Baixe Resumo de Matemática: Geometria, Trigonometria e Funções e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
RESUMO DE MATEMÁTICA 10 º
GEOMETRIA
Plano (ℝ𝟐) Espaço (ℝ𝟑)
d ( x 2 x 1 )^2 (y 2 y 1 )^2 Distância entre dois pontos^ d ( x 2 x 1 )^2 (y 2 y 1 )^2 (z 2 z 1 )^2
( x a)^2 (yb)^2 r^2 Circunferência Superfície esférica ( x a)^2 (yb)^2 (zc)^2 r^2
( x a)^2 (yb)^2 r^2 Circulo^ Esfera^ ( x a)^2 (yb)^2 (zc)^2 r^2
( x x 1 )^2 (yy 1 )^2 (xx 2 )^2 (yy 2 )^2 Mediatriz Plano mediador ( x x 1 )^2 (yy 1 )^2 (zz 1 )^2 (xx 2 )^2 (yy 2 )^2 (zz 2 )^2
M x^1 x^2 y^1 y^2 Ponto médio
M x^1 x^2 y^1 y^2 z^1 z^2
2 2 2 u u 1 u Norma de um vetor 2 3 2 2 2 u u 1 u u
( x ,y) (x 1 ,y 1 )k(u 1 ,u 2 ) , k ℝ Equação vetorial da reta (^ x^ ,y,z)^ (x 1 ,y 1 ,z 1 )k(u 1 ,u 2 ,u 3 ) , kℝ
y mx b em que,^ 𝑚 =^ ௨ ௨మభ Equação reduzida da reta -------------
RESUMO DE MATEMÁTICA 10 º, 11º
Vetores: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (𝑥 − 𝑥 , 𝑦ି 𝑦)
Produto escalar 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗= ‖𝑢ሬ⃗ ‖ × ‖𝑣⃗‖ × cos (𝑢ሬ⃗ ^𝑣⃗)
Propriedades do Produto escalar Se 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗= 0 , os vetores são perpendiculares Se 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗> 0 , os vetores formam um ângulo agudo Se 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗< 0 , os vetores formam um ângulo obtuso Se 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗ = ‖𝑢ሬ⃗ ‖ × ‖𝑣⃗‖ , os vetores têm o mesmo sentido e são paralelos Se 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗ = −‖𝑢ሬ⃗ ‖ × ‖𝑣⃗‖^ , os vetores têm sentidos opostos e são paralelos
Produto escalar conhecendo as coordenadas de um vetor
No plano: 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗= (𝑎, 𝑏) ∙ (𝑐, 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 No espaço: 𝑢ሬ⃗ ∙ 𝑣⃗= (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑑, 𝑒, 𝑓) = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑒 + 𝑐𝑓
Vetores paralelos Dois vetores dizem-se paralelos se 𝑢ሬ⃗ = 𝑘𝑣⃗, 𝑘 ∈ ℝ
O produto escalar é sempre um número real!
Para determinar o ângulo entre os vetores u e v, resolve-se esta fórmula em ordem ao cosseno e de seguida aplica-se cosି ଵ^ 𝛼 desse valor! Os vetores têm sempre de ter o mesmo ponto origem!
A
𝑢ሬ⃗
Ângulo entre duas retas no plano e no espaço cos(𝑟 ^𝑠) = |cos(𝑢ሬ⃗ ^𝑢ሬ⃗ )| = (^) ‖௨ሬሬ⃗ ‖×‖௩|௨ሬሬ⃗ ∙௩ሬ⃗ |ሬ⃗ ‖
Inclinação de uma reta no plano 𝑚 = tg 𝛼 , em que 𝛼 é a inclinação (ângulo que a reta faz com o semieixo positivo das abcissas) e m o declive da reta.
Relação entre os declives de duas retas
Considere-se as retas 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑒 𝑠: 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑏′ As retas são paralelas se 𝑚 = 𝑚′ As retas são perpendiculares se 𝑚ᇱ^ = − (^) ଵ
Equações cartesianas de uma reta ௫ି௫ (^) భ
=^
௬ି௬ (^) భ
=^
௭ି௭ (^) భ Reta que contém o ponto^ 𝐴(𝑥ଵ, 𝑦ଵ, 𝑧ଵ)^ e tem a direção do vetor^ 𝑢ሬ⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) Se uma das coordenadas do vetor é nula e as outras não nulas, a reta é paralela ao um dos planos coordenados 𝑥 = 𝑥ଵ ∧ ௬ି௬ ^ భ= ௭ି௭ ^ భ (caso em que a=0, e a reta é paralela a yOz) Se duas coordenadas do vetor são nulas , e a outra não nula, a reta é paralela a um dos eixos coordenados 𝑥 = 𝑥ଵ ∧ 𝑧 = 𝑧ଵ (o vetor é do tipo (0,b,0) , a reta é paralela a Oy)
Equação cartesiana do plano 𝑎(𝑥 − 𝑥ଵ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦ଵ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧ଵ) = 0
Equação geral do plano 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
Se 𝛼 = 0° , m=0. A reta é horizontal. Se 𝛼 = 90° , m não está definido. A reta é vertical.
Em ambas as equações trata-se do plano que contém o ponto 𝐴(𝑥ଵ , 𝑦ଵ , 𝑧ଵ ) e é perpendicular ao vetor 𝑢ሬ⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
Formas de definir um plano
Formas de definir um plano
Plano definido por 3 pontos não colineares (^) ቐ
𝑛ሬ⃗ ∙ 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = 0
𝑛ሬ⃗ ∙ 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬ⃗ = 0
Plano definido por 2 retas concorrentes ൝
𝑛ሬ⃗ ∙ 𝑟⃗= 0 𝑛ሬ⃗ ∙ 𝑠⃗ = 0
Plano definido por 2 retas paralelas ൝
𝑛ሬ⃗ ∙ 𝑟⃗= 0 𝑛ሬ⃗ ∙ 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = 0
Plano definido por uma reta e um ponto exterior à reta ൝
𝑛ሬ⃗ ∙ 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = 0 𝑛ሬ⃗ ∙ 𝑟⃗= 0
Interseção entre reta e plano
- Escrever a equação da reta na forma vectorial
- Escrever as equações paramétricas da reta, retirando o ponto genérico em função de k
- Substituir o ponto genérico na equação do plano
- Determinar o valor de k e substituí-lo no ponto genérico
NOTA: Se 𝑘 ∈ ℝ, a reta intersecta o plano num ponto Se 0𝑘 = 0, a reta está contida no plano Se 0𝑘 = 𝑛º ∈ ℝ{0}, a reta é estritamente paralela ao plano
SUCESSÕES
Monotonia de uma sucessão 𝑆𝑒 𝑢ାଵ − 𝑢 > 0 , a sucessão é monótona crescente. 𝑆𝑒 𝑢ାଵ − 𝑢 < 0 , a sucessão é monótona decrescente. 𝑆𝑒 𝑢ାଵ − 𝑢 = 0, a sucessão é constante 𝑆𝑒 𝑢ାଵ − 𝑢 não tem sempre o mesmo sinal, então 𝑢 é não monótona e devemos apresentar três termos que evidenciem esse facto.
Sucessões Limitadas
Uma sucessão diz-se limitada se tem simultaneamente minorante e majorante.
Para averiguar se uma sucessão é limitada, podemos fazer enquadramentos com as seguintes expressões: 0 < ଵ ≤ 1 ou 𝑛 ≥ 1
PROBABILIDADES
Cálculo combinatório Fatorial de um número natural n 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) … × 3 × 2 × 1 Permutações de n elementos 𝑃 = 𝑛! Arranjos sem repetição
nAp n n p
Arranjos com repetição n^ A'p np
Combinações 0
n p nC (^) p^ A^ n n p n p p p n p
Quadro síntese
Entram todos os elementos na sequência?
1! = 1
0! = 1
Permutações
Sim
Arranjos com repetição
Não
Sim Não
Arranjos sem repetição
Não
Os elementos repetem-se?
Importa a ordem dos elementos?
Os elementos repetem-se?
Sim Não
Combinações
Fonte: Neves, Maria Augusta; Matemática A 12º, Porto Editora
Triângulo de Pascal
Binómio de Newton
Termo geral do desenvolvimento Tp (^) 1 n^ C (^) p a n^ p^ bp
Lei de Laplace
Fonte: http://hugomiguel.com/matematica-triangulo-de-pascal/
Propriedades do triângulo de Pascal:
- O primeiro e último elemento de qualquer linha do triângulo é sempre 1.
- Os elementos que se encontram à mesma distância dos extremos são iguais.
- A soma de dois elementos consecutivos de uma linha, é igual ao elemento que se encontra abaixo destes na linha seguinte.
- A soma de todos os elementos da linha n é 2 .
O desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)^ tem 𝑛 + 1 termos. O grau de cada monómio do desenvolvimento do binómio é igual a n.
𝑃(𝐴) = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 Se 𝑃(𝐴) = 0 Acontecimento impossível Se 𝑃(𝐴) = 1 Acontecimento certo 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) Acontecimento contrário de A
FUNÇÕES
Regras operatórias das funções exponenciais
Multiplicação (^ )
m m m m n m n
a b a b a a a
Divisão
m m n n m m m
a (^) a a a a b b
^
^
Potência de potência a m^ n a m n Potência de expoente negativo 1 1
n n a (^) a n a
^
Potência de expoente fracionário (^) 𝑎 (^) = √𝑎^ , 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑚 ∈ ℝ a 0 1 (qualquer número elevado a zero é 1)
Função logaritmo log (^) a x y a yx
Propriedades operatórias dos logaritmos
Logaritmo do produto log (a xy) log (^) a x logay Logaritmo da potência log (a x p) p logax Logaritmo do quociente log (^) a x^ log (^) a x logay y
Mudança de base log log log a^ b b
x x a
Limites notáveis
0 lim x^11 x
e x
(^) lim x ( 1, ) x p
e (^) a p x (^) xlim ln^ x 0 x lim 1 ,
n k (^) ek k n
Da definição de logaritmo resulta que:
Para a>1: Para 0<a<1:
Levantamento de indeterminações Indeterminação Tipo de função Como levantar a indeterminação PolinomialIrracional Colocar em evidência o termo de maior grauMultiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado^ ou^ escolher o termo de maior grau presente no polinómio
Racional Colocar em evidência o termo de maior grau no numerador e no denominador escolher o termo de maior grau no numerador e no denominador^ ou Irracional Depende do tipo de expressão (tenta simplificar-se a expressão ou multiplica-se e divide-se a expressãodada pelo radical) 0 0
Racional Fatoriza-se o numerador e o denominador de modo a simplificar a fração Irracional Multiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado 0 -^ Faz-se o produto e obtém-se uma das indeterminações anteriores
Continuidade de uma função num ponto (^) xlim a f ( )x (^) xlim a f ( )x f ( )a
Teorema de Bolzano (corolário): Se f é uma função contínua em ]a,b[ e se f a( ) f b( ) 0 , então f tem pelo menos um zero no intervalo ]a,b[.
Assíntotas do gráfico de uma função Assíntotas Verticais Diz-se que x aé assíntota vertical sse (^) xlim a f ( )x (^) xlim a f ( )x Assíntotas Não Verticais:
Diz-se que a reta de equação y mx bé assíntota oblíqua sse (^) xlim (^) f ( )x ( mx b) (^) 0
Determinação de m e b: m (^) xlim f^ ( )x b (^) xlim (^) f ( )x mx (^) x
Se f(a) for igual apenas a um dos limites laterais, diz-se que a função é contínua à esquerda ou à direita de a
Se 𝑚 ∈ ℝ 𝑒 𝑏 ∈ ℝ, a reta de equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é assíntota oblíqua Se 𝑚 = 0 𝑒 𝑏 ∈ ℝ, a reta de equação 𝑦 = 𝑏 é assíntota horizontal Se 𝑚 ∈ ℝ 𝑒 𝑏 = ±∞, não existe assíntota oblíqua. Se 𝑚 ± ∞, não existe assíntota oblíqua (já não se calcula o b).
O gráfico de uma função tem:
- no máximo duas assíntotas não verticais
- no máximo três assíntotas
TRIGONOMETRIA
Razões trigonométricas num triângulo retângulo
cos
sen cateto oposto^ a hipotenusa c cateto adjacente b hipotenusa c tg cateto oposto^ a cateto adjacente b
Valores de algumas razões trigonométricas
( rad)
sen 1
cos 3
tg 3
1 3 0 n.d.^0 n.d^0
Relações trigonométricas (redução ao 1º quadrante)
cos( ) cos tg( )
sen sen
tg
cos( ) cos tg( )
sen sen
tg
cos( ) cos tg( )
sen sen
tg
cos 2 cos 2
sen
sen
cos 2 cos 2
sen
sen
(^3) cos 2 cos 3 2
sen
sen
(^3) cos 2 cos 3 2
sen
sen
Conversão entre graus e radianos:
Fórmulas trigonométricas
Fórmulas básicas Fórmulas da soma e da diferença Fórmulas do ângulo duplo 2 2
2 2
2 2
cos 1
cos 1 1 cos 1 1 1
sen tg sen
tg
tg sen
cos( ) cos cos cos( ) cos cos ( ) cos cos ( ) cos cos ( ) 1 ( ) 1
sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen tg tg^ tg tg tg tg tg^ tg tg tg
^
^
2 2
2
cos(2 ) cos
(2 ) 2 cos
tg(2 ) 2 1
sen
sen sen
tg tg
Equações trigonométricas Equação do tipo senx a , a [ 1,1] : 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ⋁ 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ Equação do tipo cos x a , a [ 1,1] : 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ⋁ 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ Equação do tipo 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ: 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Função periódica Uma função é periódica se existe um número positivo p tal que f ( x p) f ( ) ,x x Df, em que p é o período da função.
Limites notáveis lim௫→
௦ ௫
Regras de derivação
2 2
( ) ' cos ( ) ' 'cos (cos ) ' (cos ) ' 'sin ( ) ' 1 ( ) ' ' cos cos
sen x x sen u u u x sen x u u u tg x tg u u x u
Potenciação: 𝑧^ = ൫|𝑧|𝑒ఈ൯^ = |𝑧|𝑒(ఈ), 𝑛 ∈ ℕ Radiciação: √𝑧^ = ඥ|𝑧|𝑒^ ఈ= ඥ|𝑧|^ ^ 𝑒
ഀశమೖഏ ^ , 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑛 − 1}
Domínios planos e condições em (^) ℂ
Reta vertical Re ( z z 1 ) r x x 1 rem que x 1 representa a parte real do número complexo z 1 Reta horizontal Im (^ z^ ^ z 1 )^ r y^ ^ y 1 ^ rem que^ y 1 representa a parte imaginária do número complexo^ z 1 Circunferência z z 1 r Círculo z^ ^ z 1 r^ Centro na imagem geométrica de^ z 1 e raio^ r Exterior do círculo z z 1 r Mediatriz do segmento de reta [ z z 1 2 ] z z 1 z z 2
Semiplano limitado pela mediatriz de [ z z 1 2 ]^1
z z z z Semiplano que contém a imagem geométrica de z 1 z z 1 z z 2 Semiplano que contém a imagem geométrica de z 2
Semirreta
arg ( )z Semirreta com origem no ponto (0,0), e que tem de amplitude com o semieixo positivo Ox
arg ( z z 1 ) Semirreta com origem na imagem geométrica de z 1 , e que tem de amplitude com o semieixo positivo Ox
arg ( z z 1 )
Semirreta com origem na imagem geométrica de z 1 , em que o lado origem faz amplitude com o semieixo
positivo Ox , e o lado extremidade tem de amplitude com o mesmo eixo
Nota: As imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo, encontram-se sobre uma circunferência de centro na origem e raio , e dividem a circunferência em n partes iguais, cada uma com amplitude. Essas raízes são os vértices de um polígono regular de n lados e centro na origem do referencial!
