Resumo de Álgebra II, Resumos de Matemática

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“Resumo” de ´Algebra II

Hugo Corbucci

27 de fevereiro de 2005

Sum´ario

• I Grupos
• 1 Opera¸c˜oes Bin´arias
  • 1.1 Opera¸c˜oes Bin´arias
    • 1.1.1 Propriedades
• 2 Grupos
  • 2.1 Defini¸c˜ao de Grupos
  • 2.2 Teoremas
    • 2.2.1 Leis do cancelamento
    • 2.2.2 Solu¸c˜oes ´unicas em equa¸c˜oes lineares
  • 2.3 Tabelas
• 3 Subgrupos
  • 3.1 Defini¸c˜oes
    • 3.1.1 Ordem de um grupo
    • 3.1.2 Subconjunto
    • 3.1.3 Subgrupo
  • 3.2 Subgrupos C´ıclicos
• 4 Permuta¸c˜oes
  • 4.1 Defini¸c˜oes necess´arias
  • 4.2 Permuta¸c˜oes
  • 4.3 C´ıclos
  • 4.4 Grupos Alternantes
• 5 Grupos c´ıclicos
  • 5.1 Propriedades
    • 5.1.1 Classifica¸c˜ao
• 6 Isomorfismo
  • 6.1 Defini¸c˜oes e primeiras propriedades
  • 6.2 Como mostrar isomorfismo de grupos
  • 6.3 Como mostrar que grupos N AO s˜˜ ao isom´orficos
• 7 Classes Laterais
  • 7.1 Defini¸c˜ao e primeiras propriedades
  • 7.2 Aplica¸c˜oes
• 8 Subgrupos normais e Grupos quocientes
• 9 Homomorfismo
  • 9.1 Defini¸c˜ao e propriedades elementares
• II An´eis
• 10 An´eis
  • 10.1 An´eis - Defini¸c˜ao e propriedades elementares
  • 10.2 Corpos
  • 10.3 Dom´ınios de Integridade
    • 10.3.1 Divisores de zero
    • 10.3.2 Dom´ınios de integridade
    • 10.3.3 Caracter´ıstica de um anel
    • 10.3.4 Theorema de Fermat & Generaliza¸c˜ao de E¨uler
    • 10.3.5 Generaliza¸c˜ao de E¨uler
• 11 Corpos quocientes de um dom´ınio de integridade
  • 11.1 Defini¸c˜oes necess´arias
  • 11.2 Cria¸c˜ao de um corpo quociente
  • 11.3 Unicidade
  • 11.4 An´eis quocientes e Ideais
• 12 Homomorfismo de an´eis
• III Coment´arios do Autor
  • 12.1 Avisos
  • 12.2 Motiva¸c˜ao
• 12.3 Agradecimentos

Parte I

Grupos

1.1.1 Propriedades

Comutatividade

Defini¸c˜ao: Uma opera¸c˜ao bin´aria ∗ no conjunto C ´e dita comutativa se e somente se a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ C.

Associatividade

Defini¸c˜ao: Uma opera¸c˜ao bin´aria ∗ no conjunto C ´e dita associativa se e somente se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ C.

Cap´ıtulo 2

Grupos

2.1 Defini¸c˜ao de Grupos

Defini¸c˜ao: Um grupo < G, ∗ > (que passaremos a chamar de grupo G) ´e um conjunto G (finito ou infinito mas n˜ao-vazio) com uma opera¸c˜ao bin´aria ∗ tal que os seguintes axiomas s˜ao satisfeitos:

G 1. A opera¸c˜ao bin´aria ∗ ´e associativa.

G 2. ∃ e ∈ G tal que:

e ∗ a = a ∗ e = a ∀ a ∈ G. Este elemento ´e chamado de elemento identidade para ∗ em G.

G 3. ∀ a ∈ G, ∃ a−^1 ∈ G tal que:

a ∗ a−^1 = a−^1 ∗ a = e Este elemento ´e chamado de inverso de a em rela¸c˜ao a *.

Defini¸c˜ao: Um grupo G ´e dito abeliano se a opera¸c˜ao bin´aria ∗ associada a ele ´e comutativa.

Exemplo O conjunto de inteiros positivos (Z+) em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao ´e um grupo. J´a em rela¸c˜ao ao produto n˜ao ´e um grupo pois n˜ao existem inversos para todos os elementos do conjunto. O conjunto de relativos positivos (Q+) em rela¸c˜ao ao produto ´e um grupo.

y ∗ a = b ⇒ (y ∗ a) ∗ a−^1 = b ∗ a−^1 (Existe a−^1 por G3) ⇒ y ∗ (a ∗ a−^1 ) = b ∗ a−^1 (Associatividade por G1) ⇒ y ∗ e = b ∗ a−^1 (a−^1 ∗ a = e por G3) ⇒ y = b ∗ a−^1 (y ∗ e = y por G2) Como a opera¸c˜ao ∗ ´e bem definida, b ∗ a−^1 tem solu¸c˜ao ´unica (n˜ao obrigato- riamente igual a a−^1 ∗ b).

Teorema 2.2.3 Num grupo G existe apenas uma identidade e tal que:

e ∗ x = x ∗ e = x ∀x ∈ G (2.1) Da mesma maneira: Para cada a existe apenas um elemento a−^1 tal que:

a−^1 ∗ a = a ∗ a−^1 = e (2.2) Resumindo: A identidade e os inversos s˜ao ´unicos num grupo G.

Prova Vamos provar a unicidade da identidade. Como a maioria das pro- vas de unicidade, vamos come¸car supondo, por absurdo, que existem duas identidades e 1 e e 2 distintos. Assim temos: e 1 ∗ x = x ∗ e 1 = x e e 2 ∗ x = x ∗ e 2 = x ⇒ x ∗ e 1 = x ∗ e 2 e e 1 ∗ x = e 2 ∗ x ⇒ e 1 = e 2 (pelas leis do cancelamento)

Provemos agora a unicidade do inverso de a com a ∈ G qualquer. Supo- nha que existem a− 1 1 e a− 2 1 tais que: a− 1 1 ∗ a = a ∗ a− 1 1 = e e a− 2 1 ∗ a = a ∗ a− 2 1 = e ⇒ a− 1 1 ∗ a = a− 2 1 ∗ a e a ∗ a− 2 1 = a ∗ a− 21 ⇒ a− 1 1 = a− 2 1 (pelas leis do cancelamento)

2.3 Tabelas

Na defini¸c˜ao de Opera¸c˜ao Bin´aria, foi apresentada uma tabela que definia a opera¸c˜ao. Vamos agora ver como podem ser as tabelas que representam um grupo. E f´´ acil perceber que tabelas de opera¸c˜oes bin´arias relativas a grupos s˜ao sempre quadradas.

Como um grupo ´e definido por um conjunto G n˜ao vazio, a tabela de qualquer grupo tem pelo menos uma linha. Assim o menor grupo poss´ıvel ´e o grupo formado pelo conjunto {e} com opera¸c˜ao bin´aria ∗ definida e ∗ e = e. Conjuntos com apenas 2 elementos possuem apenas uma tabela definida j´a que e ∗ e = e por G2 mas tambem e ∗ a = a e a ∗ e = a por G2 tambem. Logo por G3, a ∗ a = e para que a tenha inverso. Conjuntos com apenas 3 elementos tambem possuem apenas uma tabela possivelmente definida. Por´em ´e mais dif´ıcil enxergar isto. Vejamos que por G2 chegamos na seguinte tabela:

∗ e a b e e a b a a b b

Sabemos, pelo teorema de solu¸c˜oes ´unicas de equa¸c˜oes lineares, que a ∗ x = b e y ∗ a = b tˆem solu¸c˜oes ´unicas. Na tabela, isto significa que cada elemento s´o pode aparecer uma ´unica vez por linha e por coluna. Imagine que b apare¸ca duas vezes numa ´unica coluna. Isto singificaria que existem 2 elementos que multiplicados a direita pelo elemento da coluna tem solu¸c˜ao b. O que contraria o teorema. Logo enxergamos ent˜ao que a ´unica tabela poss´ıvel para um grupo de 3 elementos ´e:

∗ e a b e e a b a a b e b b e a

um subgrupo de G. Denotamos H ≤ G ou G ≥ H. Dizemos H < G ou G > H se H 6 = G.

Defini¸c˜ao: Chamamos G e {e} de subgrupos impr´oprios de G. Todos os outros subgrupos s˜ao chamados de subgrupos pr´oprios de G.

Teorema 3.1.1 Um subconjunto H de um grupo G ´e um subgrupo de G se e somente se:

1. A opera¸c˜ao bin´aria de G ´e fechada sobre H,

2. A identidade e de G pertence a H,

3. ∀a ∈ H, a−^1 ∈ H tamb´em.

Prova ⇒ Se a opera¸c˜ao bin´aria de G ´e fechada sobre H isso garante que ∗ ´e uma opera¸c˜ao bin´aria sobre H j´a que ∀a, b ∈ H, a ∗ b, b ∗ a ∈ H. Se ∗ ´e associativa em G (que ´e um grupo), ∗ ´e associativa em H j´a que ´e a opera¸c˜ao induzida de G em H. Se e de G pertence a H, ent˜ao garantimos que ∃e ∈ H tal que ∀a ∈ H, a ∗ e = e ∗ a = a j´a que a opera¸c˜ao ´e induzida. Se ∀a ∈ H, a−^1 ∈ H ent˜ao, ´e verdade que todos elementos de H possui um inverso tal que a−^1 ∗ a = a ∗ a−^1 = e. Logo H ´e um grupo com a opera¸c˜ao ∗ induzida a partir de G. Assim H ´e um subgrupo de G.

H ´e um subgrupo de G. Isto significa que H ´e um grupo cujo conjunto ´e um subconjunto de G. Como H ´e um grupo, sabemos que: ∗ ´e associativa. ∃e ∈ H tal que ∀a ∈ H, a ∗ e = e ∗ a = a. ∀a ∈ H, ∃a−^1 ∈ H tal que a ∗ a−^1 = a−^1 ∗ a = e. Como H ´e subgrupo de G sabemos que a opera¸c˜ao ∗ ´e a opera¸c˜ao ∗ de G induzida. Logo ∗ ´e fechada sobre H. Como a opera¸c˜ao ∗ ´e a mesma em ∗ em G e em H quando aplicada nos elementos comuns a ambos, sabemos que a ∗ e em H ´e a. Logo em G tamb´em ´e. Ent˜ao e de H ´e uma identidade de G. Mas como a identidade ´e ´unica em

um grupo, e em H ´e a identidade de G. Logo a identidade e de G pertence a H. Como H ´e um grupo, ∀a ∈ H, ∃a−^1 ∈ H. Assim, como a opera¸c˜ao ´e a mesma para os elementos comuns a H e a G e o inverso ´e ´unico para cada elemento, a−^1 ´e o mesmo elemento em G e em H. Logo ∀a ∈ H, a−^1 ∈ H.

3.2 Subgrupos C´ıclicos

Teorema 3.2.1 Seja G um grupo e a ∈ G. Ent˜ao

H = {an|n ∈ Z} (3.1)

´e um subgrupo de G e ´e o menor subgrupo de G que cont´em a.

Prova Vamos usar o teorema anterior para mostrar que H ´e um subgrupo de G. E ´´obvio que o conjunto H est´a contido no conjunto de G j´a que se a ∈ G, ent˜ao an^ ∈ G, ∀n ∈ Z pois a opera¸c˜ao ´e fechada em G. Vamos verificar que a opera¸c˜ao ´e fechada em H. Sabemos que ar^ ∗ as^ = ar+s^ por defini¸c˜ao de potˆencia. Logo o resultado de qualquer opera¸c˜ao em H pertence a H. A opera¸c˜ao ´e fechada portanto em H. Como a^0 = e por defini¸c˜ao, e ∈ H. Mas tamb´em, ∀ar^ ∈ H, ar^ ∗ a−r^ = ar−r^ = a^0 = e. Logo ∀a ∈ H, ∃a−^1 ∈ H tal que a ∗ a−^1 = a−^1 ∗ a = e. Concluimos ent˜ao que H ´e um subgrupo de G.

Vejamos ent˜ao que H ´e o menor subgrupo de G que cont´em a. N˜ao ´e muito dif´ıcil perceber isso. Peguemos o menor conjunto que cont´em a, i. ´e., o conjunto A = {a}. Vamos formar o menor grupo poss´ıvel a partir deste conjunto. Sabemos que a opera¸c˜ao ´e associativa pois ela ´e induzida de um grupo G. Suponha que a = e. Ent˜ao an^ = a = e, ∀n ∈ Z. Logo H = A e H ´e o menor grupo que cont´em a. Suponha agora que a 6 = e, ent˜ao para ter um conjunto que satisfa¸ca as condi¸c˜oes de grupo, o conjunto H deve conter o conjunto A mas tamb´em uma identidade e = a^0 e o inverso de a (a−^1 ) por G2 e G3.

Cap´ıtulo 4

Permuta¸c˜oes

4.1 Defini¸c˜oes necess´arias

Defini¸c˜ao: Uma fun¸c˜ao ou mapeamento φ de um conjunto A em um conjunto B ´e uma regra que associa cada elemento a de A a exatamente um elemento b de B. Dizemos que φ mapea a em b e que φ mapea A em B.

As seguintes nota¸c˜oes s˜ao encontradas para descrever este mapeamento:

“φ(a) = b” “aφ = b” “aφ^ = b”

Dizemos ent˜ao que b ´e a imagem de a sobre φ. Como para fun¸c˜oes diremos que φ mapea A em B pela express˜ao:

“φ : A −→ B”

Composi¸c˜oes de mapeamento s˜ao poss´ıveis e se comportam da mesma maneira que composi¸c˜oes de fun¸c˜oes normais:

ψφ(a) = ψ(φ(a)) = ψ(b) = a(φψ) = (aφ)ψ = a(φψ)^ = (aφ)ψ

Defini¸c˜ao: Dizemos uma fun¸c˜ao de A em B ´e injetora (one to one) se cada elemento de B tem no m´aximo um elemento de A que leva a ele. Isto ´e, se a 1 φ = a 2 φ ⇒ a 1 = a 2. Para provar que uma fun¸c˜ao ´e injetora prove a senten¸ca anterior ou esta:

a 1 6 = a 2 ⇒ a 1 φ 6 = a 2 φ

Para provar qualquer uma das duas suponha a parte a esquerda da flecha e use a descri¸c˜ao da fun¸c˜ao para chegar na parte a direita. Uma fun¸c˜ao ´e sobrejetora (onto B)se cada elemento de B tem pelo me- nos 1 elemento de A que leva a ele. Isto ´e, se ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que φ(a) = b. Para provar que uma fun¸c˜ao ´e sobrejetora prove a senten¸ca anterior tomando um b qualquer e mostrando que existe um a que leva nele.

Defini¸c˜ao: Chamamos A de dom´ınio de φ. E se φ for sobrejetora chama- mos B de imagem de A por φ.

4.2 Permuta¸c˜oes

Defini¸c˜ao: Uma permuta¸c˜ao de um conjunto A ´e uma fun¸c˜ao de A em A (i. ´e., cujo dom´ınio e contra-dom´ınio ou imagem ´e o mesmo). Em outras palavras uma permuta¸c˜ao de A ´e uma fun¸c˜ao injetora e sobrejetora (tamb´em chamada de fun¸c˜ao bijetora) em A.

Multiplica¸c˜ao de permuta¸c˜oes na verdade nada mais ´e do que uma com- posi¸c˜ao de permuta¸c˜oes. A ´unica coisa a lembrar ´e a ordem de precedˆencia:

Esta parte ´e duvidosa! A aula e os livros se contradizem!

a(στ ) = (aσ)τ

Exemplo

σ =

( 1 2 3 4 5 6 4 6 2 3 1 5

) τ =

( 1 2 3 4 5 6 3 6 5 2 4 1

)

Ent˜ao descobrimos que 2στ = 1 e 4τ σ = 6. Podemos escrever a per- muta¸c˜ao στ :

στ =

( 1 2 3 4 5 6 4 6 2 3 1 5

) ( 1 2 3 4 5 6 3 6 5 2 4 1

)

( 1 2 3 4 5 6 2 1 6 5 3 4

)

Teorema 4.2.1 Seja A um conjunto n˜ao vazio, ent˜ao seja SA o conjunto de todas as permuta¸c˜oes de A. Assim SA ´e um grupo com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de permuta¸c˜oes.

na qual os elementos imagens levam em seus antecedentes. Considerando que SA contem todas as permuta¸c˜oes poss´ıveis de A e que uma permuta¸c˜ao leva de um conjunto nele mesmo e ´e bijetora, as permuta¸c˜oes descritas pertencem a SA.

Defini¸c˜ao: Se A for um conjunto finito { 1 , 2 , 3 ,... , n}, ent˜ao o grupo de todas as permuta¸c˜oes de A ´e o grupo sim´etrico de n letras (Sn). Note que Sn tem n! elementos. Isto ´e intuitivo se a defini¸c˜ao de permuta¸c˜ao estiver bem clara.

Defini¸c˜ao: Chamamos de Dn o grupo de simetrias de uma figura bidimen- sional de n lados.

S´o um pequeno coment´ario. Quem quiser dar umas boas risadas ´e s´o conferir esta parte no livro do Fraleigh. A defini¸c˜ao de Sn ´e seguida de alguns par´agrafos muito engra¸cados.

4.3 C´ıclos

Defini¸c˜ao: Uma permuta¸c˜ao tamb´em pode ser vista como um ciclo. Assim podemos usar uma nota¸c˜ao diferente para descrever uma permuta¸c˜ao. O que chamaremos de nota¸c˜ao c´ıclica ´e a seguinte: A nota¸c˜ao c´ıclica correspondente a: ( a 1 a 2 a 3... an− 1 an a 2 a 3 a 4... an a 1

)

´e a seguinte: (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an− 1 , an) Uma maneira de escrever nesta nota¸c˜ao, basta ler a permuta¸c˜ao e posi- cionar os pontos num c´ırculo de maneira que o ponto ap´os o atual seja sua imagem. Uma permuta¸c˜ao pode conter mais de um c´ıclo sem problemas. Estes ciclos s˜ao chamados de ciclos disjuntos. A nota¸c˜ao c´ıclica neste caso ficar composta de k ciclos disjuntos que descrevem os k ciclos da permuta¸c˜ao.

Exemplo A seguinte permuta¸c˜ao contem 3 c´ıclos disjuntos: ( 1 2 3 4 5 6 1 3 2 6 4 5

)

Um destes ciclos cont´em 1 elemento, outro 2 e o ´ultimo 3. A nota¸c˜ao c´ıclica desta permuta¸c˜ao fica ent˜ao assim:

(1)(2, 3)(4, 5 , 6) ou (1)(2, 3)(6, 4 , 5)

J´a que os ciclos (4, 5 , 6) e (6, 4 , 5) correspondem ao mesmo c´ıclo.

Ciclos de um ´unico elemento podem ser omitidos. Assim se algum ele- mento do conjunto n˜ao estiver presente na nota¸c˜ao c´ıclica subentende-se que este seja levado nele mesmo. Assim a permuta¸c˜ao anterior tamb´em pode ser escrita como: (2, 3)(4, 5 , 6)

Teorema 4.3.1 Toda permuta¸c˜ao σ de um conjunto finito S ´e o produto de c´ıclos disjuntos.

Prova Vamos supor sem perda de generalidade que o conjunto S tem n elementos. Considere os seguintes elementos do conjunto:

1 , 1 σ, 1 σ^2 , 1 σ^3 ,... Como o conjunto S ´e finito, os elementos citados n˜ao podem ser todos distintos. Assim se algum elemento se repete pela primeira vez na k-´esima potˆencia da permuta¸c˜ao podemos definir um ciclo cujo primeiro elemento ´e 1 e cujo ´ultimo ´e a potˆencia k − 1 da permuta¸c˜ao aplicada em 1. Seja ent˜ao i o menor elemento a n˜ao aparecer no ciclo anterior. Tomamos ent˜ao: i, iσ, iσ^2 , iσ^3 ,... Novamete como S ´e finito, estes elementos n˜ao podem ser todos distintos. Logo podemos montar um ciclo com i. Agora estes dois ciclos s˜ao distintos pois se algum elemento do segundo ciclo fosse um elemento do primeiro ciclo, ambos ciclos teriam de ser os mesmos. Isto ´e imposs´ıvel j´a que i n˜ao est´a no primeiro ciclo por constru¸c˜ao. Logo achamos 2 ciclos disjuntos. Em um n´umero finito de passos podemos esgotar os elementos de S que n˜ao pertencem a algum ciclo e assim ter criado j ciclos disjuntos que descrevem σ.

Defini¸c˜ao: Um ciclo de 2 elementos ´e chamado transposi¸c˜ao. Assim uma transposi¸c˜ao n˜ao modifica a posi¸c˜ao de nenhum elementos menos em 2 deles. Sendo que um deles ´e levado no outro. Assim podemos ver que: (a 1 , a 2 , a 3 ,... , , an) = (a 1 , a 2 )(a 1 , a 3 )... (a 1 , an)