FAACZ – FACULDADE DE ARACRUZ
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
WAGNER GIACOMIN DE CARVALHO
MÉTODOS DE (SIMPSON, TRAPÉZIO, RUNGE-KUTTA)
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E SPLINES
ARACRUZ
2009
WAGNER GIACOMIN DE CARVALHO
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Runge - kutta, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
calculo numerico
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 15
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FAACZ – FACULDADE DE ARACRUZ
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
WAGNER GIACOMIN DE CARVALHO
MÉTODOS DE (SIMPSON, TRAPÉZIO, RUNGE-KUTTA)
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E SPLINES
ARACRUZ
WAGNER GIACOMIN DE CARVALHO
MÉTODOS DE (SIMPSON, TRAPÉZIO, RUNGE-KUTTA)
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E SPLINES
Trabalho apresentado ao Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de Aracruz, como pré-requisito parcial avaliativo da disciplina de Cálculo Numérico, do 4º “B” período de Engenharia Mecânica.
Professor: Daniel
ARACRUZ
SUMÁRIO
1. NTRODUÇÃO ..................................................................................................
2. INTEGRAÇÃO
NUMÉRICA .............................................................................
2.1 Regra do Trapézio .......................................................................................
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho explica algumas de várias ferramentas do cálculo numérico para solucionar problemas matemáticos, que são integração numérica, splines, métodos de Runge-kutta, Simpson e Trapézio, em relação com equações diferenciais ordinárias (EDO). É muito importante saber escolher o método a ser utilizado, para cada problema a ser solucionado. Essas ferramentas são muito utilizadas para casos que realmente, é difícil de calcular o valor da função. Também é utilizado quando não se conhece a expressão da função, mas possuímos um conjunto de valores, que em geral é obtido através de experimentos. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.
2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma integral definida, cuja função ou não é disponível ou não possui uma solução analítica. Ela consiste na aproximação de uma integral definida do tipo:
b
I = ∫ f(x) dx (1)
a
por uma soma do tipo:
b n
I = ∫ f(x) dx ≅ ∑ w i.f (x i). ∆x
a i =
Na qual f(x i) são os valores da função f(x), ∆x = x i+1 - x i e wi é um valor numérico de ponderação que também é conhecido por função peso. No presente curso, nos restringiremos aos métodos de integração numérica para intervalo ∆x constante. A determinação desses métodos consiste basicamente em avaliar o valor da função peso wi.
2.1 Regra do Trapézio
Consideremos a integral (1); dividimos o intervalo [a,b] em n intervalos iguais, cada um de comprimento igual a h = ( b – a ) / n, com pontos dados por xi = a + ih, i=0,...,n. Decorre da definição de h que x 0 =a e b = x (^) n. O comprimento h é chamado também
de incremento da divisão, pois xi+1 – xi = h. Faremos uma dedução intuitiva da fórmula. A área limitada pelo gráfico de y = f(x) e o eixo x, entre x (^) i e xi+1 , é igual a. O polinômio de primeiro grau que interpola f nos pontos (xi , yi ) e (x (^) i+1 , yi+1 ) é p(x) = yi + (x-x (^) i )(y (^) i+1- y (^) i )/ (x (^) i+1 -x (^) i). Se h é suficientemente pequeno, a integral da função é
bem aproximada pela integral do polinômio interpolador. Temos, então, = , aplicando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo, onde o símbolo denota aproximadamente igual e yi =f(x (^) i). Devido à linearidade da integral definida, isto é, ,
podemos escrever. (3) Então, da linearidade e da igualdade (3), segue a fórmula dos trapézios:
Exemplo: Integre a equação: , no intervalo [0, 0,8].
a) Por meio do cálculo integral. b) Usando a Regra do Trapézio.
a)
O erro cometido é dado por: Erro = 1,64053334-0,1828 = 1,46773334. Em percentagem o erro é de 850%. Pela observação do gráfico da função abaixo, vê-se que é muito pobre a estimativa da integral pela utilização da Regra do Trapézio.
2.2 Regra de Simpson
Considerando a integral (1), na fórmula dos trapézios definimos que o número de intervalos da divisão do intervalo de integração é igual a n = ( b – a ) / h. Suponhamos que n seja par; definimos então k = 2h (7) e então aplicando a fórmula dos trapézios correspondente a estes dois incrementos:
I (^) h= (8) I (^) k= (9) De fato, na equação (9), o número de pontos é a metade dos que temos em (8), pois o incremento k é o dobro de h. As equações (8) e (9) podem ser substituídas na equação (6). Observando que k 2 = 4h 2 , obtemos após algumas simplificações a igualdade. I = (10) A equação (10) é chamada de fórmula de Simpson. Pode ser obtida a partir da interpolação por um polinômio de segundo grau que coincide com a função integrando em três pontos adjacentes, embora o esforço seja maior. Pode ser mostrado que o erro de truncamento é proporcional à quarta derivada de f(x), calculada em algum ponto do intervalo [ a, b]. Isto significa que para uma função bem comportada, o erro na fórmula de Simpson é menor do que na fórmula dos trapézios. Comparando as fórmulas para o erro, vemos que na fórmula de Simpson o erro é proporcional a h^4 , enquanto para a regra do trapézio o erro é proporcional a
h^2. Isto quer dizer que a regra de Simpson corresponde aos primeiros três termos da série de Taylor, logo esta fórmula é exata para polinômios de grau menor ou igual a três. Admitindo que a quarta derivada de f(x) é constante, podemos usar a extrapolação pelo limite para melhorar a fórmula de Simpson. De fato, supondo que I= I (^) h + Ch^4 e I = I (^) k + Ck 4 (11) decorre imediatamente que a fórmula de extrapolação de Richardson para a regra de Simpson é
I = I (^) h +
Exemplo: Calcular , utilizando a Primeira Regra de Simpson. i 0 3 0, 1 3,3 0, 2 3,6 0,
O erro é dado por: , como visto, , , , e. Para o valor , portanto:
A equação diferencial de primeira ordem (ODE) é uma equação que pode ser escrita na seguinte forma:
y’ = dy = g(x,y) dx
onde x é a variável independente.
A solução da equação diferencial de primeira ordem (ODE) é a função y = f(x), tal que f ’(x) = g(x,y). O cálculo da solução envolve a integração de y ’ para obter y. A solução de uma equação diferencial é geralmente uma família de funções. A condição inicial é usualmente necessária na ordem para especificar uma única solução. A seguir serão representadas algumas soluções analíticas para equações diferenciais ordinárias. Enquanto que as soluções analíticas para as equações diferenciais são preferenciais, muitas vezes requerem soluções muito complicadas. Para esses casos, uma técnica numérica se torna necessária. As técnicas numéricas mais comuns para resolver equações diferenciais ordinárias, são o método de Euler e o método de Runge-Kutta. Tanto o método de Euler quanto o método de Runge-Kutta aproximam a função utilizando-se da expansão em série de Taylor. Lembrando que a série de Taylor é uma expansão que pode ser usada para aproximar uma função cujas derivadas são definidas no intervalo contendo a e b. A expansão por série de Taylor para f(b) é:
f(b) = f(a) + (b - a) f ’(a) + (b - a)^2 f ’’(a) + ... + (b - a) n^ f(n)(a) + ... 2!
Para as equações diferenciais de primeira ordem a serie de Taylor se torna:
f(b) F 0B B f(a) + (b - a) f ’(a) Para as equações diferenciais de segunda ordem:
f(b) F 0B B f(a) + (b - a) f ’(a) + (b - a)^2 f ’’(a)
E, assim por diante.
Runge – Kutta é um dos métodos mais populares para a integração da equação diferencial de primeira ordem. Esses métodos de aproximação de uma função se usam da expansão por série de Taylor. Desta forma, o método de Runge - Kutta de primeira ordem se utiliza da expansão de Taylor de primeira ordem, o método de Runge - Kutta de segunda ordem se utiliza da expansão de Taylor de segunda ordem, e, assim por diante. Lembrando que o método de Euler é equivalente ao método de Runge - Kutta de primeira ordem.
A resolução numérica de sistemas não lineares precisa de métodos melhores que o método de Euler. No método de Runge-Kutta de ordem 4, o valor médio da derivada no intervalo de tempo h calcula-se usando informação em quatro pontos.
Começa-se por calcular a derivada no ponto inicial do intervalo:
a seguir, realiza-se um deslocamento na direcção dessa derivada, avançando uma distância no tempo, até um ponto 1 onde é calculado um segundo valor da derivada:
Essa derivada é usada para realizar outro deslocamento a partir do ponto inicial, avançando no sentido do tempo, até um outro ponto 2, onde é calculado um terceiro valor da derivada:
seguindo o sentido da derivada , realiza-se um terceiro deslocamento, a partir do ponto inicial, desta vez avançando no eixo do tempo, para chegar até um ponto 3, onde se calcula um quarto valor da derivada:
o valor da derivada que conduz a um erro mínimo é a combinação linear:
admitindo que d é o valor médio da derivada da função x(t) no intervalo h, obtemos
Implementação do algoritmo em Maxima:
(%i3) rk(edo, estado, inicial, dominio) := block ([f:edo, var:[estado], xv:inicial, t0:dominio[2], h:dominio[4],
Exemplo 2: Encontre a solução do sistema
entre t=0 e t=4, com condição inicial x(0)=-1.25, y(0)=0. Resolução: usaremos o método de Runge-Kutta de quarta ordem, com intervalos de tempo h=0.
(%i7) load("rk")$ (%i8) sol: rk([4-x^2-4*y^2,y^2-x^2+1],[x,y],[-1.25,0.75],[t,0,4,0.02]) $ o programa rk.mac redefine a função rk. Assim, já não foi usado o programa que vimos acima, mas um programa mais complexo que aceita un número arbitrário de variáveis de estado. O resultado ficou armazenado na lista sol. Cada elemento dessa lista é também uma lista com 3 elementos: t, x e y. Por exemplo, o último elemento na lista é:
(%i9) last(sol); (%o9) [4.0, 1.232365393486131, - .7493152366008236] não podemos fazer um gráfico da lista sol, porque graph2d só pode representar pontos em duas dimensões. Será preciso extrair duas das variáveis na lista. Por exemplo, para desenhar o gráfico da trajectória no espaço de fase, nomeadamente, y vs x, usamos o comando:
(%i10) graph2d(makelist([sol[i][2], sol[i][3]], i, 1, length(sol)));
5 CONCLUSÃO
Vimos que o Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.
Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. Os métodos discutidos podem ser utilizados para o cálculo de integrais. As fórmulas dos trapézios e de Simpson são mais práticas, pois os pontos são uniformemente distribuídos, obtidos a partir dos dados da integral. Nas aplicações onde os valores de uma função são obtidos experimentalmente (por exemplo, o volume de terra a ser extraído na construção de um túnel), estas fórmulas são bastante úteis. Por outro lado, em problemas onde se procura um resultado mais acurado, com menor esforço computacional, a quadratura gaussiana é bastante vantajosa, pois exige o cálculo da função em um menor número de pontos. De modo geral, o esforço computacional para implementar a quadratura gaussiana é a metade do esforço correspondente à fórmula de Simpson, para obter um resultado com erros equivalentes. Da mesma forma, a fórmula de Simpson requer a metade do esforço da regra do trapézio, para obter um resultado equivalente. A conclusão deste trabalho levou-se a perguntar, em outros problemas, qual método é o mais eficiente para resolver um dado problema.
.
6 REFERÊNCIAS
BARROSO, L.C. et alli. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbra, 1987.
CLAUDIO, Dalcidio Moraes. Cálculo Numérico Computacional ( teoria e prática ) : algoritmos em pseudo-linguagem. São Paulo: Atlas, 2000.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.