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Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP)
Nível intermediário
SOMATÓRIOS
Muitas vezes precisamos escrever somas de muitas parcelas, às vezes até infinitas delas e para isso usamos uma notação muito especial que facilita a nossa vida.
1. Notação: ∑
=
n
k
a a an ak 1
2. Propriedades de somatórios:
• Seja c uma constante real, então: ∑ ∑
= =
n
k
k
n
k
cak c a 1 1
Dem.: ∑ ∑
= =
n
k
n n k
n
k
cak ca ca ca ca a a c a 1
1 2 1 2 1
= = =
n
k
k
n
k
k
n
k
ak bk a b 1 1 1
Dem.:
= =
=
= ±
n
k
k
n
k
k
n n n n
n
k
k k
a b
a b a b a b a b a a a b b b
1 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1
∑ ±^ = ∑ ±∑
= = =
n
k
k
n
k
k
n
k
cak bk c a b 1 1 1
Dem.: Análoga às outras.
n
k
=
1
Dem.: k n n
n
k
n nvezes
k
= =
1
0 0 0 1
3. Técnicas para computar somas:
a-) Perturbação de somatórios:
Esta é uma técnica muito legal e prática e para ser usada devidamente é necessário que se ganhe um tempo estudando opções que melhor satisfaçam os problemas. Basta acrescentar ao somatório o próximo termo e assim reescrever o somatório de forma conveniente para que termos se cancelem e facilite o cálculo. Vamos ver alguns exemplos!!
Vamos calcular ∑. Como foi dito, temos que escolher o melhor somatório para perturbar, nesse caso
vamos perturbar a soma dos cubos.
=
n
k
k 1
2
= = = =
n
k
n
k
n
k
n
k
k n k k k k k 0
3 2 1
3 0
3 3 1
∑ + 3^ + 3^ +
=
n
k
k 1
3
=
n
k
k 1
2
=
n
k
k 1
=
n
k 1
=
n
k
k 1
(^3) n (^3) (^) + 3 n 2 + 3 n + 1 ⇒
=
n
k
k 1
(^2) n (^3) + 3 n 2 + 2 n
=
n
k
k 1
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Mas, ∑ é soma de P.A, assim, ∑ =
=
n
k
k 1 =
n
k
k 1 2
n ( n + 1 )
. Logo, 3 ∑ = - 3
=
n
k
k 1
(^2) n (^3) + 3 n 2 + 2 n 2
n ( n + 1 )
Então, ∑ =
=
n
k
k 1
2 6
2 n^3 + 3 n^2 + n .
Outro exemplo, vamos resolver ∑ Para isso, vamos perturbar
=
n
k
kk 1
=
n
k
k 1
∑ +^ + =∑ + = +∑ + = +∑ + = +∑ +∑^ ⇒
= = = = = =
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
k n k k k k kk k 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1
= = = =
k n kk k kk n
n
k
n
k
n
k
n
k
Treinando :
=
n
k
k k 1
2-) Prove que = 0.
2
1 1
3 ⎥
∑ −^ ∑
= =
n
k
n
k
k k
3-) Calcule o resto da divisão de ∑ por 2002.
=
n
k
k k k 1
(^2 31 )!
4-) Calcule ∑ ∑ em função de n.
= =
n
k
n
k
k k 1
2 1
3 (^2 2 )^22 ( 1 )
Desafio : Calcule por perturbação de somatórios ∑.
=
n
k
senkx 1
b-) Operador diferença:
Essa é uma técnica muito interessante e poderosa que resolve muitos tipos de somatórios. Basta descobrir uma função contínua no intervalo que compreende o intervalo da soma, que quando aplicado o
Δ f ( k )resulte no somatório que queremos calcular.
Def.: Δ f ( k )= f ( k + 1 )− f ( k ).
Calculando ∑ temos que:
=
n
k
f k 1
1
f k f n f
n
k
∑Δ = +^ −
=
Dem.: ( ) ( ( 1 ) ( )) ( () ( 1 )) ... ( ( 2 ) ( 1 ))= 1
f k f n f n fn f n f f
n
k
∑Δ = + − + − − + +^ −
=
f ( n + 1 )− f ( 1 ).
Observa-se então o porquê de essa ser uma técnica muito poderosa, temos uma fórmula pronta para resolver qualquer somatório, desde que se descubra uma função que quando aplicado o Δ f ( k )encontre-se a “cara” do
somatório que queremos. Vamos ver alguns exemplos: Vamos calcular o mesmo somatório anterior: ∑
=
n
k
kk 1
Solução: Seja f ( k )= k !assim,Δ f ( k )=( k + 1 )!− k !=( k + 1 ) k !− k != k !( k + 1 − 1 )= kk!
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Para o caso particular de x = 2 temos a seguinte expressão: 2 ( 1 ) 2 1 2. 1
=
n
n
k
k k^ n
Obs.: É bom ficar claro que , até porque não faz sentido o cálculo de uma soma em que todos os termos fossem zero pois o resultado seria trivial.
x ≠ 0
d-) Soma de números binomiais:
Esta técnica envolve um conhecimento prévio de raízes da unidade. Essa associação é usada, porque
temos algumas informações sobre os binomiais, por exemplo sabemos que (basta somar os
números das linhas do triângulo de pascal) e sabemos que na equação ,
= 0. Para a demonstração dessa propriedade, basta calcular o
somatório abaixo e para isso basta substituir x por
n k k
n 2 0
⎟⎟^ =
∞
=
Z n^ = 1 , Z ∈ C
0 1 2
Z n − = Z − Zn −^ + Zn − + + Z +
n
na expressão encontrada no exemplo de soma de
senos em PA e também no exercício proposto de soma de cossenos em PA. Acompanhe o raciocínio abaixo:
Vejamos: ∑ ∑ ∑ ∑
−
=
−
=
−
=
−
=
1
0
1
0
1
0
1
0
sin
cos
sin
cos
n
k
n
k
n
k
n
k n
k i n
k n
k i n
k n
k cis
sin 1 cos 2 sin 1 sin 2 n Z
n
sen
n n i
n
sen
n n = ∀ ∈ ⎟ ⎠
Vejamos um exemplo para a melhor compreensão.
? 0 3
⎟⎟^ =
∞
k = k
n Seja Z cis ⎟ Z ∈ C ⎠
n n n n n
lembrando que
( 1 )^2 ⎟⎟+
n Z
n Z
n n Z n
P
Z = Z Z = Z
= .
1 (^4 ) ... 0 1 2 3
( 1 2 )^2 ⎟⎟+
n Z
n Z
n n Z n
⎟⎟^ +
= ... 1 4 7
n n n Z Z
n n n Z Z
zero n n n
= ... 2 5 8
n n n Z Z
zero^ = (^) ⎟⎟ ⇒ ⎠
∞
= 0 3
k k
n ⎟⎟= ⎠
∞
k = 0 3 k
n 3
( 1 + 1 ) n^ +( 1 + Z ) n +( 1 + Z^2 ) n
( 1 + 1 ) n^ +(− Z^2 ) n +(− Z ) n
. Da figura: ⎟
Z cis e ⎟ ⎠
( ) (^2 )
Z Z cis.
⎟⎟^ =
∞
k = 0 3 k
n 3
( 1 + 1 ) n^ +(cos 60 + isen 60 ) n +(cos(− 60 )+ isen (− 60 )) n
( 1 + 1 ) n^ +(cos 60 n + isen 60 n )+(cos(− 60 n )+ isen (− 60 n ))
2 2 cos ⎟ ⎠
n n π
OBS.: Há uma propriedade importante sobre soma de binomiais. Veja:
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⇒ Absorção: ∑ ∑
= =
⎛ s
kr
s
k r k
n k
n k
n 1
Dem.: (^) ⎟⎟ ⎠
= = = =^1
k
n k
n k n k
n k
n k n k
n k
n s
kr
s
kr
s
kr
s
kr
Treinando :
1-) Calcule ∑
∞
=
k 0 3 k +^1
n
2-) Calcule ∑
∞
=
k 0 4 k +^1
n
3-) Calcule k k
k k
n 8
∞
=
4-) Calcule k k
k k k
n ( 8 6 1 ) 16 4 2
2 0
⎟⎟ +^ +
∞
=
4. Desafio final:
Para resolver essa questão não é necessário o conhecimento de nenhuma das técnicas acima mostradas, porém é preciso bastante raciocínio e domínio das propriedades de somatórios.
Prove que:
1
2
∞
k = k^
Sugestão: Calcule ∑
=
n
k n
k
1
2
cot
