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Sucess˜oes (11.o^ ano)
Sucess˜oes, progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Qual das express˜oes seguintes ´e termo geral de uma sucess˜ao mon´otona?
(A) (n − 5)^2 (B)
(−1)n n + 3 (C) (−2)n^ (D)
n Exame – 2023, Ep. especial´
- Uma composi¸c˜ao geom´etrica ´e constitu´ıda por uma sequˆencia de 25 semicircunferˆencias em que, `a exce¸c˜ao da primeira, o raio de cada semicircunferˆencia ´e o dobro do raio da semicircunferˆencia anterior.
A figura ao lado representa parte dessa composi¸c˜ao, em que c 1 , c 2 e c 3 s˜ao as trˆes primeiras semicircunferˆencias, com 1 cm , 2 cm e 4 cm de raio, respetivamente.
c 1
c 2
c 3
Determine o comprimento total da linha obtida com esta composi¸c˜ao geom´etrica.
Apresente o resultado em quil´ometros, arredondado `as unidades.
Exame – 2023, Ep. especial´
- Considere um triˆangulo equil´atero, [ABC] , com AB = 1.
Unindo os pontos m´edios dos lados desse triˆangulo, obt´em-se um segundo triˆangulo; unindo os pontos m´edios dos lados do segundo triˆangulo, obt´em-se um terceiro triˆangulo. Continuando a proceder deste modo, obt´em-se uma sequˆencia de n triˆangulos, sendo n > 4.
Na figura ao lado, representam-se os primeiros quatro triˆangulos da sequˆencia.
Mostre que a soma dos per´ımetros dos n triˆangulos da sequˆencia ´e menor do que 6 unidades, qualquer que seja o valor de n.
A B
C
Exame – 2023, 2.a^ Fase
- A figura ao lado representa uma linha poligonal simples que come¸cou a ser constru´ıda a partir do segmento de reta [AB]. O segundo segmento de reta, com uma das extremidades em B, foi constru´ıdo com mais 2 cm do que o primeiro, o terceiro segmento foi constru´ıdo com mais 2 cm do que o segundo, e assim sucessivamente, tendo cada segmento de reta sempre mais 2 cm do que o anterior.
Continuando a constru¸c˜ao da linha poligonal, do modo acima des- crito, at´e ao 100.o^ segmento de reta, obt´em-se uma linha poligonal com o comprimento total de 104 metros.
Determine o comprimento do segmento de reta [AB].
Apresente o valor pedido em cent´ımetros.
A
B
Exame – 2023, 1.a^ Fase
- De uma progress˜ao aritm´etica, (vn), sabe-se que v 3 = 1 e v 10 =
v 9.
Averigue, sem recorrer `a calculadora, se −50 ´e termo da progress˜ao (vn).
Exame – 2022, Ep. especial´
- Seja (un) a sucess˜ao definida por
un =
(−1)n^ se n ≤ 3
4 n − 1 n + 3
se n > 3
Mostre que a sucess˜ao (un) ´e limitada. Exame – 2022, 2.a^ Fase
- Qual das express˜oes seguintes ´e termo geral de uma sucess˜ao convergente?
(A) (−1)n^ × n (B)
(−1)n n
(C) (−1)n^ + n (D) (−1)n^ − n
Exame – 2022, 1.a^ Fase
- A soma dos cinco primeiros termos de uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao
´e 211.
Determine o quinto termo desta progress˜ao. Exame – 2022, 1.a^ Fase
- Seja (un) a sucess˜ao definida por un = 2n + 1
Determine, sem recorrer `a calculadora, a soma dos primeiros duzentos termos de ordem ´ımpar da sucess˜ao (un)
Exame – 2021, Ep. especial´
- Considere a sucess˜ao (vn) definida, por recorrˆencia, por
v 1 = 2
vn+1 =
vn
, para qualquer n´umero natural n
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) A sucess˜ao (vn) ´e uma progress˜ao aritm´etica.
(B) A sucess˜ao (vn) ´e uma progress˜ao geom´etrica.
(C) A sucess˜ao (vn) ´e mon´otona.
(D) A sucess˜ao (vn) ´e limitada.
Exame – 2020, Ep. especial´
- De uma progress˜ao aritm´etica (un) sabe-se que o s´etimo termo ´e igual ao dobro do segundo e que a soma dos doze primeiros termos ´e igual a 57
Sabe-se ainda que 500 ´e termo da sucess˜ao (un)
Determine a ordem deste termo. Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Seja (vn) a sucess˜ao definida por
vn =
n se n < 10
n
se n ≥ 10
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) A sucess˜ao (vn) tem limite nulo. (B) A sucess˜ao (vn) ´e divergente.
(C) A sucess˜ao (vn) ´e limitada. (D) A sucess˜ao (vn) ´e mon´otona. Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Considere a sucess˜ao (un) de termo geral un =
8 n − 4 n + 1
Estude a sucess˜ao (un) quanto `a monotonia. Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Considere a sucess˜ao (un) de termo geral un =
(−1)n+ n + 1
Determine a menor ordem a partir da qual todos os termos da sucess˜ao (un) s˜ao maiores do que –0,
Exame – 2019, Ep. especial´
- Sejam a e b dois n´umeros reais diferentes de zero.
Sabe-se que 2, a e b s˜ao trˆes termos consecutivos de uma progress˜ao geom´etrica.
Sabe-se ainda que a − 2, b e 2 s˜ao trˆes termos consecutivos de uma progress˜ao aritm´etica.
Determine a e b Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Seja r um n´umero real maior do que 1
Sabe-se que r ´e a raz˜ao de uma progress˜ao geom´etrica de termos positivos.
Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progress˜ao, a sua soma ´e igual a 12 e a diferen¸ca entre o maior e o menor ´e igual a 3
Determine o valor de r Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Considere a sucess˜ao (un) de termo geral un =
n + 5 n + 3
Estude a sucess˜ao (un) quanto `a monotonia.
Exame – 2018, Ep. especial´
- De uma progress˜ao aritm´etica (un) sabe-se que o terceiro termo ´e igual a 4 e que a soma dos doze primeiros termos ´e igual a 174
Averigue se 5371 ´e termo da sucess˜ao (un) Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Seja a um n´umero real.
Sabe-se que a, a + 6 e a + 18 s˜ao trˆes termos consecutivos de uma progress˜ao geom´etrica. Relativamente a essa progress˜ao geom´etrica, sabe-se ainda que a soma dos sete primeiros termos ´e igual a 381
Determine o primeiro termo dessa progress˜ao. Exame – 2018, 1.a^ Fase
- De uma progress˜ao geom´etrica (an), sabe-se que o terceiro termo ´e igual a
e que o sexto termo ´e igual a 2
Qual ´e o valor do vig´esimo termo?
(A) 8192 (B) 16 384 (C) 32 768 (D) 65 536
Exame – 2015, Ep. especial´
- Qual das express˜oes seguintes ´e termo geral de uma sucess˜ao mon´otona e limitada?
(A) (−1)n^ (B) (−1)n.n (C) −
n
(D) 1 + n^2
Exame – 2015, 2.a^ Fase
- Seja a um n´umero real. Considere a sucess˜ao (un) definida por
u 1 = a
un+1 = − 3 un + 2, ∀ n ∈ N
Qual ´e o terceiro termo desta sucess˜ao?
(A) 6 a + 4 (B) 9 a − 4 (C) 6 a − 4 (D) 9 a + 4 Exame – 2015, 1.a^ Fase
- Seja un a sucess˜ao definida por recorrˆencia do seguinte modo:
u 1 = 3
un = un− 1 + 2n se n > 1
Seja wn a sucess˜ao de termo geral wn = 5n − 13
Qual ´e o valor de n para o qual se tem wn = u 2?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 Teste Interm´edio 11.o^ ano – 24.05.
- Estude, quanto `a monotonia, a sucess˜ao un de termo geral un = 1 − 2 n n + 3 Teste Interm´edio 11.o^ ano – 24.05.
