resumo de probabilidade, Notas de aula de Probabilidade

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RESUMO

SALVA-VIDAS

ESTATÍSTICA

Probabilidade Básica

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PROBABILIDADE

Introdução: O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferência.

Experimento Aleatório

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

Exemplo:

Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:

• que ele ganhe - que ele perca - que ele empate

Este resultado final pode ter três possibilidades.

Espaço Amostral

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.

No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.

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Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0% Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 Obs: Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + ...+ pn = 1.

Eventos Independentes Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P (1 n 2) = P (1 e 2) = P(1) x P(2)

P1 = P (4 dado1) = 1/6 P2 = P (3 dado2) = 1/ P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P (1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/

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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Apresentaremos neste capítulo três modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá a solução de grande número de problemas práticos.

Variável Aleatória Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória. Muitas vezes não estamos interessados propriamente no resultado de um experimento aleatório, mas em alguma característica numérica a ele associada. Essa característica será chamada variável aleatória. Assim, se o espaço amostral relativo ao "lançamento simultâneo de duas moedas" é S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} e se X representa o "número de caras" que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela abaixo ( X é a variável aleatória associada ao número de caras observado):

Ponto Amostral X

(ca,ca) 2

(ca,co) 1

(co,ca) 1

(co,co) 0

Logo podemos escrever:

Número de caras (X) Probabilidade (X)

2 1/

Total 4/4 = 1

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Distribuição Binomial

Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q = 1 - p) do insucesso manter-se-ão constantes. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial. P(x) =

P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso. q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso. OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.

Parâmetros da Distribuição Binomial

Média = n. p

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Desvio padrão = é a raiz quadrada do produto de n. p. q Variância = n. p. q Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B ) para não serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS? P (ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/

Probabilidade Condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer , depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: P (A e B ) = P (A) x P(B/A) Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS? P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P(Copas1) = 13/ P(Copas2/Copas1) = 12/ Obs: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %