Baixe Resumo de matemática computacional e outras Esquemas em PDF para Matemática Computacional, somente na Docsity!
Erros
x
valor exato
2
e
aproximação
de s
Para si,
suf. pequeno
erro de
:
35
=
x
6
Si
=
i
erro absoluto de 52: 12,i)
=
1x -
evo
reativo
de
si. Si, Si
(
e
Representação
dos números reais no
computador.
Bases
Na
base
(decimal
36
(bmbr... by boa... amso
3 +
,
3
bi
->
coef.
da
parte
inteira
Co a al
a; coef,
da
parte fracionária
(0aa)
Na base bimária
3
coef.
O ou
I
Representação normalizada
=
0.12543.
Sisteras
de Porto
(ou
virgulal flutuante.
x
= 6
(0.a,Gy...am)
y
x
Bt
Y
es &
(ecomx
=
e
conjunto
de
mantissa
nimeros da
forma
a,to
PF
(B,m,te,t)
=
ai
=
B
1,i
=
1,2,.--,n
ou
e
c St.. tal na
inteiro Sistema de
virgula flutuante:
VF
(B, m, te,ta)
Exemplo:
·calculadora
digitos
mantissa
sistema decimal
(
digitos
expoente
6
->
limite
seep.
PF
(40,8,-
img.
expert
e
expoente
Matlab: sistema de
precisão
duple
64 bits
para rep.
uma
a real me
base binária:
simol: 1 bit
mantissa: 32 bits
k
expoente:
bits
x
=
I
(0.2,a2...ass
x 27,0= 30,
e
montisse
ai
30,14,i
=
1,...,
II
a
n
o
t
x
=
=
(1.222y.
->
c
(-1021,1024]
Ente-1021,1024)
Propriedades
dos sistermas
PF:
1 Número
finito
de elementos
Exemplo:
PF (10,6,-3,3)
since
t
x =
-(0.a142939495).
=
a;
29,2,
F
3 = t =
arredondamento
simétrico (B
par):
fe,(x)
=
6(0.2,922...an.B*,
amz
E
fl(6)(0.2,929...an(y
Bw).Bt),an
B
erros de
arredomdemento:
erro absoluto:
(efe()
=
(x
ff(x))
erro relativo:
(892x)
=
(x
ge()),(x
1x|
majorantes para
os
erros:
Corte:
1egec/<
BEM,
18gecs/c'
w
simétrica:
Ige(s)
=
1Btm,
ISgec/21Bn
Umidade de
arredondamento:
Uc
=
B
--
(cortel
mas
execu
Us
=
(42) B"
W
(simétrical ~s (Uc)
Gramulidade do Sisterna
PF:
is
aumenta
Here e
Se
sea
são
dois o
de
PF
descritos através do muse
expoente
t
-> t aumenta
b
os intervalos de morepr.
por, e
têm o miner
exemplo:
·Matlab:
eps
(fl(x))
para
obter o
passo
entre
um mimura
fl(c)
do sistenna e o
me
imediatamente a
seguir.
mede a
gramularidade
do sistema
PF
(2,53,
1021,1024)
0.5.2t
eps(fe(x)/
->
=
10.12.2'e majorado
por
0.5.21-s
=
x)
=
1.11.
Nota:$Machim
Epsilon
e
devolve o valor
de
eps(1)
Algarismos
significativos:
x
= 6
(0.2122---an)
e
PF(10,m,t,t)
b
term K
O
algarismos significativos
se
Na
6.5.10t
-(k+1)
=
1ec)
t - k
Se
a;,
2
for
Sig.
Hy
aj,
tj
ci
·PF
(10, m, te,ta)
come
arred Simetrico,
também são
fl(x)
aproxima
cor m
algo sig.
bern
condicionado:
a
qualquer pequena
varias
em x
(0.u.)
condy(x)
corresponde
sempre
une
pequenc
Cálculo
de
Sycc)
e
do
mesma variação no valor
d
f(x)
order de
grandeza
do
f(x)
que Si
line
comdf(x)
=
perda
de
precisc
x
por
camalamento
subtrativo
Generalização para
funções
reais de
variavel
vetorial:
1:
D
C
IRY IR
E
Erro
de
f(x)
f
=
c(D)
x
=
(x,,...,x
-tDef(i)
=
f(x)
f(x)
=
Er
i
c D
Sef(x)
0 e x =
0
Sq()
=
ef(x)
=
E,Pe,
bik
f(x)
Número de condição de
um
um relate
a
CCK:
comdy,(x)
=
(pg,k(x)
=
xxx
f(x)
Propagação
de erro em
algoritmos:
I C IR
Elementar
num sistema
PF(B,
m)
se o
valor
aproximada
de
f(x)
erm PFCB,
m)
é
dado por f(x)
=
fl(f(x)
xx
e In
PF(B,a)
ef(x)
=
f(x)
f(x)
=
f(x)far,f(x)
SICx)
=
Sarr,
f(x)
=
M- umidade de arredondamento do sistema
PF
CB.wS
se is
for
um
aproximado
de:
Note!
->
Mesmo
quando f
éuma
ejxx)
=
f(x)es
f(x)Sarr,f(x)
fumso
bern
condicionada,
o
erro
relativo
do result.
=
pf(x)
Sarr.ges
pode
ser grande
devido a
erros de arredondamento
que
são
multiplicados
por
valores elevados ao
longo
do
algoritmo
Estabilidade de
algoritmos:
z
=
f(x),
f:R*-
R
i efetuado
por
um
algoritmo
comer
passos
erro relativo total de E
3
i
=
19j(x)
Sarr,;
E eu
relosce
af(x)
65
=
e
as
e
,
wy
função
peso:
mede a sensibilidade de
o
relacionado com o
Algoritmo
compreamamente
relativamente a erros was condicionamento da
estável variáveis (x,, ..., N operação efetuada
no
3
a
pequenos
erros
relativos
passo;
do
algoritmo
das dados
introduzidos
l
a
pequenos
valores
da
umidade
de arredondamento do Sistema
corresponderem
resultados com
pequenos
erros
rel
instável c.c.
Iterasão do
ponto fixo.
z
I
éum
ponto fixo
da
fumsãog:
Ic1R
+(R
se z
=
g(z)
Método do
ponto fixo:
g:
I
CIR
x
I linn
cm
=
zi.e. a sucess
junção
iteradora me 00
e 3x
m3m
-, convergir
para
ze I
E
xm
1
=
g(xn),m
= 0,1,...
termos:=
lin
=
g(m)
~1 co
xo
E
I
=
g(7)
o
continue
ou até
umif.
continua
Fumsão Lipschitziane
em
I:
se existir (3,
(f(x)
g(y))
=
((x
y)(x,yeI
e
contrativa: L
trora do Ponto
fixo
1
g
contrative
um I
=
[a,b]
CIR
g(I)CI
Hy
·
g
admite
um e
um só
ponto fixo
z er
I
o método
do
p.f.
converge para
99.qu Seja
I.
a
posteriori
estimativas
->
iz
xntel, anten),m
=
de erro
LE (0,1) é
a
a
(z
xn)2(k
=
a...
ate. de Lipschitz
priori
de
9
feorema do
ponto fixo
gt
c(I)
g
é contrativa se
e
g)
ern I
caracterizes
de
pontos
fixos:
E
pointo fixo
de
g
gec"(Vz)
->
se
Ig'(z)
< 1 y
atrator
-s
se
g'Cz)
=
0 y
superatrator
->
se
I
gz
> 14
repulsar
->
se
I
g(z))
=
1 y
meutro
ordern de
convergincia:
3 x m}
sucessão
que converge para
te
define-se
emtz
xm
order ou
convergincia p>
1 Nota!
se existirem
constantes
para
kp
o
q p
=
2
quadrática
p
= 3
cúbica
noss
assimtotico de
convergincia
·
Se
existir
K,
z [0,1) fa:
·
selimite
e
e
~lim
=
F,
o ordem de coma
é
pelo
menos limar
logarítmica
(sublimmar
·
Se
K,
(0,1) a
converg
élimar
·Se
k
=0,
a com
e
supracimear
Função em Matlab:
·
git-fumsão
iteradora
g
⑧
scO
aproximação
inicial
·
eps-tobrância para
(m+- m
·
max-mimura máximo
de iteraçou
·
afinal
aproximação
final
·
miter
·
difer
diferemsa
entre as duas
últimas
iteradas
Método de Newton:
xn+ 1
=
xn
f(xn)
(n
=
if(((a,b)rc"(a,b)
f(xn)
Nota:
.
Dai
i
sa
S
E IR
Converge sempre,
pelo
menos
localmente
perto
da
rainy
z
Condigos
suficientes
de
convergência:
ft
((a,b)
c-
(a,b)
q:
(1)
f(a)f(b)
0,
(2)
f(x)
=
0 Xx
(a,b);
(3)
f"(x)
>
0 on
"(x)
=
0 txc(a,b);
(4)
f(a)
b
a,f(b)
f'(a) f((b)
sog",
Fosot (a,b],
o método
de Newton
converge pore
a
rainy
rica
de
f(x)
=
0em(a,b)
Teoria
Estimativa de erro
·
f
duas
vezes
diferenciável
em
I
=
(a,b)
.
his
única
de
te
Parra o erro
em
z-xm:
Estimative a priori:
19m + 1
=
k(em),m
=
1emt=
klem-ek1em-21"
k
= max
(g"(x))
ola,m
=
o.
x E I
2
min
If
( util se
K /2012 1
↓
Fco,,
t [a, b],
o mitodo
da
secante
converge para
a
raiz
rmica de
f(x)
= 0 erm (a,b)
·Seja
um
gera
de
f
lara o erro
em=
xm:
l
u + 1
=
em
ene m.
Em
Eint nem
e
o
x -
xx
1
=
xx)(x
xx -
2f(7k) 3x, 4
entre
x,x
feorema
Com
local, estimative de erro
·I
=
(a,b]
·f=
c)I)
.
z
raiz
única
de
f
em I
f(x)
=
0 xx eI
b
O método do
secante
converge
para
z,
pelo
menos
local,
e
em
= z
xm
satisfaz:
1emtecklem11em
-11,
m
=
x
max
18
"(xs
x I
min
If(x)
Se
=
0,
x E I
kp-ein =
(!)
p
=
x
m" de
ouro
Motivação:
Se
IIC121,
gometedo
·Ax
=
bc=
x
= Ab
e
x
(m)
Cx
(n -
11
d, n
=
x(0) GIR
x
=
(x
d I
↓
Hello
=
1)Ce
=
(elr
converge
se
link
Co
se existir
II.
Ilm
tg:
m
11 Ccllv EIICIMlIsIIV e i.e. todos os valores
próprios
ou
C
11 CNIM=
C
forem inferiores
a 1 (em mod.)
↓
I
max(X;
<
1
;
IN
Hellr= Myle"
IIVEIIClYIeIr
·Matriz diagonal
D
=
diag(Xe,.... N
IID1m
=
max 11;
1
j
=N
m(0)
(m)
e.
=
x;e,j
=
1,...,N,m
=
0...
E
·Normas matriciais
Il
Allm,
hist
A=
(aij)
IlAlm
e
Quando
D
=
diag (X,,..., n
Y
11D
Im
=
(El";
feorene?:
Designoldade
de Carchy
Schwarz
V
esposo
vetorial
C.,.)
produto
intermo
III
morme
induzida
ISe,
vIIIIelIION
Ar,
oe V
=se ue
v
forem
lim.
dep.
,
i.e.,
ssex
= x
cor
olgur
c
valor
próprio:
deK
e
xN
Vetor
próprio:
em Acc
=
xx
A
CIR
",RN
matriz
simétrica:
AT = A sse XE
IR
reais
e
positivos
e
matriz
simitrice
dy, positiva:
x
T
Ac
Fx GIR,x = 0
matriz
simetrice
semi-definido positive:
c TAC o
,
Fx
EIR
Normas matriciais:
Nx N
A G IR
,
jcomi
=
N
IIAlly=
sup
11AscIIv norma
matricial
E IRN
IlsII
v
associada
à
morma
retorial
· raio
espetrol
f(A/ro(A)
=
maxIaj)
12 j
=
N
HAY
=
SSAAT)
I
morma
espectral
L
IAla
=
r,
(As
se
a matric for
simitrica
exemplo:
colurc
e
1171,
=
max
(
(21,(
131 + 1
11,
3
A
I -
=max 35,5,
=
10
->
11A
=
max3121 +(
31,(
131
141,1f)
1314
limba =max
36,8,
=
ATA
=
I
3
I
,
11Al
=
i
x
=
=
teorema
Seja
II.
Ily-Morma
matricial
induzida por
Hillr-morna vetorial
TiS
HAslln
EllAll
FAEIRN
Ex f
IB
Nx
n
I
(iiCHIABLIM HAIMBIM FA,
BEIR
S
I
norme matricial
morma metricial
compatível
com é
regular
a morna retorial
S
feorena
N +V
AE IR
rs
(A)
11Allr
In morna matricial imduzida
Para
920,
existe I.Inses to HAIncas
=
ro(A)
+E
corolário:
NxN
AGIR.
roCA)< sselIAlly
para algume
II.
Ilm
6
frorenna:
CE IRN
+v
A
matring
C
comverge
para
a
motring
mula
quando
medo se
to
(C
