Centro Federal de Edução Tecnológica
de Minas Gerais
Departamento de Matemática
Cálculo IV - Prof. Éden Amorim
Esquema-resumo
Convergência de séries numéricas
Séries numéricas
Definição
•(an)∞
n=1= (an): sequência de termos (ou parcelas)
•(sn)∞
n=1= (sn): sequência de somas parciais
•sn=a1+a2+· ·· +an;sn=sn−1+an
•
∞
X
n=1
an=Xan: série numérica de termo geral an
∞
X
n=1
an=lim sn
•Pané convergente ou converge se o limite existe,
é divergente ou diverge caso contrário.
Séries importantes
•Série geométrica:
∞
X
n=1
arn−1ou
∞
X
n=0
arn
converge para a
1−r, se |r|<1;diverge se |r|≥1.
•p-séries:
∞
X
n=1
1
np
converge se p > 1;diverge se p≤1.
Testes de convergência
Restrição: condições e hipóteses sobre a série para que o teste possa ser aplicado.
⊕Melhor uso: casos onde o teste tem mais possibilidade de sucesso.
Ponto cego: casos onde o teste é inconclusivo: é preciso tentar outro teste.
nível de prioridade dos testes:
?muito específico, pouco usado | ?? secundário, usado se um principal falhar | ??? principais, mais amplos
Teste da divergência
•lim annão é zero ⇒Pandiverge.
Restrição: nenhuma
⊕Melhor uso: como critério de eliminação
Ponto cego: lim an=0
Teste da integral ?
•Panconverge ⇔R∞
1f(x)dx converge.
Restrição: f(n) = an>0,fdecrescente
⊕Melhor uso: f(x)fácil de integrar
Ponto cego: anenvolvendo fatorial;
fdifícil de integrar
Teste da comparação ??
•Comparar Pancom Pbn.
·an≤bn,Pbnconverge ⇒Panconverge;
·an≥bn,Pbndiverge ⇒Pandiverge;
Restrição: termos não negativos
⊕Melhor uso: semelhança com geométricas ou p-
séries
Ponto cego: an≤bn,Pbndiverge;
an≥bn,Pbnconverge
Teste da comparação no limite ???
•Comparar Pancom Pbn, com c=lim an
bn
·c > 0⇒PanePbntêm mesmo compor-
tamento;
·c=0,Pbnconverge ⇒Panconverge;
·c→ ∞,Pbndiverge ⇒Pandiverge.
Restrição: termos positivos
⊕Melhor uso: semelhança com geométricas ou p-
séries
Ponto cego: c=0,Pbndiverge;
c→ ∞,Pbnconverge
