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1.16. Determinar a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção que
passa pelo ponto C. Usar P = 8 kN.
Solução:
VA
HA
HB
VC
NC
MC
Reações de apoio
F 0 P V 0 V 8 kN
F 0 H H 0 H 30 kN
M 0 P ( 3 0 , 75 ) H 0 , 6 0 H 30 kN
y A A
x B A A
A B B
= ⇒ − × × + × = ⇒ =
Esforços na seção C, tomando o lado direito de C:
N H H 30 kN
V V V 8 kN
M V 0 , 75 0 M 6 kN.m
C A A
C A C
C A C
= × = ⇒ =
Resposta : A força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção que passa pelo ponto C
são, respectivamente: 30 kN (compressão), 8 kN (para baixo) 6 kN.m (sentido horário),
1.33. A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo que
a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a tensão
normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de tensão atuando
sobre a área da seção transversal.
Solução:
Área da seção transversal:
1 , 82 MPa mm
N
4400 mm
8000 N
A
P
A ( 150 10 ) 2 140 10 4400 mm
2 2
2
σ= = = =
= × × + × =
σ
Resposta : A tensão normal média que atua sobre a seção a-a é de 1,82 MPa (tensão de compressão
mostrada na cor vermelha atuando uniformemente sobre toda a seção transversal).
1.37. A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel
em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal média e calcular
seu valor. Suponha que θ = 45º. O diâmetro de cada haste é dado na figura.
Solução:
F 0 F cos( 60 ) F sen( 45 ) 50 0
F 0 F sen( 60 ) F cos( 45 ) 0
o AC
o y AB
o AC
o x AB
= ⇒ × + × − =
= ⇒ − × + × =
∑
∑
Resolvendo:
F 44 , 83 lbf
F 36 , 6 lbf
AC
AB
=
= x
y
FAB
θθθθ =
o
50 lbf
o
FAC
Assim, as tensões são:
356 , 736 psi
d
F
186 , 415 psi
d
F
2 2 AC
AC AC
2 2 AB
AB AB
π×
π
σ =
π×
π
σ =
Resposta : As tensões médias que atuam nas seções AB e AC são, respectivamente, 186,415 psi e
356,736 psi. Portanto, a haste que está sujeita à maior tensão normal média é a haste AC.
1.38. A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel
em A. Determinar o ângulo da orientação de θ de AC, de forma que a tensão normal
média na haste AC seja o dobro da tensão normal média da haste AB. Qual é a
intensidade dessa tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é indicado na
figura.
Solução:
F
F
F
F
d
d
F
F
d
F
d
F
d
F
d
F
F 0 F cos( 60 ) F sen( ) 50 0
F 0 F sen( 60 ) F cos( ) 0
AB
AC 2
2
AB
AC 2 AC
2 AB
AB
AC
2 AB
AB
2 AC
AC
2 AB
AB
2 AC
AC
AB
AC
AC
o y AB
AC
o x AB
= = × = × = ⇒ =
π
π
σ
σ
= ⇒ × + × θ − =
= ⇒ − × + × θ =
∑
∑
Resolvendo:
o
AC
AB
F 44 , 37 lbf
F 34 , 66 lbf
θ =
x
y
FAB
θθθθ
50 lbf
o
FAC
Assim, as tensões são:
2 2 AB AC
AC AC
2 2 AB
AB AB
353 , 053 psi 2
d
F
176 , 526 psi
d
F
= = σ π×
π
σ =
π×
π
σ =
Resposta : As tensões médias que atuam nas seções AB e AC são, respectivamente, 176,526 psi e
353,053 psi, para um ângulo θ = 47,
o .
1.56. A junta está submetida à força de 6 kip do elemento axial. Determinar a tensão
normal média que atua nas seções AB e BC. Supor que o elemento é plano e tem 1,
polegada de espessura.
x
y (^) 6000 lb
FAB
o
FBC
o
Solução:
F 0 F 6000 cos( 60 ) F cos( 70 ) 0
F 0 F sen( 70 ) 6000 sen( 60 ) 0
o BC
o x AB
o o y BC
= ⇒ − × − × =
= ⇒ × − × =
∑
∑
Resolvendo:
F 4891 lb
F 5530 lb
AB
BC
=
Assim, as tensões são:
1630 , 41 psi 2 , 0 1 , 5
819 , 204 psi 4 , 5 1 , 5
AB
BC
×
σ =
×
σ =
Resposta : As tensões médias que atuam nas seções AB e BC são, respectivamente, 1630 psi e 819 psi.
1.60. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 1,25 pol
2
. Determinar
a tensão normal média em cada elemento devido à carga P = 8 kip. Indicar se a tensão
é de tração ou de compressão.
Solução:
αααα
0 , 8 5
cos
sen
α= =
α= =
Nó A
A αα^ αα
P
NAE
NAB
0 , 8 10 , 67 kip 0 , 6
P
N
F 0 N N cos 0 N N 0 , 8
13 , 33 kip 0 , 6
N
P
F 0 P N sen 0 N
AE
x AE AB AE AB
AB
y AB AB
∴ =− × = −
= ⇒ + α= ⇒ =− ×
= ⇒ − + α= ⇒ =
∑
∑
Nó E
NBE
NAE^ E NDE
P
0 , 8 10 , 67 kip 0 , 6
P
N
F 0 N N 0 N N
N 0 , 75 8 6 kip
F 0 N 0 , 75 P 0 N 0 , 75 P
DE
x DE AE DE AE
BE
y BE BE
∴ =− × = −
∴ = × =
∑
∑
1.61. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 1,25 pol
2
. Supondo
que a tensão normal média máxima em cada barra não exceda 20 ksi, determinar a
grandeza máxima P das cargas aplicadas à treliça.
Solução:
αααα
0 , 8 5
cos
sen
α= =
α= =
Nó A
A αα^ αα
P
NAE
NAB
0 , 8 1 , 333 P
P
N
F 0 N N cos 0 N N 0 , 8
1 , 667 P
P
F 0 P N sen 0 N
AE
x AE AB AE AB
y AB AB
∴ =− × = −
= ⇒ + α= ⇒ =− ×
= ⇒ − + α= ∴ = =
∑
∑
Nó E
NBE
NAE^ E NDE
P
0 , 8 1 , 333 P
P
N
F 0 N N 0 N N
F 0 N 0 , 75 P 0 N 0 , 75 P
DE
x DE AE DE AE
y BE BE
∴ =− × = −
∑
∑
Nó B
NAB
B
NBD
NBE
NBC
N 3 , 667 P
0 , 75 P P/ 0 , 6
P
N N 0 , 8 N 0 , 8
F 0 N N cos N cos 0
2 , 917 P
0 , 75 P P/ 0 , 6
N
N N 0 , 6
N
F 0 N sen N sen N 0
BC
BC AB BD
x BC BD AB
BD
BE AB BD
y AB BD BE
×
⇒ = × − × = × −
= ⇒ + α− α =
− − ×
= ⇒ − α− α− =
∑
∑
Os valores dos esforços e das tensões de tração (indicadas com +) e de compressão (indicadas
com –) podem ser resumidos na tabela abaixo. A tensão normal média máxima ocorre na barra BC.
Barra Esforço Tensão AB +1,667P +1,333P BC +3,667P^ +2,933P DE -1,333P -1,067P AE -1,333P -1,067P BE +0,750P +0,600P BD -2,917P^ -2,333P
Assim:
P 6 , 818 kip 2 , 933
20 ksi 2 , 933 P P A
força σ= ⇒σadm =σmax ⇒ = ⇒ = ∴ =
Resposta : A grandeza máxima P das cargas aplicadas à treliça deve ser de 6818 lbf.
1.80 A junta sobreposta do elemento de madeira A de uma treliça está submetida a
uma força de compressão de 5 kN. Determinar o diâmetro requerido d da haste de
aço C e a altura h do elemento B se a tensão normal admissível do aço é
(σadm)aço = 157 MPa e a tensão normal admissível da madeira é (σadm)mad = 2 MPa. O
elemento B tem 50 mm de espessura.
Solução:
x
y
FB
o
5 kN
FC
F 0 F 5 cos( 60 ) 0
F 0 F 5 sen( 60 ) 0
o x B
o y C
= ⇒ − + × =
= ⇒ − × =
∑
∑
Resolvendo:
F 2 , 500 kN
F 4 , 330 kN
B
C
=
Assim, as tensões são:
h 25 mm 50 2
h e
F
h
F
e h
F
A
A
F
d 5 , 93 mm 157
d
4 F
d
F
F d A A
F
mad
B
mad
B
mad
B mad mad
B mad
aço
C
aço
C
2
aço
C s s
C aço
×
× σ
σ
⇒ × =
σ
σ = ⇒ =
π ×
×
π× σ
×
σ
π ⇒ σ
σ = ⇒ =
Resposta : O diâmetro da haste de aço deve ser de d=6mm e a altura do elemento B deve ser de
h=25mm.
1.112- As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar
seus diâmetros requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio for
σadm = 150 MPa.
Solução:
P = 20 kN = 20000 N
σadm = 150 MPa = 150 N/mm
2
dAB =?
dAC =?
Equações de equilíbrio onde FAB e FAC são as forças nas hastes AB e AC, respectivamente.
F 0 F cos( 45 ) 0 F 20000 , 0 N
F 0 F sen( 45 ) P 0 F 28284 , 3 N
AC
o x AC
AB
o y AB
= ⇒− +× = ⇒ =
= ⇒ × − = ⇒ =
∑
∑
13 , 0294 mm 150
4 F 4 20000
d
15 , 4947 mm 150
4 F 4 28284 , 3
d
4 P
d
P
P d A A
P
adm
AC AC
adm
AB AB
adm adm
2
adm
adm
π×
×
πσ
×
π×
×
πσ
×
πσ
σ
π ⇒ σ
σ = ⇒ =
Resposta: O diâmetro dAB necessário é de 15,5 mm e o diâmetro dAC necessário é de 13,1 mm.
2.8. Duas Barras são usadas para suportar uma carga. Sem ela, o comprimento de
AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o anel em A tem coordenadas (0,0). Se a carga P atua
sobre o anel em A, a deformação normal em AB torna-se εAB = 0,02 pol/pol e a
deformação normal em AC torna-se εAC = 0,035 pol/pol. Determinar as coordenadas
de posição do anel devido à carga.
Solução:
BD CD
AD
Para encontrar os lados BD e AD, temos que:
AD 5 sen( 60 ) 4 , 33 pol
AD
sen( 60 )
BD 5 cos( 60 ) 2 , 5 pol
BD
cos( 60 )
o
o
o
o
= × =
= × =
E o lado CD:
CD 6 , 727 pol
8 AD CD CD 8 4 , 33
2 2 2 2 2
O ponto B é encontrado assim, a partir do ponto A que tem coordenadas (0; 0):
→ sobe em y com o valor AD (+4,33) e anda à esquerda, em x, com o valor de BD (–2,5)
Então as coordenadas do ponto B são (–2,5; +4,33).
Os alongamentos das barras serão:
L 8 0 , 035 0 , 28 pol
L 5 0 , 02 0 , 1 pol
AC AC AC AC
AB AB AB AB
δ = ×ε = × ⇒δ =
δ = ×ε = × ⇒δ =
Assim, os novos comprimentos das barras serão:
L L 8 0 , 28 L 8 , 28 pol
L L 5 0 , 1 L 5 , 1 pol
AC AC AC
AC
AB AB AB
AB
= +δ = + ⇒ =
= +δ = + ⇒ =
5,1 pol 8,28 pol
AD
__*
_BD CD_**
αααα __*
Como os pontos B e C permanecem no mesmo lugar, temos que:
BC 9 , 227 pol
BC BD CD BC 2 , 5 6 , 727
Mas o ângulo de 60
o foi alterado para:
o
AB
*^2 AC
*^22
AB
*^22 AB
*^2 AC
2 L BC
L BC L
arccos
L L BC 2 L BC cos( )
× ×
α =
= + − × × × α ⇒
Para encontrar os novos lados BD e AD, temos que:
AD 5 , 1 sen( 63 , 1 ) 4 , 548 pol
BD 5 , 1 cos( 63 , 1 ) 2 , 308 pol
= × =
= × =
O novo ponto A é encontrado assim, a partir do ponto B que tem coordenadas (–2,5; +4,33):
→ anda à direita, em x, de BD
(+2,308) e desce em y AD
(–4,548).
Então as novas coordenadas do ponto A são (–0,192; –0,218)
Resposta : As coordenadas de posição do anel devido à carga são (–0,192; –0,218) pol.
AD
__*
_BD CD_**
αααα __*
_LAB LAC_**
Então
CD BC BD 9 , 227 2 , 75 6 , 477 pol
= − = − =
L CD AD 6 , 477 5 , 06 8 , 219 pol
L BD AD 2 , 75 5 , 06 5 , 759 pol
Assim, as deformações normais nas barras são:
L
L L
L
L L
AC
AC
AC AC
AB
AB
AB AB
ε =
ε =
Resposta : A deformação normal na barra AB é de 15,2% e a deformação normal da barra AC é 2,74%.
2.13. A chapa retangular está submetida à deformação mostrada pela linha tracejada.
Determinar a deformação por cisalhamento média γxy da chapa.
Solução:
θθ θθ
0 , 0199973 rad 150
tg
1 xy
xy
=^ −
γ = −
−θ
π γ =
−
Resposta : A deformação por cisalhamento média γxy da chapa é de –0,0200 rad.
