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Versão preliminar 6 de junho de 2002
Notas de Aula de Física
12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR .................................................... 2
ROLAMENTO ....................................................................................................................... 2
O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2 O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3 A energia cinética.......................................................................................................... 3 T ORQUE ............................................................................................................................ 3 MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ............................................................. 5 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 S OLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 01 .................................................................................................................................. 8 02 .................................................................................................................................. 8 07 .................................................................................................................................. 9 11 .................................................................................................................................. 9 13 ................................................................................................................................ 10 27 ................................................................................................................................ 11 32 ................................................................................................................................ 11 44 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 46 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15
12. Rolamento, torque e momento angular
Rolamento
Considere um aro de raio R , rolan- do sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ , o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma dis- tância s , tal que;
s = R θ
O centro de massa do aro também deslocou-se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro tem a forma:
v R w dt
d R dt
ds v (^) CM = = ⇒ CM =
θ
De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro:
a R α dt
dw R dt
dv a (^) CM = CM = ⇒ CM =
R
s
s
O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação
v v CM
v v CM
v v CM
v v CM
v v CM
v v CM
v v CM
Movimento puramente rotacional , todos os pontos da roda movem- se com a mesma velocidade angular.
Movimento puramente translacional , todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade.
O movimento de rola- mento da roda é uma combinação dos dois mo- vimentos anteriormente descritos.
Convenção para simbolizar um vetor saindo perpendicular à folha. Convenção para simbolizar um vetor entrando perpendicular à folha.
y
F
θ F ⊥ F ||
r
x
z
r F
τ = × y
r
F
θ
x
Momento angular
O momento angular de uma partí- cula de massa m localizada pelo vetor po- sição r
, que tem momento linear p
é
definido como:
L r p
= ×
Existe uma conexão entre o mo- mento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante que atua sobre ela. Vamos considerar a variação do mo- mento angular no tempo:
(r p) dt
d dt
dL!!
= ×
dt
dp p r dt
dr dt
dL
= × + ×
z
L r p
= ×
y
r
p
θ
Mas
× = × = × =
F Forçaresul te dt
dp
p v p mv v dt
dr
tan
logo:
τ
= × ⇒ =
dt
dL r F dt
dL
Rotação Translação Equivalência L r p
= × →→→→^ p
r F
τ = × →→→→^ F
dt
dL
τ = →→→→ dt
dp F
Momento angular de um sistema de partículas
Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular total é dado por:
=
N N (^) i i
L L L L L
(^121)
De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos calcular a variação do momento angular total com o tempo:
= =
= N
i
N i i i dt
dL L dt
d dt
dL 1 1
i (^) ( (^) i i) i i i i mvi vi ri Fi dt
dp p r dt
dr r p dt
d dt
dL!!!!
= × = × + × = × + ×
Mas
EXT i
INT i i
i (^) F F F dt
dp!!!
ou seja
EXT i
INT i
EXT i i
INT i i
i (^) r F r F dt
dL τ τ
= × + × = +
= =
N i
EXT i
N i
INT i dt
dL 1 1
τ τ
logo
INT EXT dt
dL τ τ
Vamos mostrar que o torque interno é nulo. As forças internas surgem aos pares como interação entre os pares de partículas, ou seja:
=
N j ij
INT Fi 1 f
Para calcular a componente z do momento angular, temos que:
L (^) iz = L (^) i sen θ = (ri sen θ) vi ∆mi = ri ⊥ vi ∆mi = ri ⊥ (w ri ⊥) ∆mi ou seja: L (^) iz = w ∆mi r^2 i ⊥
z (^) i iz i i i L L w m r^2
Mas
I = ∆Lim m i→∑i ∆miri⊥ = ∫r⊥dm
2 2 0
onde ri ⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆mi perpendicular ao eixo de rota- ção, ou seja é a distância da massa ∆mi ao eixo de rotação, e portanto temos a nossa definição original de momento de inércia. Desse modo:
L = I w
onde omitimos o índice z do momento angular pois iremos tratar apenas de situações onde o momento angular de um corpo rígido será paralelo ao eixo de rotação (analisare- mos apenas situações onde o momento de inércia é uma grandeza escalar).
Estaremos interessados em situações onde
L I w
e ainda:
τ τ α
I
dt
dL = ⇒ =
Conservação do momento angular
Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angular total é igual ao torque externo.
EXT dt
dL τ
Se esse sistema estiver isolado, ou seja se o torque externo for nulo, o momento angular total será uma constante.
L cons te dt
dL = 0 ⇒ = tan
Esse resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e tem um significado e importância similar.
Solução de alguns problemas
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^01) Um tubo de paredes finas rola pelo chão. Qual é a razão entre as suas energias ci- néticas translacional e rotacional, em torno de um eixo paralelo ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa?
Inicialmente vamos calcular o momento de inércia do tubo mencionado, supondo que ele tenha raio R e comprimento L.
dm =σ dS=σ[ ( Rd θ)L]=σLRdθ
=∫ =∫ ( ) = ∫
π π σ θ σ θ
2
0
(^23)
0
I r^2 dm R^2 LRd R L d
RL
M
A
M
π
σ 2
(^3) ( 2 ) 2 2
R L I MR
RL
M
I ∴ =
= π π
z
y L
x
( ) ( )
2 2
2
2
2 = = = MR w
MwR
Iw
Mv
K
K CM
R
T
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^02) Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma velocidade de 0,150m/s. Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazê-lo parar?
I (^) CM = M R^2
2 2 2
K = ICM w + MvCM
R = 3m M = 140kg v (^) CM = 0,15m/s
Considerando que v (^) CM = w R , temos que:
( ) ( ) 2 2 2 2 2
K = MR w + MwR =MvCM= 3,15J
W = ∆K = K F - K I = - KI = - 3,15J
2 10
K = MvCM
( )
( ) 7
7 2 gH h E (^) I EF Mg H h MvCM vCM
g
h L v t L v
g
h t gt h
CM CM
2
ou seja: ( ) 7
20 hH h L
= = 47,80m
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^13) Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho
mostrado a seguir, tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do trilho.
a) Qual é a altura mínima h , medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? O raio da curva é R e considere que R >> r.
A condição para que a bolinha não per- ca contato é que a normal seja nula na parte mais alta, ou seja que o peso seja a única força radial, e desse modo te- remos:
v R g R
v P = mg=m CM^ ⇒ CM^2 =
2
Mas como o sistema é conservativo, a energia mecânica será conservada:
h R Q
EI =EF ⇒ UI =UF+K F
ou seja
mgH mg ( R) mvCM mg( R) m(Rg ) mgR H 2 , 7 R 10
= 2 +^2 = + = ∴ =
b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a 6R acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q?
Usando a conservação da energia mecânica entre os dois pontos, temos que:
E EQ mg ( R) mgR mvQ vQ Rg 7
0 = ⇒^6 = +^2 ∴^2 =
A força horizontal no ponto Q é a própria força radial nesse ponto, logo:
Rg F mg R
m R
v F (^) R m Q R 7
2 ∴^ =
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^27) Dois objetos estão se movendo como mostra a figura a seguir. Qual é o seu mo-
mento angular em torno do ponto O?
m 1 = 6,5kg v1 = 2,2m/s r 1 = 1,5m
m 2 = 3,1kg v2 = 3,6m/s r 2 = 2,8m
1 v 1
r 1 v 2
m 2 O r 2
2 2
2 2 2 2 2 1 1
1 1 1 1 1 ˆ
r i r
p mv jmv r jr
p mv imv !
( )
( )
= × = × =+
= × = × =−
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
L r p i jm r v km r v
L r p j i m rv km rv
!!!
L L 1 L 2
L =kˆ^ (^ m 2 v 2 r 2 −m 1 v 1 r 1 )
L =kˆ^9 , 798 kg.m^2 / s
y
m 1 v 1
r 1 v 2
m 2 O x r 2
Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga
(^32) Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação
é θ , quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que (tan θ)/.
mg F ma
N mg
θ a
θ
sen
cos 0
Quando estamos interessado em calcular
N
F a
P
θ
L 2 = I 2 w = 4 m L 2 w
c) O momento angular total das três partículas?
L = I w = 14 m L 2 w
Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga
(^45) Um cilindro de comprimento L e raio r tem peso P. Dois cordões são enrolados em volta do cilindro, cada qual próximo da extremidade, e suas pontas presas a gan- chos fixos no teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os dois cordões exata- mente na vertical e, em seguida, é abandonado.
a) Determine a aceleração linear do cilindro durante a queda.
F 1 = F 2 = F
Como a força peso não produz torque em relação ao eixo de rotação, temos que:
r
I
Fr I F 2
α τ (^) = =α ⇒ =
Mas a = α r logo
2 r^2
Ia F =
Considerando as forças que atuam no cilindro, da segunda lei de Newton te- mos que: P F F M a
ou seja: P - 2 F = Ma
Ma r
Ia Mg (^) =
Mr
I
g a
(^1) Mr 2
I
g a
F 1
F 2
w
P
F
w
P
Considerando que o momento de inércia do cilindro tem a forma 2
Mr^2 I = ,
encontramos que
2 g a =
b) Determine a tensão em cada cordão enquanto eles estão se desenrolando.
Mostramos anteriormente que:
2 r^2
Ia F =
logo
(^2) Mg F
g r
Mr F = ⇒ =
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^46) As rodas A e B da figura a seguir estão conectadas por uma correia que não desli-
za. O raio da roda B é três vezes maior que o raio da correia A.
a) Qual seria a razão entre os momentos de inércia I (^) A / I (^) B se ambas tivessem o mesmo momento angular?
rB = 3 rA
Como as duas rodas estão conectadas, as velocidades das suas bordas serão iguais, ou seja:
vA = vB ou seja:
B
A
A B A
B B
A A A BB r w w
r w
w w r =w r ⇒ = = 3 ∴ = 3
L (^) A = IA w (^) A
L (^) B = IB w (^) B Como LA = LB
B
A A
B B
A A A B B I
I
w
w I
I
I w I w
b) Qual seria a razão entre os momentos de inércia^ I^ A / I^ B se ambas tivessem a mesma energia cinética de rotação?
Como K (^) A = K (^) B
2 (^2 2) ∴ =
B
A A
B B
A A A B B I
I
w
w I
I
I w I w
Ao contrário do rolamento com deslizamento, neste caso as velocidades de translação e rotação não estão conectadas diretamente. Isso só vai acontecer quando cessar o deslizamento, e nesse ponto v1 = w 1 R.
Para o movimento de translação, temos a segunda lei de Newton:
a TRAN
a F Ma
N P
F P N Ma
Mas Fa = μC N = μC M g ∴ a (^) TRAN = μC g
Para o movimento de rotação temos:
a CM a C CM CM^ (^ )^ CM aROT R
I
R
R
I
R
I
F R I F Mg
τ = = α ⇒ =μ = α= 2 α 2
CM
ROT C I
R
a g
2 μ
Considerando o que já foi mostrado, temos que:
1 0
1 0 1
1 0
1 v a a
a v a
v v a
v t v v a t
v R t a t
TRAN ROT
ROT ROT TRAN TRAN
ROT
= α =
ou seja:
CM
C
TRAN ROT I
MR
g
v a a
v t (^002) μ 1
Considerando que para a esfera 2 5
I (^) CM = MR encontramos que:
g
v t 7 μC
= = 1,18s
b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?
t g I
MR
v R t a t g C CM
α (^) ROT μC μ 2
= = = = 6,07m/s
c) Qual a distância que ela desliza na pista?
g
v v a
v v v v a d d TRAN C
(^2) TRAN 2 2 μ
2 1
2 0
2 1
2 (^20) 0
2 1
= − ⇒ = = 8,60m
d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?
w 12 =w 02 + 2 αθ ⇒^ (w^1 R)^2 = 2 (α^ R)(R^ θ)^ ∴ v 12 = 2 aROTL
( ) 2
2 2 2
2 1 4
t I
MR
g R
a t R
a t N R N a
v L CM
C
ROT ROT ROT
= = = ⇒ = = μ π π
π
R
gt N C π
μ 8
= = 5,18rev
