the  axes of one of the ellipses and its orientation.  (a) ;2s ,2s ,1s ,3 3210 s   (b) .7s ,24s ,0s ,23 3210 s   Apply Eq. (7.26)(7.27)and(7.28)                          aa s a s a ss aa s a s a ss c l 2 sin 2 s 2 2 sin 2 s 2 213030 21 31 122 10 1 10     (a)      rad aa rad aa s c 1071.1 2 5 2 1 2 2 sin 2 5 , 2 1 4 1 22 2 sin 2 ,1 2s ,2s ,1s ,3 1 1 l 21 3210                                               (b)        rad ss a a rad aa s s c l   2 1 342 24 sin 3 2 4 2 32 28379.0 2 25 2 25 2 7 sin 2 sin 7s ,24s ,0s ,23 1 30 21 31 3210                                         7.2  A plane wave is incident on a layered interface as shown in the figure. The indices of  refraction of the three nonpermeable media are  321 ,, nnn . The thickness of the  intermediate layer is d. Each of the other media is semi‐infinite.  (a) Calculate the transmission and reflection coefficients (ratios of transmitted and  reflected Poynting’s flux to the incident flux), and sketch their behavior as a  function of frequency for  .1,4,2 and ;1,2,3;3,2,1 321321321  nnnnnnnnn   (b) The medium  1n   is part of an optical system (e.g., a lens); medium  3n   is air  ( 13 n ). It is desired to put an optical coating (medium 2n ) on the surface so that  there is no reflected wave for a frequency 0 . What thickness  a   and index of  refraction  2n   are necessary?  (a) Choose a coordinate system such that the electric field is along x‐axis, the  magnetic field along the y‐axis and the wave propagates in z‐direction. In  medium 1n , the incident and reflected waves are described by:         y E B ,xEE ; y E B ,xEE 1111 1 r rrr 1 i iii  tzkitzkitzkitzki eeee       In medium 2n , there are both forward (denoted as +) and backward (‐)  propagating waves and are described by:         y E B ,xEE; y E B ,xEE 2222 2 - --- 2  tzkitzkitzkitzki eeee         In medium 3n , there is only transmitted wave:     y E B ,xEE 33 3 t ttt  tzkitzki ee       Where  3 3 2 2 1 1 k ,k ,k        are wave numbers in the three media. For  nonpermeable media  0321   ,  B andE  are continuous at each  interface (x=0, d). At x=0, one has:  2 - 1 ri -rt EEEE ; EEEE                        At x=d, one has:  dik dikd dikdkdk e e e 3 22 322 3 t 2 -ik ti--i EEeE ;EeEeE         Let    2 3 3 2 1 2 2 1 ; n n n n        The four equations are then      dikdkdkdikdkdk ee 322322 ti--iti--i -ri-ri EeEeE ;EeEeE EEEE ;EEEE         Solving for  :equations last two thefrom E and E 22 - dikdik ee        dikdikdikdik eeee 3232 t-t E1 2 1 E ,E1 2 1 E      Add the first two equations to eliminate  rE :            dikdikdik eee 223 1111E 2 1 E1E1E2 t-i      Solving for tE in terms of iE :          dkidke dik 22t i sin2cos1 2 1 E E 3     Therefore,                  dkdkdk 2 2222 2 22 2 22 2 t i sin111sincos1 E E 4     The transmission coefficient               c d dk      2 22 1 2 2 2 3 2 2 2 31 2 2 3 2 21 2 2222 2 i t 1 3 2i 11 2t 33 i t nsinnnnnnnn nnn4 sin111 4 E E n n E E I I T       It varies between the two extremism values     231 31 22 31 2 2 3 2 21 1 nn n4n T , nnn nn4n T       As a function of  ω  for a fixed d or as a function of d for fixed  ω. From the energy  conservation,               c d c d   2 22 1 2 2 2 3 2 2 2 31 2 2 2 22 1 2 2 2 3 2 2 2 31 2 2 nsinnnnnnnn nsinnnnnnnn T1R      In the special case of d=0, the coefficient reduce to the familiar forms of two  media.  (b) For 1n3  , the reflection coefficient               c d c d   2 22 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 1 2 2 nsinnn1n1nn nsinnn1n1nn R      To have zero reflection at 0  , the following condition must be satisfied:       0nsinnn1n1nn 0 2 22 1 2 2 2 2 2 1 2 2      c d   Since 1n 1,n 21  , this is only possible if  12 nn  . One set of possible solytion is  given by        0nn1n1nn and ,1nsin 2 1 2 2 2 2 2 1 2 22 2 c d   This leads to 01 12 n2 1 d and nn   c l            where  l   is a non‐zero  integer.    7.3  Two plane semi‐infinite slabs of the same uniform, isotropic, nonpermeable, lossless  dielectric with index of refraction n are parallel and separated by an air gap (n=1) of  width d. A plane electromagnetic wave of frequency  ω  is incident on the gap from  one of the slabs with angle of incidence i. For linear polarization both parallel to and  perpendicular to the plane of incidence,  (a) Calculate the ratio of power transmitted into the second slab to the incident  power and the ratio of reflected to incident power;  (b)                                                                         z z z z z z z iiii i iiiii e e ei i eiii i e i e i e i eeee i i v c e ee v eee kIm22 t0 0 0 kIm22 t0 kIm22 t0IIR 0 kIm22 t * IRTR * IRIR 0 kIm22 t 2*20 kIm22 t * 0 * 0 kIm22 t * 0 * znk tt * 00 znk tt00 znk t *kz t ** 00 znk t00 znk t znk t znk t znk tt xnk t EkRenIm EnRenIm En2nn2 2 Re Ennnnnnnn 2 Re Enn 2 Re Enn 2 Re Enn 2 Re Enn 1 EnnEE 2 Re 2HBDERe c n k n Enn EnEn 1 Enk 1 Ek 1 B ,EE                                                                                                          7.13  A stylized model of the ionosphere is a medium described by the dielectric constant  (7.59). Consider the earth with such a medium beginning suddenly at a height h and  extending to infinity. For waves with polarization both perpendicular to the plane of  incident (from a horizontal antenna) and in the plane of incidence (from a vertical  antenna),  (a) Show from Fresnel’s equation for reflection and refraction that for  p  there  is a range of angles of incidence for which reflection is not total, but for larger  angles there is total reflection back toward the earth.  (b) A radio amateur operating at a wavelength of 21 meters in the early evening  finds that she can receive distant stations located more than 1000km away, but  none closer. Assuming that the signals are being reflected from the F layer of the  ionosphere at an effective height of 300km, calculate the electron the electron  density. Compare with the know maximum and minimum F layer densities of  312 m102~  in the daytime and  1111 m10)42(~  a night.  (a) The index of refraction of the ionosphere is  22 2 2 0 1 1n p p       The ratios between the amplitudes of reflected and incident wave are given by  Eqs. (7.39) and (7.41) for the two polarizations. Note the Eqs. (7.41) and (7.39)  have different sign conventions for " 0E .  nsinn sin 0sinn' incidence of plane Efor sinn'cosn'sinn'cosn' incidence of plane Efor sinn'cossinn'cos incidence of plane Efor 1 sinn'cosn' sinn'cosn' E E incidence of plane Efor )reflection total(1 sinn'cos sinn'cos E E n' ionosphere of medium , 1nearth (7.41) incidence of plane Efor sinnn'ncosn' sinnn'ncosn' E E (7.39) incidence of plane Efor sinnn'ncos sinnn'ncos E E 122 222222 2222 222 222 0 " 0 22 22 0 " 0 2222 2222 0 " 0 222 222 0 " 0                                      c                    In both cases, the amplitude of the ratio is unity when  'sin is imaginary. This  corresponds cases that the incidence angle  θis greater than the critical angle  c :                22 11 sinnsin p c   Therefore, the reflection is partial if  c  and is total if  pc   for   (b) For simplicity, treat the ionosphere and the earth as flat surfaces and assume  that the amateur can only receive distant stations when the wave is totally  reflected. In this case,  22 2 p22 22 22 h4 h4 2 h4 h4 sin         d c d d d d p c        Where h=300km is the effective height of the F layer, d=10000km is the distance  between the station and the receiver and  m21 is the wavelength. Plugging  in the numbers, we get the plasma frequency        Hzp 7 22 28 106.4 30041000 3004 21 103 2        which corresponds to an electron density  311 2 2 0 m106.6 m n  c p   Note the day‐night difference is due to the sunlight.    7.19  An approximately monochromatic plane wave packet in one dimension has the  instantaneous form,   xiexf 0k)(x,0u  , with  )(xf the modulation envelope. For each  of the forms   xf below, calculate the wave‐number spectrum    2 kA of the packet,  sketch      22 kA and x,0u , evaluate explicitly the rms deviations from the means  k andx  (defined in terms of the intensities     22 kA and x,0u ), and test  inequality(7.82).  (a) 2)x( xNef    (b) 4)x( xNef    (c)         1xfor 0 1xfor 1 )x(   xN f   (d)       a a f xfor 0 xfor N )x(   (a)             xkkx kx 0)x(x,0ux x,0u 2 1 kA kkA 2 1 0,u ii i efde dex                            22 0 kk 0 kk 0 kk 0 kk 2x kk4 22 2 xRe2 2 xx 2 x 2 kA x 0 2x 0 2x 0 2x 0 2x                                      N dee N deedee N dee N Nef i iii   Let us take N=1 and measure x in units of  1 , then        2 2 2x2 4 1 k 1 2 1 kA x,0u               e   (b)                22 0 22 0 22 0 2222 kk 0 4x xkk 0 4xxkk4xx 2 2 xxkkcos2 2 xRe2 2 x 2 kA x                        e N de N dee N dee N Nef ii   Taking N=1,  α=1  (c)                                            2 0 00000 1 0 0 1 1 xkk kk kksinkkkkcoskkkksin 2 2 xxkkcosx1 2 2 xx1 2 kA otherwise 0 ,1x ,x1x 0        N d N de N Nf i   (d)             0 0 0 0 0 xkk kk kksin2 xxkkcos2 2 xRe2 2 A(k) otherwise 0,x ,x 0             a Nd N de N anf aa i      Choosing N=1, a=1    7.20  A homogeneous, isotropic, nonpermeable dielectric is characterized by an index of  refraction  n ω , which is in general complex in order to describe absorptive  processes.  (a) show that the general solution for plane waves in one dimension can be written                     xncixnciti eBeAedtxu   2 1 ,   where   txu ,   is a component of E or B.  (b) if   txu ,   is real, show that  n ω n ω .  (c) Show that, if   tu ,0   and    xtu  ,0   are the boundary values of u and its  derivative at  x 0, the coefficients  A ω   and  B ω   are                             t x u n ic tudte B A ti ,0,0 2 1 2 1       (a) Just Fourier transform  (b)  txu ,   real, then      0,, *  txutxu                                                                                               0 2 1 2 1 2 1 2 1 ,, * ** ** ** *                                   nnxcixciti nnxcinnxciti xncixncixncixnciti xncixncitixncixnciti eeeBeAed eeeBeeeAed eBeAeBeAed eBeAeeBeAed txutxu              * 0 * nn ee nn     (c)                         tudteBA BAedtu ti ti ,0 2 1 2 1 ,0                                                      BAn c ied eBn c ieAn c ied x tu ti x xncixnciti 2 1 2 1,0 0                                            t x u n ic tudte B A x tu n ic edBA ti ti ,0,0 2 1 2 1 ,0 2 1              7.22  Use the Kramers‐Kronig relation (7.120) to calculate the real part of    , given the  imaginary part of      for positive     as  (a)     21 0 Im      012    (b)   22222 0 0 Im         (a)