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Seminário Controle Ótimo Seminário Controle Ótimo Seminário Controle Ótimo Seminário Controle Ótimo Seminário Controle Ótimo Seminário Controle Ótimo
Tipologia: Resumos
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Equipe: Gustavo Siqueira Bastos - 478939 Carlos Henrique Sousa Alencar - 470748 Maria Edna Alves da Silva - 391264
👤 Gustavo Siqueira Bastos - 478939
👤 Carlos Henrique Sousa Alencar - 470748
👤 Maria Edna Alves da Silva - 391264
Sumário
Introdução
Método manual
Método computacional
Conclusão
Referênencias
Limitações do Controle Clássico
Ajuste por tentativa e erro.
Dificuldade com sistemas multivariáveis.
Ausência de critério global de desempenho.
Métodos clássicos de controle, como PID e alocação de polos, frequentemente dependem de ajustes empíricos e não oferecem um critério quantitativo global de desempenho. Além disso, tornam-se menos eficazes em sistemas multivariáveis, onde a interação entre variáveis dificulta o projeto por métodos tradicionais.
O que é Controle Ótimo?
Abordagem baseada em otimização matemática.
Define-se um índice de desempenho (cost function).
Busca-se a melhor lei de controle possível.
O controle ótimo consiste em formular o problema de controle como um problema de otimização matemática. Define-se um índice de desempenho que mede a qualidade do comportamento do sistema ao longo do tempo, e a partir dele busca-se uma lei de controle que minimize esse índice, respeitando a dinâmica do sistema.
Ideia Central do LQR
Controle por realimentação de estados (state feedback).
Lei de controle linear.
Ganho calculado de forma sistemática.
Fonte: Ogata (2009)
Na figura o Diagrama do regulador quadrático ótimo.
No regulador quadrático ótimo, assume-se que todos os estados do sistema estão disponíveis para realimentação. A lei de controle é linear e da forma u(t) = -Kx(t), onde o ganho K é obtido de maneira sistemática, garantindo simultaneamente estabilidade e desempenho ótimo.
Penaliza desvios dos estados e esforço de controle
O índice de desempenho quadrático avalia o comportamento do sistema ao longo de todo o tempo. O termo penaliza desvios dos estados em relação à origem, enquanto o termo penaliza o esforço de controle aplicado. Dessa forma, busca- se um compromisso entre rapidez da resposta e consumo de energia.
Índice de Desempenho
O índice de desempenho define o critério de otimização. A solução do problema é obtida indiretamente por meio da equação algébrica de Riccati.
Interpretação das
Matrizes Q e R
LQR: equilíbrio entre esforço de controle e desempenho
Fonte: ScienceDirect, Linear Quadratic Regulator (LQR).
Interpretação das
Matrizes Q e R
Resposta de ponderação LQR Q R
Fonte: Control Tutorials for MATLAB & Simulink (CTMS), University of Michigan.
•A matriz Q está associada à penalização dos estados do sistema, enquanto a matriz R penaliza o esforço de controle.
•A escolha desses pesos define um compromisso (trade-off) entre rapidez da resposta e energia de controle aplicada.
•Observa-se que diferentes escolhas de Q e R alteram significativamente a dinâmica do sistema, influenciando o tempo de acomodação e o sobressinal.
Equação Algébrica de Riccati
AᵀP + PA − PBR⁻¹BᵀP + Q = 0
A solução P deve ser definida positiva.
Garante estabilidade.
A equação algébrica de Riccati surge da aplicação do cálculo variacional ao problema de otimização. Sua solução fornece a matriz P, que contém informações sobre o custo associado aos estados do sistema. A existência de uma solução definida positiva garante a estabilidade do sistema em malha fechada.
Cálculo do Ganho Ótimo
K = R⁻¹BᵀP
Ganho ótimo obtido diretamente da Riccati.
A partir da solução da equação de Riccati, obtém-se o ganho ótimo K , que define a intensidade da realimentação dos estados. Esse ganho é calculado de forma sistemática e garante que o sistema em malha fechada minimize o índice de desempenho definido, equilibrando rapidez da resposta e esforço de controle.
Sistema (A,B)
Equação de Riccati Matriz P^ Ganho ótimo K
Fluxo de obtenção do ganho ótimo no LQR
O projeto do LQR segue um fluxo bem definido: inicialmente modela-se o sistema por meio das matrizes A e B. Em seguida, resolve-se a equação de Riccati para obter a matriz P. Por fim, calcula-se o ganho ótimo K, que define a lei de controle por realimentação de estados.
Sistema linear de segunda ordem
Índice de desempenho quadrático
Solução via LQR
O Exemplo 10.9 apresentado por Ogata ilustra a aplicação prática do regulador quadrático ótimo em um sistema linear de segunda ordem. O objetivo é demonstrar como a teoria do LQR pode ser aplicada de forma direta para obter estabilidade e desempenho adequado.
Exemplo do Livro
● Dados do problema:
Índice de desempenho:
Exemplo do Livro
Manual
Exemplo do Livro
Manual
