Serie Numerica, Notas de estudo de Engenharia Civil

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S

eries Num´ericas

Maria do Carmo Martins

Novembro de 2006

Defini¸c˜ao e generalidades

Seja (u n ) uma sucess˜ao de n´umeros reais. Chama-se s´erie

num´erica ou s´erie de n´umeros reais ou soma infinita `a

express˜ao que se obt´em somando todos os termos de (u n

Simbolicamente:

u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un +... =

∞ ∑

n=

un

∞ ∑

1

u n

un

Observa¸c˜ao

Por vezes ´e conveniente considerar s´eries do tipo

∞

n=

un, ou mais

geralmente,

∞

n=p

u n , onde p ´e um n´umero natural. Assim, s˜ao

tamb´em s´eries as express˜oes

∞ ∑

n=

u n = u 2

• u 3
• · · · + u n

∞ ∑

n=

u n = u 8

• u 9
• · · · + u n

Sucess˜ao associada a uma s´erie

Considere-se a s´erie num´erica

u n

. Define-se

S 1 = u 1 primeiro termo da s´erie

S

2 = u 1

• u 2 soma dos dois primeiros termos da s´erie

S 3 = u 1 + u 2 + u 3 soma dos trˆes primeiros termos da s´erie

S

n = u 1

• u 2
• · · · + u n soma dos n primeiros termos da s´erie

Sucess˜ao associada a uma s´erie

Considere-se a s´erie

un. Ent˜ao

S

n = u 1

• u 2
• · · · + u n− 1
• u n

Sn− 1 = u 1 + u 2 + · · · + un− 1

S

n

− S

n− 1 = (u 1

• · · · + u n− 1
• u n ) − (u 1
• · · · + u n− 1 ) = u n

Assim,

S

n

− S

n− 1 = u n

Exemplo: Seja S n

n

n+

o termo geral geral da sucess˜ao das

somas parciais da s´erie

u n

. Determine u n

Convergˆencia da sucess˜ao associada `a s´erie

Considere-se a s´erie num´erica

u n e seja (S n ) a sua sucess˜ao

associada. Ent˜ao

(S

n ) converge ⇔

u n converge.

Observa¸c˜ao

Note-se que sendo (S n ) uma sucess˜ao, o c´alculo do limite de S n

obedece `as propriedades alg´ebricas dos limites das sucess˜oes,

podendo aplicar-se, sempre que seja poss´ıvel, as regras pr´aticas j´a

estudadas.

Exemplos

Estude a natureza das s´eries:

1

n(n + 1)

2

c, com c ∈ R \ { 0 };

3

4

n+

Observa¸c˜ao

Suponhamos que

u n ´e uma s´erie num´erica convergente cuja

soma ´e S. Ent˜ao

S =

u n = u 1

• u 2
• · · · + u n ︸ ︷︷ ︸

Sn

• u n+
• u n+

Rn

ou seja,

S = S

n

+ R

n

R

n

= S − S

n

Observa¸c˜ao (continua¸c˜ao)

Tomando limites, tem-se:

lim R n = lim (S − S n

= lim S − lim Sn

= S − S

Concluimos ent˜ao que uma s´erie ´e convergente se o resto de ordem

n for um infinit´esimo, isto ´e:

u n ´e convergente ⇔ lim R n

Natureza da s´erie Geom´etrica (1)

Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da s´erie

geom´etrica. Escrevendo a sucess˜ao das somas parciais,

multiplicando por r e subtraindo, vem

S

n = a + ar + ar

2

• · · · + ar

n− 1

rS n = ar + ar

2

• ar

3 · · · + ar

n− 1

• ar

n

Sn − rSn =

a + ar + · · · + ar

n− 1

ar + · · · + ar

n− 1

• ar

n

S

n − rS n = a − ar

n

Sn(1 − r ) = a − ar

n

Natureza da s´erie Geom´etrica (2)

Consideremos os seguintes casos:

1. Se r 6 = 1, ent˜ao S n

a−ar

1 −r

Calculemos o limite de S n

lim Sn = lim

a − ar

n

1 − r

= lim

a

1 − r

ar

n

1 − r

a

1 − r

− lim

ar

n

1 − r

a

1 − r

a

1 − r

lim r

n

Sendo r

n uma exponencial, o limite vai depender da base.

Natureza da s´erie geom´etrica (4)

Se |r | > 1, ent˜ao lim r

n = ∞ e assim lim Sn = ∞.

Sendo (S n ) divergente, ent˜ao a s´erie

ar

n− 1 ´e divergente.

Se r = −1, ent˜ao

ar

n− 1 ´e divergente, pois:

Se n ´e par, ent˜ao S n =

a

1 −(−1)

−

a

1 −(−1)

= 0, pelo que

lim S n = 0.

Se n ´e ´ımpar, ent˜ao S n =

a

1 −(−1)

−

(

−

a

1 −(−1)

)

= a, pelo que

lim Sn = a.

Assim, S n = a para n ´ımpar e S n = 0 para n par. ´E sabido que

esta sucess˜ao n˜ao tem limite e, portanto, a s´erie ´e divergente.

Natureza da s´erie geom´etrica (5)

2. Se r = 1, ent˜ao S n = na. Calculando o limite de S n tem-se:

lim Sn = lim na = ∞

Como (S n ) ´e divergente, ent˜ao

ar

n− 1 ´e divergente.

Conclus˜ao:

A s´erie geom´etica

ar

n− 1 converge se, e s´o se, |r | < 1. Neste

caso, a sua soma ´e

S =

a

1 − r