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SISTEMAS COMPLEXOS
EM
ECONOMIA E BIOLOGIA
Prof. Dr. Gerson Francisco Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista
Resumo Descreveremos atividades de físicos no estudo das flutuações de taxas, índices e preços de ativos nas economias de mercado. O conjunto dessas investigações tem-se intensificado nos últimos anos e é conhecida por Econofísica. Uma outra área de pesquisa usando métodos desenvolvidos na física e na matemática aplicada é a análise, classificação e modelagem de séries temporais não lineares. Esse tema será abordado no contexto de dados empíricos em finanças e biologia.
Curso de Extensão Universitária-Julho de 2002
PARTE I
ECONOFÍSICA
2. DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DE
DADOS FINANCEIROS
OBJETIVO. Descrever as flutuações estatísticas nos preços de ativos, índices e taxas
TEORIA PADRÃO. Assume que os retornos
logarítmicos de preços, entre as datas t e t + τ, sejam
i.i.d. e estejam distribuídos normalmente:
r τ ( t ) = log x ( t +τ)− log x ( t )
O Teorema Central do Limite fornece a ferramenta matemática para esse tipo de afirmação (Soma de VAs iid possui distribuição Gaussiana; teoria dos erros, etc)
DADOS EMPÍRICOS. A quantidade de dados disponíveis atualmente não confirma a suposição da teoria padrão. A Figura mostra a distribuição dos incrementos nos valores da taxa de câmbio U$/DM
para intervalos τ = 5 minutos. O contraste com a
distribuição Gaussiana é claro. Existe um pico pronunciado e a distribuição apresenta cauda mais “pesada” (cauda “gorda” ou fat tail ) do que no caso Gaussiano; a kurtose é 74 contra 0 para distribuições normais
3. INVARIÂNCIA DE ESCALA E
LEIS ESTÁVEIS
GENERALIZAÇÃO DO TCL. Uma propriedade importante das distribuições Gaussianas, que pode ser estendida para situações muito mais gerais, é a estabilidade. Diz-se que uma família de variáveis iid possui distribuição estável se a soma delas possuir a mesma distribuição das variáveis individualmente. A família de todas essas distribuições é conhecida por distribuições estáveis de Lévy , das quais a Gaussiana é um caso particular. Dessa família somente a Gaussiana possui variância finita. Além disso, não há em geral uma fórmula fechada para essas distribuições.
PROPRIEDADES. A soma de incrementos dos preços pode agora ser descrita por uma distribuição de Lévy. Elas são caracterizadas por um índice de
estabilidade μ ∈( 0 , 2 ]. A distribuição Gaussiana
possui μ =2 e variância finita. Todas as demais
possuem variância infinita, o que dificulta muito o seu uso. A expressão assintótica para a cauda nesse caso é
μ (^ )≈^ ( 1 + s ) 1 + μ
C
p s
donde se verifica que o segundo momento diverge. Uma propriedade adicional da família de distribuições estáveis é a invariância de escala do intervalo temporal
τ τ
s
PN s P
onde λ^ μ
1
= N. Essa relação significa que o processo
de preços é auto-semelhante ( self-similar ) com um expoente que é o inverso do índice de estabilidade.
PARTE II
SÉRIES TEMPORAIS
NÃO LINEARES
6. FERRAMENTAS PARA
DIAGNÓSTICO
Estatística BDS Estatística de Kaplan Dimensão Entropia Complexidade de Lempel-Ziv Diagramas de Recorrência Estatística RS Nível de Previsibilidade Causalidade
7. ANÁLISE
Parâmetros e Ambig ü idades. Pode ocorrer que os diversos parâmetros impliquem em conclusões contraditórias (ninguém disse que ia ser fácil!). Nunca se deve usar um único método para chegar qualquer tipo de conclusão
8. CLASSIFICAÇÃO
Linear/Não Linear Determinístico/Estocástico Estacionário/Não Estacionário Gaussiano/Não Gaussiano Sem Memória/Com Memória
9. MODELAGEM
Sistemas Caóticos Redes Neurais Cluster Weighted Modelling Modelagem Estocástica Não Paramétrica
10. PREVISÃO
Ainda que se chegue a algum tipo de classificação, a previsão poderá ser inaceitável por vários motivos. O nível de ruído pode ser tão elevado que os métodos de filtragem descaracterizariam completamente o sistema. Além disso, a série empírica poderá ter um tipo de não estacionaridade que não seja possível detectar, e muito menos remover.
