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ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO
TC
TURNO DATA FÍSICA
ALUNO(A)
TURMA
Nº
SÉRIE
PROFESSOR(A) MARCOS^ HAROLDO,^ MOACIR^ WEYNE E
TEIXEIRA JR.
ITA/IME
SEDE
//___
MOVIMENTOS PERIÓDICOS / MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES / SUPERPOSIÇÃO DE
MOVIMENTOS HARMÔNICOS SIMPLES DE MESMA DIREÇÃO E DE DIREÇÕES PERPENDICULARES /
BATIMENTOS / FIGURAS DE LISSAJOUS / PÊNDULO SIMPLES
1. Movimentos periódicos
São encontrados com bastante freqüência, tantos os de origem natural como os que o homem produz com finalidades diversas. O estudo dos M. P.s pode ser bastante complexo, assim, para o nosso propósito, analisaremos apenas o chamado movimento harmônico simples, cujo equacionamento e compreensão é mais fácil.
2. Movimento harmônico simples
Características:
- Movimento retilíneo (apenas um grau de liberdade)
- Movimento oscilatório em relação a um ponto chamado origem 0.
- Existência de uma força restauradora, que tende a fazer a partícula voltar à posição de equilíbrio. Esta força é proporcional a distância da partícula a origem: F = Kx. 3. Equações do M.H.S
Usamos o artifício matemático do estudo de um M.C.U para encontrar as equações do M.H.S.
Analisando a figura, vemos que a projeção do ponto P , sobre a reta OX
descreve um M.H.S.
A equação para este movimento é x = A cos ( ψO +wt ) ( )I
Se a análise for feita em relação ao eixo 0Y temos a relação: x = A sen ( ψ O+wt ) ( II)
Tanto a equação (I) como a (II) podem ser usadas, geralmente, a escolha da equação fica por conta da facilidade na resolução do problema. Para achar as equações da velocidade e da aceleração basta descrevermos a equação horário, assim:
o o o o 2 2 2 2 o o
x A cos wt x A sen wt V wA sen wt ou V wA cos wt
α w A cos wt w x α w A sen wt w x
(^) = ψ + = ψ + = −^ ψ^ +^ = −^ ψ^ + = −^ ψ^ +^ = −^ = −^ ψ^ +^ = −
onde:
o (^ )
o
w = pulsação = fase inicial ou constante de fase A amplitude wt fase do movimento
ψ
ψ + =
4. Velocidade e aceleração
Temos que: Vmáx ⇒ cos ( ψo + wt ) ou sen ( ψo + wt )= − 1 Assim: Vmáx = +wA
Analogamente: αmáx =w A^2
5. Período no M.H.S.
Sabemos que: F = − Kx (^) ( I)para uma partícula em M.H.S. e que α = −w x^2
Assim: F = mα ⇒ F = −mw x^2 ( II)
De (I) e (II) temos: 2 2 k 2 π m mw x Kx K mw w ; T T 2 π m w k
Está fórmula vale para qualquer corpo em M.H.S.
6. Sistema – Massa – Mola
Em um sistema conservativo ER = cte, temos ∴
x (^2) o
ζ Fdx Kx 2
= (^) ∫ =
Podemos, dessa relação, calcular ainda o período do pêndulo simples.
m mg T 2 ; K T 2 K g
= = → = π
09. SUPERPOSIÇÃO DE M.H.S. PERPENDICULARES DE MESMA FREQÜÊNCIA. FIGURAS DE LISSAJOUS.
a) x = A cos(wt)
y = A cos (^) wt 2
π +
Conclusões (^2 2 )
figura circunferência x y A
^ →
b) x = A cos(wt) y = A cos(wt + ψ) Pode ocorrer qualquer uma das trajetórias abaixo.
c) x = A cos(wt) y = A cos(wt) Caso visto no item anterior que cria como figura uma reta bissetriz do 1º e do 3º quadrante.
d) x = A cos wt y = B cos wt; A ≠ B
Conclusões
B
y x A B figura reta de coeficiente angular. A
Observação: Nos dois últimos casos ( c e d ) o movimento resultante é um M.H.S.
r = B^2 +A^2 cos wt mesma fase e mesma freqüência
O movimento resultante, sendo retilíneo, torna possível a existência do M.H.S.
e) x = A cos(wt)
y = B cos (^) wt 2
π +
Conclusões
2 2 2 2
x y 1 A B figura elipse
f) x = A cos(wt) y = B cos(wt + ψ)
Conclusões
2 2 2 2 2
x y 2xy cos sen A B AB equação de uma elipse rotacionada.
- Regra prática de Edson Parente para obter o sentido e a inclinação da elipse rotacionada.
I. SENTIDO:
senψ indica o sentido do movimento
II. INCLINAÇÃO:
cosψ indica a inclinação da figura.
Exemplos:
cos 0 0 sen (^0 )
ψ > π ⇒ < ψ < ψ >
cos 0 sen (^0 )
ψ < π ⇒ < ψ < π ψ >
cos 0 3 2 sen (^0 )
ψ > π ⇒ < ψ < π ψ <
cos 0 3 sen (^0 )
ψ < π ⇒ π < ψ < ψ <
sen 0 horário sen 0 antihorário
ψ > → ψ < →
cos 0 1º e 3º quadrantes (inclinando à direita) cos 0 2º e 4º quadrantes (inclinando à esquerda)
ψ > → ψ < →
No tempo x t ' V
= , temos:
o o (^) o
(^2) x 2 2 x y A cos[ w(t t ')] A cos (^) t A cos t t (^) V t VT
π π π = ψ + − = (^) ψ + (^) − (^) = ψ + − ^ ^ ^
onde
w T
π = (pulsação) e
K
VT
π π = = λ
(vetor Poynting – vetor que indica o sentido de propagação do pulso).
Então: y = A cos[ ψo + wt − kx] (função de onda)
Observação: Quando x = 0, y = A cos[ψo + wt] é a função de onda que a fonte realiza o M.H.S. Então v = –Aw sen[ψo + wt] é a velocidade com que a fonte oscila.
13. SUPERPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS HARMÔNICOS SIMPLES DE MESMA DIREÇÃO
a) Ondas Estacionáras
Fenômeno ondulatório (onda) resultante da superposição de duas ondas (senoidais) iguais (mesma freqüência, velocidade e amplitude) que se propagam no mesmo meio, na mesma direção e em sentidos contrários. Consideremos duas ondas que viajem numa corda elástica.
t
T
t 4
T
t 2
3T
t 4
Nos pontos B e D ocorre interferência construtiva (formação de VENTRES) e nos pontos A , C e E interferência destrutiva (formação de nós). É comum se representa uma onda estacionária através de uma figura que corresponde à reunião de diversas fotografias obtidas em instantes sucessivos. A porção da onda estacionária, compreendida entre dois nós consecutivos, é denominada FUSO. A distância entre dois ventres (ou nós) consecutivos é igual à metade do comprimento de onda e a distância entre um nó e um ventre consecutivo é igual à quarta parte do comprimento de onda.
Das funções de ondas; temos: y 1 = A cos(wt + kx) e y 2 = A cos(wt −kx)
A equação da onda resultante é y R = y 1 + y 2 = A[cos(wt + kx) + cos(wt −kx)]
R R AMPLITUDE
y = 2A cos(kx) cos(wt)⋅ onde A =2A cos(kx)
Isto é, a amplitude da onda resultante varia conforme a posição (x), ou seja, AR é função de x (INTERFERÊNCIA DA POSIÇÃO).
Observações:
- Está claro que não há transmissão de energia ao longo da corda para a direita ou para a esquerda, pois a energia não pode ultrapassar os pontos nodais, em que a corda está permanentemente em repouso (ver figura). Portanto, a energia permaneceu “estacionária” na corda, embora alterando-se entre energia cinética de vibração e energia potencial elástica.
- As ondas (mecânica ou eletromagnética) componentes que se movem em sentidos opostos ao longo da corda ainda produzirão ondas estacionárias mesmo se tiverem amplitudes diferentes.
b) Batimentos
É o fenômeno ondulatório resultante da interferência de ondas de mesma amplitude e freqüências ligeiramente diferentes, quando duas ou mais ondas se propagam numa mesma direção e num mesmo sentido.
Das funções de ondas, temos:
y 1 = A cos w t 1 = A cos(2 f t)π 1 y 2 = A cos w t 2 = A cos(2 f t)π 2
A equação da onda resultante é
y (^) R = y 1 + y 2 = A[cos(2 f t)π 1 + cos(2 f t)π 2
1 2 1 2 R
Amplitude
f f f f y 2A cos 2 t cos 2 t onde 2 2
= (^) π (^) (^) ⋅ (^) π ^ ^ ^
1 2 R
f f A 2A cos 2 t (AMPLITUDE DA ONDA RESULTANTE) 2
= (^) π ^
1 2 R
f f f (FREQÜÊNCIA DA ONDA RESULTANTE) 2
Veja que a amplitude resultante é função de tempo t (INTERFERÊNCIA DO TEMPO).
Um batimento, isto é, um máximo na amplitude (AR = 2A) , ocorrerá sempre que 1 2 f f cos 2 t 2
π^ ^
for igual a 1 ou a –1.
Como cada um destes valores ocorre urna vez em cada ciclo, então o número de batimentos por segundo (freqüência de batimentos) será o dobro da freqüência de amplitude fAmp., isto é, |f 1 – f 2 |.
- Uma partícula de massa m parte do repouso em x = +25cm e oscila em torno da posição de equilíbrio em x = 0, com o período de 1,5s. Determinar as equações: a) da posição x em função do tempo t. b) da velocidade v em função de t. c) da aceleração a em função de t.
- Resolver o problema 6 com a partícula inicialmente em x = 25cm e com velocidade v 0 = +50cm/s.
- O período do movimento de uma partícula oscilante é de 8s. No instante t = 0 a partícula está em repouso em x = A = 10cm. a) Fazer o gráfico de x em função do tempo t. b) Achar a distância coberta no primeiro segundo depois de t = 0, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de t = 0.
- A posição de uma partícula é dada por x = 2,5cos πt, com x em metros e t em segundos. a) Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima da partícula. b) Achar a velocidade e a aceleração da partícula quando x = 1,5m.
Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
- Uma partícula descreve um círculo com o raio de 40cm e velocidade constante de 80cm/s. Calcule: a) a freqüência do movimento. b) o período do movimento. c) Dar a equação da componente x da posição da partícula em função do tempo t , admitindo que, no instante t = 0, x seja positivo.
- Se a amplitude do movimento de um oscilador harmônico simples for triplicada, por que fator fica multiplicada a sua energia?
Gabarito
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
T = 2π dL^2 20M
4A, 0
0, A(2πt)^2
a) Errado b) Certo c) Certo
–
a) 1,3m/s b) 25m/s
a) x(t) = (0,25m) cos(4π/3)t b) v(t) = dx/dt = – (π/3m/s) sen (4π/3)t c) a(t) = dv/dt = – (4π^2 /9m/s^2 ) cos (4π/3)t
a) x(t) = (0,277m) cos(4πt/3 – 0,445) b) v(t) = dx/dt = – (1,16m/s) sen(4πt/3 – 0,445) c) a(t) = dv/dt = – (4,86m/s^2 ) cos(4πt/3 – 0,445)
a) x(t) = 10 cos(πt/4)
b) 2,9cm, 7,1cm, 7,1cm, 2,9cm
a) 2,5π b) 2,5π^2
a) f = 0,32Hz, ω = 2 rad/s b) 3,1s c) x(t) = (40cm) cos(2t)
- 9
FM – 05/03/ RevMH
