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Sistemas lineares. È toda equação que possuem variáveis e apresenta na seguinte forma:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n = b
a1, a2, a3, ... – São coeficientes reais. x1, x2, x3, ... – Variáveis (incógnitas) por (x, y, z, w...). b – Representa o termo independente
Podemos associar as matrizes como
Matriz completa;
Matriz incompleta
Exemplo 1.
X + Y = 3 - 1º. Equação – Variável (X, Y) X – Y = 1 - 2°. Equação – Variável (X, Y) Sistema linear com duas equações e duas variáveis. Solução do Problema: Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado ( 2 , 1 ), pois ele satisfaz as duas equações: x = 2 , y = 1. Substituindo: X + Y = 3 - 1°. Equação | X – Y = 1 - 2°. Equação 2 + 1 = 3 2 - 1 = 1
Exemplo 2 X - Y - Z + W = 10 | 1°. Equação – Variável (X, Y, Z, W) 2X + 3Y + 5Z - 2W = 21 | 2°. Equação – Variável (X, Y, Z, W) 4X - 2Y - Z + W = 16 | 3°. Equação – Variável (X, Y, Z, W) Sistema linear com três equações e quatro variáveis. Exemplo 3 2X + 5Y - 6Z = 24 | 1°. Equação – Variável (X, Y, Z) X - Y + 10Z = 21 | 2°. Equação – Variável (X, Y, Z) Sistema linear com duas equações e três variáveis. Exemplo 4 2X + 2Y + 2Z = 20 | 1°. Equação – Variável (X, Y, Z) 2X - 2Y + 2Z = 8 | 2°. Equação – Variável (X, Y, Z) 2X - 2Y - 2Z = 0 | 3°. Equação – Variável (X, Y, Z) Sistema linear com três equações e três variáveis. Podemos dizer que esta equação é um trio ordenado ( 5 , 3 , 2 ) é a solução do sistema. 2( 5 ) + 2( 3 ) + 2( 2 ) = 20 | 1°. Equação – Variável (X, Y, Z) 2( 5 ) – 2( 3 ) + 2( 2 ) = 8 | 2°. Equação – Variável (X, Y, Z) 2( 5 ) – 2( 3 ) – 2( 2 ) = 0 | 3°. Equação – Variável (X, Y, Z)
Solução 2.
2 + 1 = 3 - 1°. Equação – Variável (X, Y) 2 – 1 = 1 - 2°. Equação – Variável (X, Y)
SPI – “Sistema Possível e Indeterminado” – possui
infinitas soluções.
Possui infinitas soluções, os valores “x, y” assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir.
Exemplo 1.
A equação pode assumir vários valores: (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e etc. X + Y = 8 - 1°. Equação – Variável (X, Y) 2X + 2Y = 16 - 2°. Equação – Variável (X, Y)
SI – “Sistema Impossível” – não possui solução.
Exemplo 1.
Ao ser resolvido, não é encontrado nenhuma solução possível para as incógnitas ao mesmo tempo, esse tipo de sistema é classificado como impossível. X + Y = 9 - 1°. Equação – Variável (X, Y) X + Y = 5 - 2°. Equação – Variável (X, Y)
Exemplo 2.
X + Y = 10 - 1°. Equação – Variável (X, Y) -X - Y = 10 - 2°. Equação – Variável (X, Y)
Regra de Cramer
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear. É utilizada apenas quando o: “números de equações” = numero de incógnitas Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
