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Precursores do Sistema Indo-Árabe
Tipologia: Notas de estudo
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Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Ensino da Matemática
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Ao Professor Doutor Carlos Manuel Monteiro Correia de Sá manifesto a minha profunda gratidão pela disponibilidade, pelo posicionamento crítico, pelo incentivo e pela compreensão que me concedeu ao longo da concretização deste estudo.
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Nos capítulos II, III e IV apresentam-se os sistemas de numeração babilónico, ático e hindu, analisam-se as concepções que essas civilizações tinham do número e estudam-se as principais características de cada um destes sistemas. Apresentam-se ainda os anexos I e II destinados, respectivamente, a uma abordagem sucinta do sistema hieroglífico egípcio e do sistema romano.
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NUMERICAL SYSTEMS PRECURSORS OF THE INDO-ARAB SYSTEM Fernando Manuel Mendes de Brito Almeida Master Dissertation Oporto University, 2007
ABSTRACT
The notion of number and its extraordinary generalisations are intimately connected to the history of humanity. In all periods of the human evolution, even in the remotest ones, we find out that Man already had the sense of the number. That skill allows him to recognise that when an object is taken from or added to a small collection, something changes, even if He hasn’t witnessed that alteration directly. The numerical systems, the development of the number concept and the practices of calculation and measurement will be undoubtedly associated with the course of history (Cousquer, 1992). In reality, numbers are so familiar to us that we rarely think of how they have appeared (Crossley, 1987). But as Robson (2001) refers, we should no longer be seduced into thinking that simple mathematics necessarily has a simple history. We will begin a route throughout the history of some of the numerical systems, convinced that the history of sciences will open up closed minds about our disciplines and about our time, founding surely one culture (Serres, 1991). In this work we will bring out a descriptive analysis of some of the numerical systems precursors of the Indo-Arabic system, namely, the Babylonian, the Egyptian hieroglyphic, the Attic, the Roman and the Hindu ones. In this route through some of the most fascinating stages of the mathematical thought, we will be able to realise that the discovery of the place-value notation eluded the majority of peoples in history (Ifrah, 1994). In fact, such did not occur in Greek mathematics but it did in the Indian subcontinent, arriving in Europe only some centuries later (Flegg, 1974a). In chapter I a brief framing of the number concept and numeration in the course of the mathematics history will take place.
vii
Índice
AGRADECIMENTOS ii APRESENTAÇÃO iii ABSTRACT v ÍNDICE vii
CAPÍTULO I – A IMPORTÂNCIA DA NUMERAÇÃO 1
2.1. Contexto histórico e geográfico 2.2. Sistemas de numeração na Mesopotâmia 2.2.1. A numeração suméria 2.2.2. O sistema babilónico 2.3. Características do sistema posicional babilónico 2.3.1. A ausência do zero 2.3.2. Os números fraccionários 2.3.3. A ausência da vírgula 2.3.4. O carácter aditivo no interior de cada ordem de unidades 2.3.5. Outras características
3.1. Contexto histórico e geográfico 3.1.1. O alfabeto grego 3.1.2. Períodos e fontes da matemática grega
viii
3.1.3. Concepções 3.2. Os números na Matemática Grega 3.2.1. Sistemas de numeração usados pelos gregos 3.2.2. Os incomensuráveis 3.2.3. O misticismo numérico 3.3. Caracterização do sistema ático 3.3.1. Os sistemas monetários 3.4. Os problemas e as limitações do sistema
4.1. Contexto histórico e geográfico 4.1.1. A escrita 4.2. Matemática: algumas considerações gerais 4.3. Os números na matemática hindu 4.3.1. Os numerais kharosthi 4.3.2. Os primeiros sistemas brahmi 4.4. O sistema posicional hindu 4.5. Considerações adicionais
I.1. A escrita na civilização egípcia I.2. O sistema de numeração hieroglífico I.3. Os sistemas de escrita posteriores ao hieroglífico
II.1. O sistema de numeração II.2. Os princípios aditivo e subtractivo
descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, que só um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que logo de seguida surjam outras hesitações, outras dúvidas, outras contradições. (Caraça, 1998, p. xxiii) Ainda segundo este mesmo autor, encarada desta forma, a ciência aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinado às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação (p. xxiii). Sendo o processo de contagem uma das duas grandes problemáticas características da matemática (a outra problemática seria a das situações espaciais) (Bkouche, 2000), é nossa intenção fazermos o estudo de alguns sistemas de numeração precursores do sistema indo-árabe. Coloca-se aqui a questão de sabermos por onde e como começar. Estaremos no entanto cientes que os
sistemas de numeração, as práticas de cálculo, as práticas de medição e o desenvolvimento do conceito de número estão ligados ao curso da história. Estão igualmente ligados às concepções místicas sobre os números, os cálculos astrológicos e cálculos astronómicos. (Cousquer, 1994, p. 4) Ao examinarmos os sistemas de numeração estaremos também a ter uma percepção do desenvolvimento do conhecimento matemático, a possibilidade de analisar os procedimentos utilizados, conhecer a utilização que era dada à matemática e o tipo de problemas que foram importantes para os nossos antepassados. Estaremos assim conscientes da importância da informação que nos é transmitida pelos velhos textos matemáticos.
Eles fornecem-nos uma visão da cultura e da época em que foram escritos e dão-nos pistas das forças que moldaram e controlaram as preocupações matemáticas (Swetz, 2000a, p. 11). Na opinião de D`Ambrósio (citado em Saraiva, 1999), a matemática é e permanecerá uma ciência da demonstração. É bom, porém, não esquecer que “são as épocas e os lugares que impõem o grau e o rigor da formalização” (p. 10).
1.1. A história da escrita versus a história da numeração
Será possível imaginarmos uma estrutura do pensamento anterior à escrita? Seria certamente um pensamento alicerçado na memória, a qual se organizaria de forma a se
perpetuar sem o auxílio do suporte escrito (Santillana, 1961). E até que a escrita se desenvolvesse, as narrativas disseminaram-se, difundindo desta forma as informações relativas ao conhecimento.
Estamos tão habituados a encarar os sistemas modernos de escrita como reflexões da língua falada , que pode ser salutar lembrarmo-nos que no começo isso não se passou assim. Para que uma sociedade desenvolva uma matemática que vá para além do simples cálculo, é necessário um suporte material de uma espécie ou outra. Sem escrita, as limitações da memória humana restringem o grau de sofisticação numérica que pode ser atingido. (Ritter, 1991a, 49)
Óscar Lopes lembra-nos que
a lógica linguística e a lógica matemática não são duas lógicas diferentes, mas dois graus ou usos (variavelmente eficazes) duma mesma lógica cuja identificação se está progressivamente fazendo desde há dois milénios e meio, pelo menos. (Óscar Lopes citado em Reis, 2000, p. 11) No entanto, haverá aqui também uma necessidade da história da numeracia , (Netz, 2002), lado a lado, e complementando o campo da história da literacia.
A história da numeracia deve ser vista como parte da história cognitiva: o estudo de práticas culturais específicas, nas quais as universais habilidades cognitivas do homem são reunidas e conjuntamente implementadas com a ajuda de ferramentas e tecnologias específicas (Netz, 2002, p. 1). É pois fundamental o reconhecimento de conceitos abstractos e paralelamente o desenvolvimento de uma linguagem adequada. Paulos (1991) fala-nos num analfabetismo matemático que se traduz pela incapacidade de uma pessoa lidar com as noções fundamentais dos números.
O conhecimento do significado dos números num dado contexto constitui uma componente da literacia quantitativa que envolve uma matemática activamente relacionada com o mundo que nos rodeia (Brocardo, 2005, p. 18). A introdução da escrita e das numerações escritas determinam um passo primordial na história da matemática.
Constitui um progresso crucial a introdução de uma ideografia que permita cálculos com os números, cada vez maiores, o que seria impossível oralmente (Cousquer, 1994, p. 4). A introdução dos símbolos numéricos ocorreu, aparentemente, simultaneamente com a escrita (Aleksandrov, 1982).
Primeiro apareceram os números relacionados com objectos concretos, logo os números abstractos e finalmente o conceito de número em geral, de qualquer número possível. Cada um destes conceitos surgiu por combinação da experiência prática e de conceitos abstractos anteriores. (Aleksandrov, 1982, p. 35) Poderemos assinalar duas etapas diferentes na evolução do conceito de número. Numa primeira fase possuía-se um determinado tipo de numeração escrita e recorreu-se a ela nos processos de contagem. Numa segunda fase reconheceu-se o conceito de número e estudaram-se as suas propriedades. Este último desenvolvimento surgiu muito mais tarde (Devlin, 1998). Na opinião de Crossley (1987) a maior parte dos matemáticos, e a população em geral, sustentam que os números têm um estatuto intemporal. Ainda segundo o autor, é essa visão que devemos desafiar, pois
enquanto que toda a gente concorda que falar sobre os números depende do estado do nosso conhecimento, parecerá, (…) no entanto, que aquilo que um número é, e que números existem num determinado momento da história, também depende do estado de conhecimento nessa época e daquilo que os seres humanos fizeram (p. 1). Possuir o sentido de número implicará “perceber que os números podem ser usados em diferentes contextos e com diferentes significados" (Serrazina, 2005, p. 30). Segundo Stewart (1995), os números estão ligados de forma tão próxima à realidade, que temos tendência a pensar neles como qualquer coisa única e quase física. Só após uma análise mais profunda, se torna claro que são uma invenção do espírito humano, “um método através do qual o nosso cérebro consegue modelar certos aspectos da natureza. Eles próprios não são a natureza.” (p. 46)
1.3. Os sistemas de numeração
A exiguidade de registos numéricos efectuados pelos primeiros indivíduos terá sido uma consequência natural de uma necessidade diminuta. Porém o incremento da troca de bens nessas sociedades terá exigido que algum tipo de registo de contagem fosse utilizado (Kline, 1982).
É provável que a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum método de registo simples, empregando o princípio da correspondência biunívoca (Eves, 1997, p. 26).
Nos seus primeiros registos numéricos o homem terá recorrido a incisões ou traços mas, no entanto, rapidamente se deparou com as limitações de tal procedimento. Todavia, dos esforços para se efectuarem registos permanentes, vários sistemas de numeração escritos foram emergindo.
Os números não aparecem como entidades separadas, mas como um sistema com as suas relações mútuas e as suas regras (…) De facto, as propriedades de um dado número residem precisamente nas suas relações com outros números. (Aleksandrov, 1982, p. 27) O conceito elementar de número não evoluiria sem que um instrumento simbólico adequado, um sistema de numeração, fosse criado. Quando se tornou necessário efectuar contagens mais extensas, o processo de contar foi sistematizado.
O homem possui aquilo a que poderemos chamar iniciativa simbólica, isto é, ele pode atribuir símbolos para representar objectos ou ideias, estabelecer relações entre eles e operar com eles num nível conceptual (Wilder, 1968, p. 4). Os números foram dispostos em grupos precisos, sendo a ordem de grandeza desses grupos determinada em grande parte pelo processo de correspondência utilizado (Eves, 1997). Neste processo a solução passou por privilegiar um agrupamento particular, adoptando-se um número b como base. A sequência regular dos números foi então organizada segundo uma distribuição hierarquizada fundada nessa base.
Em termos não muito formais, mas suficientemente descritivos, diremos que “base” é o número de unidades que se convenciona tomar para com elas construir uma unidade maior, de ordem imediatamente superior, num processo que, em princípio, se pode repetir até ao infinito (Nogueira, 2001, p. 39). As principais bases utilizadas, ao longo da história, foram as bases 2, 5, 6, 10, 12, 16, 20, 24, 60 (Cousquer, 1994). A partir daqui o conteúdo do conceito de número assentará não só nos preceitos de cada cultura específica, como também nas relações mútuas que ocorrem dentro do sistema de números. Mas, a maioria dos sistemas utilizados no decurso da história evidenciavam diversas dificuldades estruturais. Um desses obstáculos residiu na representação de valores elevados. No entanto, a existência de símbolos para valores superiores à base permitiu a esses sistemas atenuar as dificuldades colocadas pela ausência de unidades
Nesta linha de raciocínio, o National Council of Teachers of Mathematics (2003) enfatiza a importância da perspectiva histórica no ensino da matemática. Defende, assim, que aos estudantes devem ser proporcionadas experiências relacionadas com a evolução científica e histórica da matemática de forma que eles respeitem o papel da matemática no desenvolvimento na sociedade contemporânea.
Questões colocadas há centenas, senão milhares de anos atrás, podem ser compreendidas, apreciadas e respondidas nas nossas aulas (Swetz, 2000b, p. 65). Fauvel (1997) refere a importância de explorar processos que ajudem o ensino da matemática, tornando-o mais rico, variado e eficaz. Referindo-se ao envolvimento de experiências históricas em actividades de sala de aula, Swetz (1997) aponta-as como actividades que poderão proporcionar aos alunos uma participação mais activa e permitir que façam eles próprios algumas descobertas. Também para Eves (1997), o recurso à história permitirá a aquisição de perícia e ajudará os alunos a construir conceitos. Ainda na opinião do autor, um aluno poderá compreender e apreciar melhor os sistemas de numeração, se os trabalhar de uma forma efectiva.
As características do nosso sistema decimal, com as suas vantagens e as suas desvantagens, ficarão mais explícitas quando contrastadas com as de outros sistemas (Bruckheimer, 2000, p. 140). Há todo um conjunto extraordinário de possibilidades intelectuais que resultam do olhar interrogativo sobre os nossos conhecimentos em história. Convém no entanto não esquecermos que há um axioma que nos diz que
a história de uma determinada matéria não pode ser devidamente apreciada sem que se tenha pelo menos um razoável conhecimento da própria matéria. (…) É interessante e pertinente que, reciprocamente, seja impossível uma apreciação verdadeira de um ramo da matemática sem algum conhecimento da história desse ramo, pois a matemática é, em grande parte, um estudo de ideias, e uma apreciação autêntica das ideias não é possível sem uma análise das suas origens. (Eves, 1997, p. 17) Assim sendo, o conhecimento e a cultura matemática de que os professores possam ser portadores irá indubitavelmente influenciar, segundo Ponte (1992), o seu estilo de ensino.
“Leuconnoé, não procures, seria uma desgraça sabê-lo, que fim os Deuses nos reservam a ti e a mim; nem interrogues também os números babilónicos…” Horácio (citado em Guimarãis, 1972, p. 23)
2.1. Contexto histórico e geográfico
Vamos descrever, sumariamente, os contextos históricos e geográficos onde a civilização Mesopotâmia emergiu, dando desta forma um teor à matemática desenvolvida no decorrer desta civilização (Robson, 2000), conscientes de que esses factores moldaram, de certa forma, cerca de cinco milénios de expansão da matemática.
(Mapa extraído de Blanchon, 1996, p. 23)
para um sistema sexagesimal. Segundo Høyrup (1994) a propagação deste sistema de contagem rapidamente foi implementada em toda a administração do império, o que constitui por si só um facto histórico raramente alcançado. E assim nasceu a escrita. Na opinião de Powell (1976) já existiram evidências de notações numéricas cerca de 3000 a.C. O número de escolas de escribas já seria significativo por volta de 2500 a.C., tão inúmeras eram as tarefas exigidas pelo complexo sistema burocrático implementado.
A escola de escribas e a profissão de escriba parecem estar associadas às suas funções de serviço ao Estado, de forma que daqui não resultou um interesse na matemática, apesar das habilidades matemáticas demonstradas. (Høyrup, 1994, p. 5) Agora, transacções comerciais, e em particular operações aritméticas, podiam ser registadas. Os registos escritos eram feitos com um estilete em forma de cunha em pequenas placas de barro húmido, as quais eram posteriormente expostas ao Sol para secarem, assegurando-se assim a sua conservação (Flegg, 1974a; Lafforgue, 1979). Foram encontradas milhares dessas placas e provavelmente muitas ainda não foram descobertas. Apresentamos de seguida as imagens das diferentes perspectivas de uma placa babilónica do Museu de Istambul.
Fig. 2.1. – (imagens extraídas de Høyrup, 1982, p. 26).
No conjunto de placas já descobertas e decifradas, constatou-se que algumas centenas delas têm um conteúdo matemático. Porém, ainda há milhares de placas por decifrar (Estrada, 2000b). Na origem da decifração da escrita cuneiforme, que ocorreu no séc. XIX, esteve um diplomata inglês e assiriologista, Sir Henry C. Rawlinson, que o conseguiu em
