rimeiro, escrever de 0 até 10. De- pois, até 20. Quando a criança do- minar esses números, avançar até o 50 e, posteriormente até o 100, certo? Até algum tempo atrás, poderia ser, mas a concepção de que para progredir no aprendizado dos números é preciso en- siná-los um a um, seguindo a série nu- mérica e logo classificando em unida- des, dezenas e centenas, está caindo em desuso. Essa maneira de ensinar não le- va em consideração um fato mais do que

evidente: os alunos, muito antes de co- meçarem a freqüentar uma sala de au- la, têm contato diário com o sistema nu- mérico. Ao ver algarismos em calendá- rios, telefones dos colegas, preços de pro- dutos, numeração das casas e o painel do elevador, informalmente eles cons- troem representações sobre os núme- ros e tentam compreendê-los criando teorias próprias. Essa lógica inicial – construída com base em simples observação e na inte-

A base de todas

as operações

Ensinar as características do sistema decimal é fundamental para que os alunos avancem na aprendizagem da Matemática. Para isso, promova o uso dos números em diferentes contextos e o debate de hipóteses FAOZE CHIBLI, PAOLA GENTILE e PAULO ARAÚJO [email protected]

TEORIA

➀GUSTAVO LOURENÇÃO

➁CÉLLUS

➀

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

RECORTE E COLECIONE

ração com os números em situações do cotidiano – aparece principalmente quando a turma é convidada a escrever esses números e o faz de maneira não convencional – o que a princípio pode parecer errado. As educadoras argenti- nas Delia Lerner e Patricia Sadovsky, res- ponsáveis pelos estudos mais avançados nessa área atualmente, constataram es- sas hipóteses em pesquisas (leia quadro ao lado) que hoje dão subsídios à ma- neira de ensinar as características do nos- so sistema numérico – posicional e de base 10. Esse conhecimento é fundamen- tal para o aprendizado de Matemática no decorrer da vida escolar, principal- mente para a realização de operações (leia o quadro da pág. 64). Os estudos, além de colocar luz sobre o raciocínio do estudante, foram essen- ciais ao apontar um caminho para o diá- logo com os pequenos.“Sabendo como o aluno pensa, temos condições de fa- zer um planejamento mais elaborado de boas atividades”, afirma Suzete Borelli, formadora do Círculo de Leitura e Es-

crita e Matemática, da Secretaria Muni- cipal de Educação de São Paulo. As in- tervenções do professor devem, portan- to, contribuir para que a criança avance cada vez mais no sentido de se apropriar da notação convencional e para com- preender como se organiza o sistema de numeração decimal. Se o conteúdo for bem trabalhado desde o início, as crian- ças poderão surpreender ao reconhecer e escrever cifras que passem do bilhão ou trilhão logo nas primeiras séries do Ensino Fundamental. Investigar quanto um aluno já sabe sobre o sistema de numeração é impor- tante para fazer as intervenções corre- tas. “Dessa forma, conseguimos com- preender o raciocínio daqueles que an- tes eram vistos como problemas”, afir- ma Daniela Padovan, professora do Co- légio Friburgo e da EE Professora Mari- na Cintra, ambos em São Paulo.

Como pensam os pequenos As pesquisadoras argentinas Delia Lerner e Patricia Sadovsky apontaram as hipóteses que as crianças constroem sobre o sistema numérico com base em suas experiências cotidianas. A seguir, veja quais são essas hipóteses e exemplos do pensamento de alunos de 6 anos, constatados durante a investigação das educadoras e relatados no capítulo O Sistema de Numeração: um Problema Didático , do livro Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas, organizado por Cecília Parra e Irma Saiz.

O PRIMEIRO MANDA Ao comparar números com igual quantidade de algarismos, os pequenos se baseiam na posição que estes ocupam para descobrir qual é maior ou menor. Isso mostra que eles reconhecem os diferentes valores dos algarismos conforme a posição que ocupam.

QUANTIDADE DE ALGARISMOS Mesmo sem saber a denominação dos números, as crianças acham que um número é maior porque tem mais algarismos. Algumas vezes, ao comparar números com grande diferença no valor absoluto dos algarismos que os compõem, como 111 e 99, as crianças se orientam pelo valor absoluto.

Por que 21 é maior que 12?

O que tem mais valor é o que fica na frente. Os dois têm valor. Sim, os dois têm valor. Você pode olhar o de trás. Porém em primeiro lugar olha o da frente. Se o primeiro número de uma carta é igual ao primeiro de outra carta e o segundo é mais alto que o outro, aí sim tem importância o segundo. Têm os mesmos números. Só que o dois está antes (no 21) e aqui está atrás (no 12).

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42

43 44 45 46 47

48 4

Outro dia uma criança me falou que o maior era este (9) porque aqui havia um 2 e um 1 (21). E o nove é maior do que o 2 e o 1.

Depois eu conto. Primeiro diga o que pensa sobre o que falou a criança.

Ah, ah, ah! Quantos anos tinha essa criança?

Nada a ver. A criança tinha 1 ano! Por quê? Porque o que têm a ver o 2 e o 1! Se eles formam um número só. Formam um número só? É sim. Por exemplo, 100 são três números e formam um número só. ➁

RECORTE E COLECIONE

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

no número 100 existem dez dezenas. A familiarização das crianças com o sistema de numeração também deve ser estimulada na forma dos diferentes por- tadores numéricos que existem no coti- diano, como calendários, fitas métricas, tabelas de álbuns de figurinhas e outros materiais que permitam reconhecer a regularidade desse sistema. O que fun- ciona muito bem é fixar um quadro nu- mérico na sala de aula (leia a atividade Tabela Numérica na pág. 66) , objeto que pode fazer parte do contexto escolar da criança. As atividades devem ser plane- jadas com o intuito de propor situações problema envolvendo leitura e escrita numérica. Os alunos precisam ser esti- mulados a solucionar conflitos decor- rentes desse exercício. Qualquer atividade feita com a tur- ma precisa prever a discussão no fim. Nessa ocasião, além de explicitar as idéias, a criança precisa de uma chance para co- locá-las em prática junto ao grupo. Es- se é um dos momentos de maior pre- sença do professor: cabe a você relacio- nar as hipóteses apresentadas pelos alu- no de maneira a explicitar conflitos. Ou seja, é essencial problematizar a situa- ção e ajudar a analisar e validar as teses mais eficientes que forem apresentadas. Essas etapas podem ser observadas nos relatos de atividades de duas professo- ras, uma de São Paulo e outra de Salva- dor, entre as págs. 70 e 72.

Muitas maneiras de organizar os números O sistema usado por nós é posicional: o valor de cada símbolo depende do lugar que ele ocupa na escrita. Isso o torna mais econômico, já que com poucas notações é possível escrever qualquer número. Os sistemas aditivos e subtrativos são mais perdulários. Veja o romano, em que os algarismos são representados por letras:

1223, por exemplo, fica assim:

(Qualquer semelhança com a escrita da criança — 1000200203 — talvez não seja mera coincidência, pois é uma maneira de organização numérica lógica!) O sistema egípcio, mais antigo, guardava certa semelhança, mas usava hieróglifos para representar potências de10:

Os valores eram expressos pela repetição dos símbolos. Como ficaria então o mesmo 1223? (Os números egípcios podiam ser escritos da direita para a esquerda e da esquerda para a direita, ou na vertical). 1223, então, fica assim:

Outra característica do nosso sistema é ser organizado em base10 – cuja origem deve estar provavelmente nas contagens que os homens primitivos faziam com os dedos. Mas também existem sistemas em base12 ou em 20.

A escolha da base duodecimal por alguns povos tem suas justificativas na natureza. Pode ter sido inspirada no número aproximado de voltas que a Lua dá em torno da Terra durante a translação do planeta em torno do Sol, na soma das falanges dos dedos de uma mão, sem contar o polegar, ou na soma de todos os dedos das mãos mais dois pés. Esse sistema serviu para definir a divisão do dia em horas (12 para o dia e 12 para a noite), grandezas como dúzia e medidas como o pé (12 polegadas).

Menos conhecido por nós é o sistema vigesimal (base 20), que deve ter origem parecida com o de base 10 (nesse caso, somam-se os dedos dos pés e das mãos). Ele está presente na forma como os franceses denominam os números: para 80, eles dizem quatre vingt (quatro vinte), para 90, quatre vingt dix (quatro vinte dez).

(^66 67 68 69 70 ) (^72 73 74 75 76 ) (^78 79 80 81 )

➀CÉLLUS

I V X L C D M um cinco dez cinqüenta cem quinhentos mil

um dez cem mil dez mil cem mil um milhão ou infinito

M C C X X I I I

QUER SABER +?

EXCLUSIVO

ON - LINE Leia a íntegra da entrevista de Suzana Wollman e Maria Emilia Quaranta, confira os vídeos de atividades feitos no Programa de Formação em Matemática e brinque com jogos numéricos em www.novaescola.org.br

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BIBLIOGRAFIA (^) Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas, Cecilia Parra e Irma Saiz (orgs.), 258 págs., Ed. Artmed, tel. 0800-703-3444, 42 reais (^) Ensinar Matemática na Educação Infantil e nas Séries Iniciais – Análises e Propostas, Mabel Panizza e colaboradores, 188 págs., Ed. Artmed, 40 reais