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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral
RESUMO SOBRE CÁLCULO INTEGRALM
ÉTODOS DE
P
RIMITIVAÇÃO
Definição:
Seja
(^
)
f^
x
uma função real de variável real de domínio
f
D
. Diz-se que a função
de variável real
(^
)
F
x
é uma primitiva de
(^
)
f^
x
num certo intervalo
f
I^
D
se, para todo o
valor de
x
I
, obtemos
(^
)^
(^
)
F
x
f^
x
′^
. Para simbolizar que
(^
)
F
x^
é uma primitiva de
(^
)
f^
x
escreve-se
(^
)^
(^
)
P
f^
x
F
x
C
⎡^
⎣^
⎦^
ou
(^
)^
(^
)
f^
x dx
F
x
C
∫^
Proposição:
Seja
F
I^
\
\
uma primitiva de
f^
em
I^
(a) Para qualquer constante,
(^
)
F
x
C
é primitiva de
f^
em
I^
(b) Qualquer outra primitiva de
f^
em
I^
é da forma
(^
)
F
x
C
, com C constante.
Proposição:
Seja
f^
uma função primitivável em
I^
\
e sejam
x
I
\
e
y
\
. Existe
uma e uma só primitiva
F
de
f^
tal que
(^
)
F
x^
y
T
ABELAS DE
P
RIMITIVAS
Seja
(^
)
u
f^
x
e
k
a
e
α
constantes:
(a)
[^
]
P
k
k x
;^
(b)
(^
)^
(^
)^
(^
)
sec
tg
sec
P
u
u u
u
⎡^
⎣^
⎦^
(c)
[^
]^
[ ]
P
k u
k P u
;^
(d)
(^
)^
(^
)^
(^
)
cosec
cotg
cosec
P
u
u u
u
⎡^
⎣^
(e)
(^11) u
P u u
α
α^
α
⎡^
⎣^
,^
;^
(f)
(^
)^
(^
)
2 1
arcsen
arccos
u
u
P
u
u
′ −
⎡^
⎣^
(g)
ln
uu
P
u
′^
⎦^
;^
(h)
(^
)^
(^
)
2
2
arcsen
arccos
u^
u^
u
a^
a
a^
u
P
′ −
⎡^
⎣^
(i)
u 2
u
P
u
′
⎦^
;^
(j)
(^
)^
(^
)
2 1
arctg
arccotg
uu
P
u
u
′
⎡^
⎣^
⎦^
(k)
u^
u
P e u
e
′
;^
(l)
(^
)^
(^
)
2
2
1
1
arctg
arccotg
u^
u^
u
a^
a^
a^
a
a^
u
P
′ +
⎡^
⎣^
⎦^
(m)
(^
) ln
u
u^
aa
P a u
⎡^
⎣^
⎦^
;^
(n)
(^
)^
(^
)
(^1) ln^
ln ln
x^
x
P
x
⎡^
⎣^
⎦^
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Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral
(o)
(^
)^
(^
)
tg
ln cos
P
u u
u
⎡^
⎣^
⎦^
;^
(p)
(^
)^
(^
)
cotg
ln sen
P
u u
u
⎡^
⎣^
(q)
(^
)^
(^
)
sen
cos
P
u u
u
⎡^
⎣^
⎦^
;^
(r)
(^
)^
(^
)^
(^
)
sec
ln sec
tg
P
u u
u
u
⎡^
⎣^
⎦^
(s)
(^
)^
(^
)
cos
sen
P
u
u
u
⎦^
;^
(t)
(^
)^
(^
)^
(^
)
cosec
ln cosec
cotg
P
u u
u
u
⎡^
⎣^
(u)
(^
)^
(^
)
2
sec
tg
P
u u
u
⎡^
⎣^
⎦^
;^
(v)
(^
)^
(^
)
2
cosec
cotg
P
u u
u
⎡^
⎣^
⎦^
(w)
(^
)^
(^
)
1 cos 2
2
2
cos
u
P
u
P
⎡^
⎡^
⎣^
⎦^
⎣^
⎦^
;^
(x)
(^
)^
(^
)
1 cos 2
2
2
sen
u
P
u
P
− ⎡
⎡^
⎣^
⎦^
⎦^
(y)
(^
)^
(^
)
2
2
tg
sec
P
u
P
u
⎡^
⎤^
⎡^
⎣^
⎦^
⎣^
⎦^
;^
(z)
(^
)^
(^
)
2
2
cotg
cosec
P
u
P
u
⎡^
⎣^
M
ÉTODOS
G
ERAIS DE
P
RIMITIVAÇÃO
Regra de Derivação
Método de Primitivação
Soma
Por decomposição
Produto
Por partes
Função composta
Por substituição
Primitivação por decomposição Sejam
f^
e
g
funções primitiváveis definidas em
I
\
. Atendendo ao facto de que a soma
de duas funções é uma função temos:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
f^
x^
g
x
dx
f^
x dx
g
x dx
Primitivação por partes O método de primitivação por partes é um método aplicável ao produto de funções utilizandoa regra de derivação do produto de duas funções e a definição de primitiva.Sejam
u
e
v^
duas funções reais de variável real definidas em
u^
v
I^
D
D
, deriváveis e
primitiváveis nesse intervalo.
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Resumo Sobre Cálculo Integral
Derivando o produto
uv
obtemos:
(^
)^
[^
]
P
uv
P u v
uv
′^
(por definição de primitiva)
[^
]^
[^
]
uv
P u v
P uv
(pelo método de decomposição)
[^
]^
[^
]
P
u v
uv
P uv
′^
Alguns critérios para a escolha de
u
e
v
Função
u
′^
v
(^
)^
x
f^
x e
x e^
(^
)
f^
x
(^
)^
(^
)
sen
f^
x
x
(^
)
sen
x^
(^
)
f^
x
(^
)^
(^
)
arctg
f^
x
x
(^
)
f^
x
(^
)
arctg
x
(^
)^
(^
)
log
f^
x
x^
(^
)
f^
x
(^
)
log
x
Nota:
Se
pretendermos
primitivar
apenas
a
função
inversa
de
uma
das
funções
trigonométricas ou a função logaritmo podemos aplicar o método de primitivação por partes.Nestes casos, consideramos o produto da função a primitivar pelo factor 1 e fazemos
u
′^
Primitivação por substituição Seja
(^
)
f^
x
uma função que se pretende primitivar,
f^
I^
\
\
e^
(^
)
x
t
uma função
injectiva, ou seja, invertível em qualquer intervalo contido no seu domínio. Sabemos, pordefinição de primitiva que
(^
)^
(^
)
F
x
P
f^
x
⎡^
⎣^
⎦^
, logo
(^
)^
(^
)^
( )
F
x
f^
x
f^
t
′^
⎦^
e, aplicando a
regra de derivação da função composta, vem:
(^
)^
( )
( )
( )
F
x
F
t^
F
t^
t
⎡^
′^
′^
⎤^
⎦^
⎣^
Temos assim que:
(^
)^
( )
( )
( )
F
x
F
t^
F
t^
t
⎡^
′^
′^
⎤^
⎦^
⎣^
e
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Resumo Sobre Cálculo Integral
(^
)^
(^
)^
( )
F
x^
f^
x
f^
t
′^
⎡^
⎣^
⎦^
logo
(^
)^
(^
)
F
x^
f^
x
′^
( )
( )
( )
( )
F
t^
t^
f^
t^
t
′^
′^
⎡^
⎤^
⎣^
⎦^
e então,
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
P
f^
x^
P
F
x
P
F
t^
t^
P
f^
t^
t
⎡^
′^
′^
′^
⎡^
⎤^
⎡^
⎤^
⎡^
⎤^
⎡^
⎣^
⎦^
⎣^
⎦^
⎣^
⎦^
⎣^
⎣^
, com
( )
x
t ϕ =
ou
(^
)^
(^
)^
(^
)
f^
x dx
f^
t^
t dt
ϕ
ϕ
⎡^
⎣^
∫^
Algumas substituições aconselháveis:
Se em
(^
)
f^
x
existe
Usa-se para
(^
)
x = g t
2
2
2
a
b x −
(^
)
sen
ab
x
t
(^
)
cos
ab
x
t
2
2
2
a
b x
(^
)
tg
ab
x
t
2
2
2
b x
a −
(^
)
sec ab
x^
t
2
2
2
a x
b −
(^
)
sec
ba
x^
t
x e
α^
(^
)
log
x
t
, isto é,
x
t^
e
(^
)
log
x α^
t
x
e
, isto é,
(^
)
log
t^
x
(^
)
sen
x
,^
(^
)
cos
x
,^
(^
)
tg
x^
(^
)
2 arctg
x
t
, isto é,
(^
) 2
tg
x
t^
Na tabela acima considera-se
a b
\
Primitivação de funções racionais Chama-se função racional a uma função da forma
(^
)^
(^
) (^
) D
x d x
f^
x
, onde
(^
)
D
x
e
(^
)
d
x
são
polinómios em
x^
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Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral
Á
REAS DE
F
IGURAS
P
LANAS
Sendo
(^
)
f^
x
uma função real de variável real, continua e positiva no intervalo
[^
] , a b
, o
integral de
(^
)
f^
x^
definido nesse intervalo representa a área plana definida pela função
f^
pelas paralelas ao eixo das ordenadas passando pelos limites de integração e pelo eixo dasabcissas. Graficamente temos:
(^
)
b a
A
f^
x dx
Consideremos uma função
(^
)
f^
x^
real de variável real continua em
[
] , a b
e cujo gráfico é
representado na figura seguinte:
(^
)
b a
A
f^
x dx
A área, atendendo a que a função
f^
no intervalo
[^
] , a b
toma sempre valores negativos, é
dada pelo integral definido em que os limites de integração aparecem trocados. Nota:
Se trocarmos os limites do integral o mesmo muda de sinal:
(^
)^
(^
)
b^
a
a^
b
f^
x dx
f^
x dx
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Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral 2.
Consideremos uma função contínua em
[
] , a b
cujo gráfico é o da figura seguinte:
(^
)^
(^
)
c^
c
a^
b
A
f^
x dx
f^
x dx
∫^
A área da figura a tracejado é determinada somando os dois integrais definidos.Note-se que
(^
)^
f^
x
x
c
(zero da função).
Sejam
(^
)
f^
x^
e^
(^
)
g
x
duas funções continuas para
[^
] ,
x
a b ∈
e cuja representação gráfica é
dada pela figura seguinte:
(^
)^
(^
)
b^
b
a^
a
A
f^
x dx
g
x dx
∫^
(^
)^
(^
)
b a
A
f^
x^
g
x
dx
A área da figura a tracejado é a diferença das áreas definidas pelas funções
f^
e^
g
Nota:
Na prática diz-se que a área é dada pelo integral definido, sendo a função integranda a
diferença entre a curva de cima e a curva de baixo.
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Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral
Seja
(^
)
f^
x
e^
(^
)
g
x^
duas funções continuas para
[^
] ,
x^
a b ∈
e cuja representação gráfica é
dada pela figura seguinte:
(^
)^
(^
)
b a
A
f^
x
g
x
dx
⎡^
⎣^
A área da figura a tracejado é a diferença das áreas definidas pelas funções
f^
e^
g
Nota:
Desde que a área que se quer determinar seja limitada por duas curvas a expressão do
integral é a mesma, independentemente das curvas estarem acima do eixo das abcissas,intersectarem esse eixo ou estarem abaixo do eixo das abcissas. 5.
Seja
(^
)
f^
x
,^
(^
)
g
x
e
(^
)
h x
funções continuas cuja representação gráfica é dada pela figura
seguinte:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
b^
c
a^
b
A
f^
x
h x
dx
g
x
h x
dx
⎡^
⎤^
⎡^
⎣^
⎦^
⎣^
A área a determinar é limitada por três curvas. Temos que determinar os pontos de intersecçãodas curvas, duas a duas, resolvendo os respectivos sistemas. Nota:
Para determinar a área da porção do plano limitado por várias curvas, subdividimo-la
em várias áreas para que figurem em cada uma apenas duas curvas.
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Resumo Sobre Cálculo Integral 6.
Seja
(^
)
f^
x
uma função contínua simétrica em relação a um dos eixos, podemos determinar
metade da área multiplicando-a por dois:
(a)
(^
)^
(^
)
0 2
a^
a
a
A
f^
x dx
f^
x dx
−
∫^
(b)
(^
)
0 2
a
A
f^
x dx
Seja
(^
)
f^
x^
uma função contínua simétrica simultaneamente aos dois eixos coordenados,
podemos determinar a quarta parte da área multiplicando-a por quatro:
(^
)
0 4
a
A
f^
x dx
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Probabilidades e Estatística
Resumo Sobre Cálculo Integral Tipo II ou regular segundo o eixo dos
xx
(^
)^
(^
)^
(^
2
1
2
,^
x
y
c
y
d
y
x
y
\
R
em que qualquer recta horizontal, que passe por um ponto interior de
R
, intersecta a
fronteira em dois pontos.
(^
)^
(^
(^ (^ ) ) (^21)
,^
d^
y
c^
y
f^
x y dA
f^
x y dx dy
ψ ψ
R
