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Sistemas Quânticos simples
• Função de onda [ Ψ(x, y, z, t) ]
função matemática que descreve o estado da partícula
estado = posição, energia ... => grandezas cinemáticas e dinâmicas
• Função Distribuição de Probabilidade |Ψ(x, y, z, t)|^2
- |Ψ(x, y, z, t)|^2 dV = probabilidade de encontrar uma partícula dentro
de um volume dV ao redor do ponto (x, y, z) no instante de tempo t.
Princípios de Física Moderna - Profa Eliane 1
de um volume dV ao redor do ponto (x, y, z) no instante de tempo t.
• Partícula livre
possui igual probabilidade de ser encontrada em qualquer parte do
espaço
• Partícula ligada
o estado da partícula depende: - do potencial ao qual ela está
submetida, - da energia cinética da partícula.
Equação de Schrödinger
• Para cada potencial ao qual a partícula estará submetida,
seu estado será diferente. Portanto, para cada caso, sua
função de onda Ψ(x, y, z, t) também será.
E Partícula livre U(x)
• Método matemático para calcularmos Ψ(x, y, z, t)
Erwing Schrödinger (Nobel em 1933!)
E
E
Equação de Schrödinger
• Para cada potencial ao qual a partícula estará submetida,
seu estado será diferente. Portanto, para cada caso, sua
função de onda Ψ(x, y, z, t) também será.
− h
2m
∂^2 Ψ
∂x^2
+ UΨ = EΨ
Princípios de Física Moderna - Profa Eliane 3
• Solução = Função de onda ΨΨ ΨΨ (x, y, z, t) e possíveis
valores da energia E da partícula
ih ∂Ψ
∂t
= EΨ
Partícula em uma caixa - Poço Infinito
- Aplicação : elétron em uma
molécula com movimento
unidimensional
- Como U(x) -> ∞ para x < 0 e
x > L ⇒ ψ 0 = ψL = 0
ψ( x) = A sin( kx ) ψ( 0 ) = ψ(L) = 0 ψ( x) = A sin( kx )
k = 2 π λ
ψ( 0 ) = ψ(L) = 0
k.L = nπ ( n = 0,1, 2 , ...)
2 π λ =^
n π L ⇒^ λn^ =^
2L
n
pn = (^) λh n
= hn2L
En = p
2 2m
En = h
(^2) n 2 8 mL^2 Valores possíveis da energia da partícula
Barreira de Potencial
- Aplicação : Tunelamento de
elétrons.
- Partícula com energia E < Uo Mecânica Clássica: a partícula será encontrada somente na região I
I II III
Princípios de Física Moderna - Profa Eliane 7
Mecânica Quântica: existe uma probabilidade da partícula ser encontrada dentro da barreira e na região III.
ψII (x ) = Cekx^ + De −kx
ψI (x ) = A sin 2mE h x
+ B cos 2mE h x
ψIII (x) = A sin′ 2mE h x
+ B cos′ 2mE h x
k = 2m(U ho^ −^ E)
Barreira de Potencial
- Probabilidade da partícula passar pela barreira = coeficiente de
transmissão:
T = G.e−2kL
G = 16 E
Uo
1 − E
Uo
^
^ ^ k^ =^
2m(Uo − E) h
- Exemplo: um elétron com energia 2,0eV incide sobre uma barreira de
5,0eV. Qual a probabilidade de ele tunelar através da barreira quando
a espessura da barreira é de (a) 1,00nm e (b) 0,90nm?
G = 16 2 , 05 , 0 1 − 2, 05, 0 ^ ^
^ ^
= 3, 84
k = 2m(3, 0^ ×^ 1, 6x^
− (^19) ) 1, 055 x10 −^34
= 8, 90 x10 9 m −^1
Para: L = 1,0nm ⇒ T = 7,1x10- L = 0,9nm ⇒ T = 4,2x10-
L /10 ⇒ T 10x maior!! Aplicação: Microscópio de Tunelamento
Microscópio de Tunelamento
- Si(111) surface showing the
(7x7) reconstruction.
ponta
amostra movimento relativo ponta x amostra
corrente
Princípios de Física Moderna - Profa Eliane 9
- Xe sobre Ni (110) a T = 4 K Primeira manipulação de átomos Nature 344, 524 (1990).
corrente de tunelamento
Oscilador Harmônico
- Aplicação : Vibrações Moleculares
- frequência de oscilação
x = 0
Fe = -k'x
- frequência de oscilação
- Para o estado fundamental:
- Possíveis valores de energia:
ω = k′
m
ψo (x) = Ce
− m^ k^ ′.x
2 2 h
En = n + 1 2
.h.^
k′ m
= n + 1 2
.h.ω
