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CONDUÇÃO
A condução caracteriza-se pela presença de um gradiente de temperatura em um determinado sistema ou entre sistemas em contato entre si, processo pelo qual a energia se propaga por calor através da matéria, predominante na fase sólida, onde as vibrações moleculares se elevam com a temperatura fazendo com que o calor flua da região de temperatura mais alta para a região de temperatura mais baixa. O processo de transporte de energia é denominado transmissão de calor.
A equação básica para transmissão de calor condução foi proposta por Jean
Baptista Fourier, em 1822, onde a taxa de calor transmitido por condução 𝑄 é proporcional ao gradiente de temperatura 𝑑𝑇 𝑑𝑥 , dada por:
A temperatura local é T(x) e x é à distância no sentido do fluxo de calor. O fluxo de calor depende da condutividade térmica k que consiste em uma propriedade do meio. Admitindo a transmissão de calor por condução em um meio homogêneo, o fluxo é:
𝑄 = −𝑘 𝐴 𝑑𝑇𝑑𝑥
onde: 𝑄 → fluxo de calor por condução 𝑘𝑐𝑎𝑙 ,^
,^ 𝑊
k → coeficiente de condutividade térmica do material 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚 °𝐶 ,^
𝑓𝑡 °𝐹 ,^
A → área de troca de calor 𝑚^2 , 𝑓𝑡^2 𝑑𝑇/𝑑𝑥 → gradiente térmico °𝐶 𝑚 ,
𝑓𝑡 ,^
O coeficiente de condutividade térmica ( k ) depende do material, através do seu valor podemos classificar os materiais em condutores e isolantes. Os metais possuem um alto valor para k , conseqüentemente são classificados como condutores, enquanto que os menos densos (cortiça, lã de rocha etc.) são classificados como isolantes, pois possuem um valor de k baixo.
Na maior parte das substâncias o coeficiente de condutividade térmica depende da temperatura, conforme função abaixo:
Admitiremos um sistema onde o fluxo de calor e área de troca de calor são constantes. Aplicando a equação de Fourier para essa configuração, integrando o primeiro membro, temos:
𝑄 = −𝑘 𝐴 𝑑𝑇𝑑𝑥
𝐴 𝑑𝑥^ =^ −𝑘^ 𝑑𝑇^ →
𝑥 2
𝑥 1
𝑇 1
𝑇 2
(I)
Consideraremos o coeficiente de condutividade térmica k constante, mas na prática o coeficiente de condutividade térmica é um valor médio 𝑘𝑚 , portanto consideraremos k como 𝑘𝑚 :
𝐴 𝑥^2 − 𝑥^1 =^ 𝑘^ 𝑑𝑇
𝑇 1
𝑇 2
→ 𝑄𝐴 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝑘𝑚 𝑇 1 − 𝑇 2 (II)
Substituindo (I) em (II) temos:
𝑘 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑎 0 °𝐹 𝛽 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝛽 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑟𝑎𝑡á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝛽 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑒 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑔𝑎𝑠
𝐴 𝑥^2 −^ 𝑥^1 =^ 𝑘𝑚^ 𝑇^1 −^ 𝑇^2 →^ 𝑘𝑚^ 𝑇^1 −^ 𝑇^2 =^ 𝑘^ 𝑑𝑇
𝑇 1
𝑇 2
𝑘𝑚 𝑇 1 − 𝑇 2 = 𝑘 𝑑𝑇
𝑇 1
𝑇 2
𝑘𝑚 = ∆^1 𝑇 𝑘 𝑑𝑇
𝑇 1
𝑇 2
Desenvolvendo a integral:
𝑄 𝑙𝑛 𝑟 𝑟 𝑟^21 = 𝑘 2 𝜋 𝐿 𝑇 𝑇 𝑇^12 → 𝑄 𝑙𝑛 𝑟 𝑟^21 = 𝑘 2 𝜋 𝐿 (𝑇 1 − 𝑇 2 )
𝑄 = 𝑘^2 𝜋^ 𝐿^ (𝑇^1 − 𝑇^2 )
𝑙𝑛 𝑟 𝑟^21
𝑛𝑖=1 𝑇 𝑖
∴ 𝑄 = (𝑇 11 − 𝑇^2 )
Efeito Combinado (Condução e Convecção) em Paredes Cilíndricas
Estudando os fenômenos de transferência de calor entre um fluido e uma superfície sólida, Jean Claude Péclet (1793-1857), observou que junto à superfície existia uma resistência térmica causada pela formação de uma película de fluido. A formação dessa película é produto da ação das forças viscosas em contato com a superfície sólida promovendo a retenção por absorção das moléculas de fluido em contato com a superfície.
Esse fenômeno foi equacionado por Newton em 1701 sendo esse princípio hoje aceito como lei, denominada lei básica da convecção de Newton, expressa abaixo:
𝑄 = 𝐴 ∆𝑇 onde: 𝑄 fluxo de calor por convecção 𝑘𝑐𝑎𝑙 ,^
,^ 𝑊
h coeficiente de convecção ou de película 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚^2 °𝐶 ,^
𝑓𝑡^2 °𝐾 ,^
𝑚^2 𝐾
A área de troca de calor 𝑚^2 , 𝑓𝑡^2 T diferença de temperatura provocada pela película [°𝐶, °𝐹, 𝐾 ]
Película
Superfície Sólida 𝑄
Supondo um sistema composto por um tubo de seção circular de comprimento L , com um fluido em contato com a face interna e outro fluido em contato com a face externa do tubo. A distribuição do perfil de temperaturas é T 1 > T 2 > T 3 > T 4.
Em uma parede cilíndrica, a área de troca de calor é diretamente proporcional ao raio, onde o raio r vária de r 1 a r 2. Como a película tem uma espessura infinitesimal, consideramos desprezível a variação do raio, portanto a área A 1 da película interna h 1 é diretamente proporcional o raio interno r 1 , analogamente a área A 2 da película externa h 2 ao raio r 2. Logo temos:
Calculando os respectivos fluxos de calor, temos:
𝑄 1 = 1 2 𝜋 𝑟 1 𝐿 𝑇 1 − 𝑇 2 (película interna) 𝑄 2 = 𝑇 12 − 𝑇^3 𝑘 2 𝜋 𝐿 𝑙𝑛
(parede cilíndrica)
𝑄 3 = 2 2 𝜋 𝑟 2 𝐿 𝑇 3 − 𝑇 4 (película externa)
Admitindo que o processo se dê em regime estacionário/permanente, o fluxo
de calor será único e constante, pois o fluxo de calor 𝑄 1 que flui através da película interna terá a mesma intensidade que o fluxo de 𝑄 2 que flui através da parede cilíndrica, portanto 𝑄 1 = 𝑄 2 = 𝑄 3 = 𝑄. Isolando as diferenças de temperatura e somando as equações, temos:
𝑇 1 − 𝑇 2 = 𝑄 (^1) 1 2 𝜋^1 𝑟 1 𝐿
𝑇 2 − 𝑇 3 = 𝑄 (^2) 𝑘 21 𝜋 𝐿 𝑙𝑛 𝑟 𝑟^21 𝑇 3 − 𝑇 4 = 𝑄 (^3) ^1 _________________________________________________________________^2 2 𝜋^ 𝑟^2 𝐿 Somando-se as equações 𝑇 1 − 𝑇 4 = 𝑄 (^) 1 2 𝜋^1 𝑟 1 𝐿 + (^) 𝑘 21 𝜋 𝐿 𝑙𝑛 𝑟 𝑟^21 + (^) 2 2 𝜋^1 𝑟 2 𝐿
r 1 h 1
r 2
h 2
T 1
T 2
T 3
T 4
A convecção forçada é ilustrada na figura abaixo, um sistema composto por uma placa plana aquecida a uma temperatura de superfície 𝑇𝑆. Escoa paralelamente a placa, um fluido a uma temperatura 𝑇∞. Admitiremos que 𝑇𝑆 > 𝑇∞ e 𝑈∞ representa a velocidade de fluxo livre.
Devido à ação das forças viscosas, a velocidade do fluido em contato com a superfície sólida será nula. Como o fluido em contato com a placa não se move, na interface o calor é transmitido por condução. Conhecendo-se o coeficiente de condutividade térmica do fluido e o gradiente térmico nessa interface, o fluxo de calor pode ser determinado a partir da equação de Fourier :
𝑒𝑚 𝑦=
O fenômeno é muito similar na convecção natural , a principal diferença é que na convecção forçada , a velocidade à medida que se distancia da placa plana aquecida aproxima-se do valor de curso livre imposto por uma força externa, enquanto na convecção natural , a velocidade a princípio aumenta com o aumento da distância da superfície aquecida e posteriormente diminui sensivelmente. Isso se deve à ação das forças viscosas diminuírem rapidamente à medida que se distancia da superfície aquecida, enquanto a diferença de densidade diminui lentamente. À medida que a densidade do fluido se aproxima do valor do fluido não aquecido ao redor, a força flutuante (empuxo) também diminui. Essa interação de forças fará com que a velocidade adquira um valor máximo e posteriormente tenda a zero em um ponto distante da superfície aquecida. A figura abaixo representa uma placa plana aquecida com um ângulo de inclinação β em relação ao plano horizontal,
Fluxo
𝑈∞ 𝑇∞
u (y)
Perfil de velocidade
Perfil de temperatura
T
(y)
onde está ilustrada a distribuição de velocidades e temperaturas na convecção natural.
Em síntese : A transmissão de calor por convecção depende da densidade, da viscosidade e velocidade do fluido além de suas propriedades térmicas (condutividade térmica e calor específico). Na convecção forçada , a velocidade é imposta ao sistema por meio de uma bomba, compressor ou ventoinha. A convecção natural depende predominantemente da diferença de temperatura entre a superfície e o fluido, da variação de densidade e da gravidade.
O fluxo de transferência de calor por convecção entre uma superfície em fluido pode ser calculada pela equação da Lei Básica da Convecção de Newton (1701):
𝑄𝑠 = 𝑐 𝐴 ∆𝑇
onde 𝑄𝑠 → fluxo de calor por convecção A → área de troca de calor ΔT → diferença de temperatura entre a superfície e o fluido (𝑇𝑆 − 𝑇∞ ) 𝑐 → coeficiente de convecção médio sobre a área A
Perfil de temperatura
Perfil de velocidade
No principio o escoamento na camada limite é totalmente laminar. À medida que o escoamento vai se desenvolvendo no sentido de x crescente, a espessura da
camada limite aumenta. Em alguma posição crítica tornam-se grandes o
suficiente, comparados com os efeitos do amortecimento viscoso, para produzir pequenas perturbações no fluxo. À medida que essas perturbações aumentam, a regularidade do fluxo viscoso é alterada e ocorre uma transição do escoamento laminar para o turbulento. Na região do escoamento turbulento, porções macroscópicas de fluido movem-se através das linhas de fluxo, transportando intensamente energia térmica e momento.
O número de Reynolds 𝑅𝑒𝑥 é o indicador adimensional que relaciona de forma quantitativa as forças viscosas e de inércia com a natureza do escoamento (laminar ou turbulento), definido como:
𝑅𝑒𝑥 = 𝜌^ 𝑈𝜇∞^ 𝑥
Como a viscosidade cinemática é = 𝜇/𝜌, temos:
𝑅𝑒𝑥 = 𝑈∞ ^ 𝑥
onde 𝜌 → densidade do fluido 𝑈 ∞ → velocidade de fluxo livre x → distância a partir da origem (borda da placa)
→ viscosidade cinemática do fluido
Como ilustra a figura acima, na faixa laminar o perfil de velocidade da camada limite é aproximadamente parabólico. Na faixa turbulenta, há uma fina camada próxima a superfície através da qual o perfil de velocidade e quase linear, denominada subcamada viscosa.
Camada-limite térmica
Admitiremos o escoamento de um fluido sobre uma superfície plana isotérmica. Na aresta frontal o perfil de temperaturas é uniforme, com T(y) =T , porém as partículas que entram em contato com o placa atingem o equilíbrio térmico na temperatura Ts da superfície da placa. Essas partículas trocam calor
com a camada de fluido adjacente e há o desenvolvimento de gradientes de temperatura no fluido. A região do fluido na qual há esses gradientes de
temperatura é denominada camada-limite térmica e sua espessura t(x) é definida
arbitrariamente como o valor de y no qual a relação abaixo é igual a 0,99:
𝑇𝑠 − 𝑇 𝑇𝑠 − 𝑇∞^ = 0, Com o aumento da distância da aresta frontal, os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na corrente livre e a camada-limite térmica cresce.
A qualquer distância x da aresta frontal, o fluxo de calor na superfície pode ser obtido pela lei de Fourier no fluido em contato com a superfície, em y=0 :
𝑄𝑠 𝐴 =^ −𝐾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
Lembrando da lei básica da convecção de Newton, temos:
𝐴 =^ 𝑐^ ∆𝑇^ =^ 𝑐^ 𝑇𝑠^ − 𝑇∞
Combinando as duas equações acima, obtemos:
𝑐 𝑇𝑠 − 𝑇∞ = −𝐾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜^ 𝑑𝑇𝑑𝑦
𝑦=
−𝐾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜^ 𝑑𝑇𝑑𝑦
𝑦= 𝑇𝑠 − 𝑇∞
Coeficientes convectivos ou de película local e médio
Para a grande maioria das aplicações em engenharia estamos interessados nos valores médios, logo se faz necessária a distinção entre o coeficiente de convecção local 𝑐 e o coeficiente de convecção médio 𝑐.
Camada-limite 𝑇(𝑦) térmica
Escoamento externo laminar e turbulento sobre superfícies planas.
A figura abaixo representa um fluido que escoa sobre uma superfície plana. Relembrando, no desenvolvimento do escoamento, as partículas do fluido que entram em contato com a superfície, sob a ação das forças viscosas passam a ter velocidade zero. Essas partículas agem no sentindo de retardar o movimento das partículas na camada adjacente do fluido, que agem para retardar o movimento na próxima camada e assim sucessivamente, até uma distância da superfície y=δ onde o efeito de amortecimento torna-se desprezível. Esse retardo do movimento do fluido é função das tensões de cisalhamento τ atuando nos planos paralelos a velocidade do fluido. Numa determinada seção, com o aumento da distância y a componente em x da velocidade do fluido u , aumenta até aproximar-se do valor da corrente livre u∞ , lembrando que o índice ∞ indica as condições na corrente livre externa à camada limite. À medida que o fluido escoa sobre a placa no sentido de x crescente (em relação a borda de ataque), os efeitos da viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre e a camada limite cresce nas seções subseqüentes.
A espessura da camada limite hidrodinâmica é representada pela variável C , definida como o valor de y (crescente) para qual u=0,99u∞. Os efeitos de atrito na superfície é função da tensão cisalhante superficial τs. Para escoamentos externos , o coeficiente de atrito local é dado por:
∞^2
𝑦=
Se as temperaturas entre a superfície e o fluido forem diferentes, uma camada limite térmica irá se desenvolver. Se considerarmos o escoamento sobre
Superfície plana
𝒙𝒄
Laminar Transição Turbulento
𝒚
(^0) x
𝑼^ 𝑼∞ ∞
(x)
Subcamada laminar
𝑼∞
amortecimento^ Camada de
turbulenta^ Região
𝒙
𝜹(𝒙)
𝜹(𝒙)
𝒖(𝒚) 𝒖(𝒚)
uma placa isotérmica onde a temperatura da superfície plana Ts é por força de hipótese maior que a temperatura de corrente livre do fluido T∞ , conforme ilustra a figura abaixo, na borda de ataque o perfil de temperaturas é uniforme ( T(y) =T∞ ). À medida que o escoamento se desenvolve, as partículas de fluido em contato com a superfície plana atingem o equilíbrio térmico na temperatura da superfície. Por sua vez, essas partículas trocam calor com aquelas na camada adjacente, e assim sucessivamente, desenvolvendo gradientes de temperatura. A região onde esses gradientes de temperatura se desenvolvem é a camada limite térmica, e sua espessura δt é definida como sendo o valor de y para o qual a razão (𝑇𝑠 − 𝑇)/ 𝑇𝑠 − 𝑇∞ = 0,99. Analogamente ao desenvolvimento da camada limite hidrodinâmica, os efeitos da transferência de calor penetram na corrente livre no sentido do escoamento, conseqüentemente, a camada limite térmica aumentará.
Na camada adjacente à superfície plana não há movimentação do fluido, logo a transferência de calor se dá por condução sendo que a qualquer distância x da borda de ataque o fluxo de calor local pode ser calculado pela equação de Fourier (1822) em y=.
𝑄𝑠 = −𝐾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝑑𝑇𝑑𝑦 𝑒𝑚 𝑦= Isolando a área, igualando-se a equação de Fourier com equação da lei básica da convecção de Newton (1701), temos:
𝑄𝑠 𝐴 =^ 𝑐^ ∆𝑇^ =^ 𝑐^ 𝑇𝑠^ − 𝑇∞^ →^ 𝑐^ =
−𝐾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜^ 𝑑𝑇𝑑𝑦
𝑦= 𝑇𝑠 − 𝑇∞ Em síntese, as condições na camada limite térmica que influenciam o
gradiente de temperatura na parede 𝑑𝑇𝑑𝑦 (^) 𝑦=0 determinam o fluxo de calor através da
camada limite.
A camada limite hidrodinâmica possui dimensão δ(x) , caracterizada pela
presença de gradientes de velocidade 𝜕𝑢𝜕𝑦 (^) 𝑦 e tensões de cisalhamento. Analogamente,
𝑻(𝒚)
Camada térmica-limite 𝑻(𝒚)
conseqüentemente aumentando o atrito superficial e o fluxo de calor por convecção. A mistura de fluidos oriunda das flutuações da velocidade faz com que a camada limite turbulenta fique com espessura maior rapidamente, e os perfis de velocidade e temperatura mais planos que no escoamento laminar.
A figura abaixo ilustra o desenvolvimento da camada limite hidrodinâmica (velocidade) em uma superfície plana. A camada limite é inicialmente laminar, em uma determinada distancia xc da borda de ataque pequenos distúrbios são ampliados e a transição para o regime turbulento começa a ocorrer. Na região de transição, pequenas flutuações do fluido começam a se desenvolver até a camada limite hidrodinâmica atingir a condição plena de turbulência. A região turbulenta é caracterizada pelo movimento tridimensional de parcelas macroscópicas do fluido altamente aleatório.
Conforme ilustra a figura abaixo, a transição para a turbulência é acompanhada por aumentos significativos na espessura da camada limite hidrodinâmica, na tensão de cisalhamento na interface placa/fluido e nos coeficientes de convecção (película).
Na camada limite hidrodinâmica turbulenta três regiões diferentes podem ser descritas, conforme ilustrado na penúltima figura acima. Uma subcamada laminar
Turbulento
𝑼∞ ; 𝑻∞
h;
Laminar; 𝒙𝒄 Transição
𝑻𝒔
h(x) (x)
𝒙
𝒖(𝒚) 𝒖(𝒚)
𝜹(𝒙)
𝜹(𝒙)
Laminar / 𝒙𝒄 Transição Turbulento
𝒚
(^0) x
𝑼∞
(x)
Subcamada laminar
𝑼∞
Camada de amortecimento
Região turbulenta
ou viscosa onde o transporte é dominado pela difusão e o perfil de velocidade característico é aproximadamente linear, uma camada amortecedora ou de amortecimento na qual a difusão e uma mistura turbulenta são comparáveis, e há uma zona turbulenta na qual o transporte é dominado pela mistura turbulenta onde o perfil de velocidades turbulento é relativamente plano devido a mistura que ocorre no interior da camada de amortecimento e da região turbulenta, dando lugar a grandes gradientes de velocidade na subcamada viscosa, produzindo geralmente tensões de cisalhamento superficiais maiores na porção turbulenta em relação a laminar. A transição do regime de escoamento laminar para o turbulento, em síntese, é função dos mecanismos de gatilho , ou seja, estruturas transientes do escoamento que se desenvolvem naturalmente no interior do fluido, ou pequenos distúrbios (rugosidade superficial, vibrações na superfície) que existem no interior das camadas limite típicas. A posição em relação à borda de ataque xc onde a transição acontece é determinada pelo número de Reynolds.
𝑅𝑒𝑥 = 𝜌𝑈𝜇∞ 𝑥= 𝑈∞𝜈^ 𝑥
Em nosso curso adotaremos o valor representativo de Rexc=5x10^5 como sendo o limite para transição do regime de escoamento laminar para o turbulento.
O número de Nusselt é uma relação entre o gradiente de temperatura no fluido imediatamente em contato com a superfície e o gradiente de temperatura de referência (Ts-T∞) /L. É uma medida conveniente do coeficiente de transmissão de calor por convecção, dada pela seguinte relação:
𝑁𝑢𝑥 = 𝐾𝑐^ 𝑥
O número de Prandtl vem de sua definição como razão entre a difusividade térmica de momento ν e a difusividade térmica. O número de Prandtl fornece uma medida da efetividade relativa dos transportes, por difusão, de momento e de energia no interior das camadas limite hidrodinâmica e térmica respectivamente. O número de Prandtl para gases é próximo a unidade, o que significa que as transferências de momento e de energia, por difusão, são comparáveis. Em metais líquidos Pr<<1 e a taxa de difusão de energia é muito superior à taxa de difusão de momento. Para óleos ocorre o oposto, pois Pr>>1. Com base nessas análises,
Para escoamentos turbulentos, de acordo com Schlichting, o crescimento da camada limite hidrodinâmica é mais influenciado pelas flutuações aleatórias no fluido do que pela difusão molecular, logo o número de Prandtl não desempenha papel importante no processo. A expressão da camada limite hidrodinâmica onde Pr>0,5 pode ser aproximada pela expressão:
𝛿 𝑥 = 0,37𝑅𝑒𝑥
−0,
Para Pr>0,5 , a espessura da camada limite térmica aproxima-se da camada limite hidrodinâmica, logo:
Sabemos que as propriedades do fluido variam com a temperatura através da camada limite e que essa variação influencia a taxa de transferência de calor. Essa influência será trabalhada por nós pela camada limite média de temperatura Tf , denominada temperatura do filme, dada pela expressão:
𝑇𝑓 = 𝑇𝑠^ + 2 𝑇∞
As demais relações empíricas para escoamento em superfícies planas ou ligeiramente curvas encontram-se expressas na tabela da pagina seguinte.
Equações empíricas para calculo dos fatores de atrito e dos coeficientes de transferência de calor no escoamento sobre superfícies planas ou ligeiramente curvas em um ângulo de ataque zero^1.
Coeficiente Equação Condições ESCOAMENTO LAMINAR
Coeficiente de atrito local 𝐶𝑓𝑥 = 0 , 664 𝑅𝑒𝑥^ −^0 ,^5 𝑅𝑒𝑥 < 5 𝑥 105
Número de Nusselt local a distância x da borda frontal
𝑁𝑢𝑥 = 0 , 332 𝑅𝑒𝑥^0 ,^5 𝑃𝑟^0 ,^33 𝑁𝑢𝑥 = 0 , 565 (𝑅𝑒𝑥 𝑃𝑟)^0 ,^5
𝑃𝑟 > 0 , 5 ; 𝑅𝑒𝑥 < 5 𝑥 105 𝑃𝑟 < 0 , 1 ; 𝑅𝑒𝑥 < 5 𝑥 105 Coeficiente médio de atrito 𝐶𝑓 = 1 , 33 𝑅𝑒𝐿^ −^0 ,^5 𝑅𝑒𝐿 < 5 𝑥 105
Número médio de Nusselt entre x=0 e x=L 𝑁𝑢𝐿^ =^0 ,^664 𝑅𝑒𝐿
0 , (^5) 𝑃𝑟 0 , (^33) 𝑃𝑟 > 0 , 5 ; 𝑅𝑒𝑥 < 5 𝑥 105
ESCOAMENTO TURBULENTO
Coeficiente de atrito local 𝐶𝑓𝑥 = 0 , 0576 𝑅𝑒𝑥^ −^0 ,^2
Número de Nusselt local a^ 𝑅𝑒𝑥^ >^5 𝑥^105 ;^ 𝑃𝑟^ >^0 ,^5 distância x da borda frontal 𝑁𝑢𝑥^ =^0 ,^0288 𝑅𝑒𝑥
0 , (^8) 𝑃𝑟 0 , 33
Coeficiente médio de atrito 𝐶𝑓 = 0 , 072 [𝑅𝑒𝐿^ −^0 ,^2 − 0 , 0464 𝑥 𝐿𝐶 ]
Número médio de Nusselt entre^ 𝑅𝑒𝑥 >^5 𝑥^105 ;^ 𝑃𝑟^ >^0 ,^5 x=0 e x=L , com transição em ReX,C=5x10^5
𝑁𝑢𝐿 = 0 , 036 𝑃𝑟^0 ,^33 (𝑅𝑒𝐿^0 ,^8 − 23200 )
1 Escoamento de baixa velocidade (número de Mach<0,5) de gases e líquidos com todas as propriedades físicas calculadas à temperatura média de filme.
Placas Planas
Escoamento Laminar 𝛿 = 5 𝑥
𝑅𝑒𝑥^ 1/^
Escoamento turbulento 𝛿𝑥 = 0,37𝑅𝑒𝑥−0,2^ ∴ 𝛿 ≈ 𝛿𝑇 𝑃𝑟 > 0,5 ; 𝑅𝑒𝑥 > 5𝑥 105
Número de Nusselt 𝑁𝑢𝑥 = 𝐾𝑐^ 𝑥 ; 𝑁𝑢𝑥 = 𝑐𝐾^ 𝐿
Número de Reynolds 𝑅𝑒𝑥 = 𝜌𝑈𝜇∞ 𝑥 ; 𝑅𝑒𝐿 = 𝜌𝑈𝜇∞^ 𝐿
Número de Prandtl 𝑃𝑟 = 𝑐𝐾𝑃^ 𝜇 = (^) 𝛼𝜈
𝐿
0
p/ L≫𝑥𝑐
𝑐 = 2 𝑐 (𝑥=𝐿) (laminar) 𝑇𝑓 = 𝑇𝑠^ + 2 𝑇∞ (temperatura média do filme)
