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Tabela de regras, fórmulas e identidades
Conjuntos numéricos
ℕ = conjunto dos números naturais, a saber: ℕ = ሼ0,1,2,3,4, … ሽ
ℤ = conjunto dos números inteiros, a saber: ℤ =
ℚ = conjunto dos números racionais, a saber: ℚ = ቄ
ℝ\ℚ = conjunto dos números irracionais, ou seja, aqueles que não são racionais.
ℝ = conjunto dos números reais, a saber: ℝ = (ℝ\ℚ) ∪ ℚ. Note que: (ℝ\ℚ) ∩ ℚ = ∅.
ℂ = conjunto dos números complexos, a saber: ℂ = ൛ܽ + ܾ݅ : ܽ , ܾ߳ ℝ ݁ ݅ = √−1ൟ
Propriedade: “Todo número racional, é escrito, na forma decimal, como uma decimal finita ou uma dízima
periódica. Reciprocamente, todo número que, na forma decimal, é uma dízima periódica, ou tem uma
quantidade finita de algarismos, é um número racional.” Portanto, os números irracionais são os números que
não podem ser escritos na forma
݁݀݊ ܽ , ܾ ߳ ℤ, ܿ݉ ܾ ≠ 0, ou são escritos, na forma decimal, com infinitos
algarismos, porém não são uma dízima periódica.
Frações
I.
௫
௬
⟺ ܽݕ = ܾݔ Igualdade
II.
௫
௬
௬ା௫
௬
Adição
III.
௫
௬
௬ି௫
௬
Subtração
IV.
×
௫
௬
௫
௬
Multiplicação
V.
÷
௫
௬
௬
௫
௬
௫
Divisão
VI. ቀ
ିଵ
Fração inversa
VII. ቀ
ି
Potência
Potenciação
I. ܽ
ଵ
II. ܽ
ି
ଵ
III. ܽ
ା
IV.
ି
V. (ܽ
VI. ቀ
VII. (ܽ ∙ ܾ )
VIII. ቀ
ି
Radiciação
Definição: Para n inteiro positivo ímpar a b b a.
n n
Para n inteiro positivo par a bb a, a 0 ,b 0.
n n
Propriedades: Sejam a, b 0.
I.
n n n
a b ab
II.
n
n
n
b
a
b
a
III.
n m
m
n
a a
IV.
n m nm
a a
V.
n p
mp
n m
a a
VI.
ݔ , se ݊ for ímpar
, se ݊ for par
Valor Absoluto
Definição: Seja ܽ ߳ ℝ. Então |ܽ | = ቄ
, se ܽ ≥ 0
− ܽ , se ܽ < 0
Propriedades: Sejam ܽ , ܾ e ݎ, números reais quaisquer, com ݎ ≥ 0 e ܾ ≠ 0.
(I)
(II) ห– ܽ ห = |ܽ |
(III) |ܽ
, se ݊ é par
(IV)
(V) ቚ
||
||
(VI) |ܽ + ܾ | ≤ |ܽ | + |ܾ |
(VII)
Produtos Notáveis – Principais Casos
I. (ܽ + ܾ )(ܽ − ܾ ) = ܽ
ଶ
ଶ
Produto da soma pela diferença
II. (ܽ + ܾ )
ଶ
ଶ
ଶ
Quadrado da soma
III.
ଶ
ଶ
ଶ
Quadrado da diferença
IV.
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
Cubo da soma
V. (ܽ − ܾ )
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
Cubo da diferença
Fatoração – Principais Casos
I. ݔ
ଶ
ଶ
= (ݔ + ݕ)(ݔ − ݕ) Diferença de quadrados
II. ݔ
ଶ
ଶ
ଶ
Trinômio quadrado perfeito
III. ݔ
ଶ
ଶ
ଶ
Trinômio quadrado perfeito
IV. ܽ ݔ
ଶ
ଵ
ଶ
) Trinômio quadrado, onde ݔ
ଵ
e ݔ
ଶ
são as raízes da equação de 2º grau.
V. ݔ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
) Diferença de cubos
VI. ݔ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
) Soma de cubos
Equação do 2º grau
Equação do 2
o
grau: é uma equação que pode ser escrita na forma: ܽ ݔ
ଶ
Raízes (Fórmula de Báskara): ݔ =
ି ± √
∆
ଶ
(onde ∆ = ܾ
ଶ
− 4ܿܽ é chamado discriminante).
OBS: Se ∆ > 0 então a equação tem 2 raízes reais de distintas
Se ∆ = 0 então a equação tem somente 1 raiz (de multiplicidade 2)
Se ∆ < 0 então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas).
Relações de Girard: Sejam ݔ
ଵ
e ݔ
ଶ
as raízes de ܽ ݔ
ଶ
- ܾݔ + ܿ = 0 (com ܽ ≠ 0). Então: ൝
ଵ
ଶ
ି ୠ
ଵ
ଶ
ୡ
Logaritmos
Definição: Sejam ܽ , ܾ ∈ ℝ
ା
∗
com ܾ ≠ 1. Então: ݔ = ݈݃
௫
Propriedades: Sejam ܾ , ܿ , ݔ, ݕ ∈ ℝ
ା
∗
com ܾ , ܿ ≠ 1 e ݊ um número real qualquer. Então:
I. ݈ ݃
II. ݈ ݃
III. ݈ ݃
IV. ݈ ݃
V. ݈ ݃
௫
௬
VI. ݈ ݃
VII. ܾ
್
௫
VIII. ݈ ݃
௫
Mudança de Base
IX. ݈ ݃
Área Lateral
Volume
Onde: S ଵ
é a área da base maior , S
ଶ
é a área da base menor
ESFERA
Área = ܣ 4 ݎߨ
ଶ
Volume ܸ=
ସ
ଷ
ଷ
PARALELOGRAMO
Área =
RETÂNGULO
Área =
Área =
QUADRADO
ܽ
ܽ
Área =
TRAPÉZIO
ÁREA
LOSANGO
Área =
TRONCO DE PIRÂMIDE
cada face lateral é um trapézio
ଷ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
é a área da base menor
FUSO ESFÉRICO
regra de 3
ଷ
regra de 3
Áreas de figuras planas
Área = ܾܽ ݁ݏ ݑݐ ݈ܽ×
TRIÂNGULO
Área = ܾܽ ݁ݏ × ݈ܽܽݎݑݐ
ou
Área = ܾ ∙݄
TRIÂNGULO
Área=
onde
Área = ܽ
ଶ
TRIÂNGULO
REA =
(ା)
ଶ
CIRCUNFERÊNCIA
Área =
∙ௗ
ଶ
Setor Circular
Área:
Comprimento do arco:
TRONCO DE CONE
ܣ
( ܴ ݎ +
)
గ
ଷ
ଶ
ଶ
CUNHA ESFÉRICA
regra de 3
regra de 3
Área =
௦ ×௧௨
ଶ
Área= ඥ
( − ܽ )( − ܾ )( − ܿ)
nde =
ାା
ଶ
Área =
ଵ
ଶ
∙ ܽ ∙ ܾ ∙ ݊݁ݏ ܥ
መ
Área = ߨݎ
ଶ
Perímetro: ܥ = 2 ݎߨ
Área: ܵ =
ఈோ
మ
ଶ
ou ܵ =
ோ
ଶ
Comprimento do arco: ܮ = ܴߙ
Regras de derivação
I. (݂ ± ݃ )´ = ݂ ´ ± ݃ ´ : Regra da Soma
II. (݂݇ )´ = ݂݇ ´ , ݇ constante : Regra da Multiplicação por constante
III.
( ݂ ∙ ݃
) ´ = ݂ ´ ∙ ݃ + ݂ ∙ ݃ ´ : Regra do Produto
IV. ቀ
ቁ ´ =
´∙ି ∙´
మ
: Regra do Quociente:
V. ቀ݂ ൫݃ (ݔ)൯ቁ ´ = ݂ ´(݃ (ݔ) ∙ ݃ ´(ݔ) : Regra da Cadeia:
Derivadas das principais funções elementares
VI. ݂ (ݔ) = ܽݔ + ܾ ⇒ ݂ ´(ݔ) =ܽ
VII. ݂ (ݔ) = ݔ
ିଵ
VIII. ݂
= ln ݔ ⇒ ݂ ´
ଵ
௫
IX. ݂
௫
௫
X. ݂
= sin ݔ ⇒ ݂ ´
= cos ݔ
XI. ݂
= cos ݔ ⇒ ݂ ´
= − sin ݔ
XII. ݂ (ݔ) = arctan ݔ ⇒ ݂ ´(ݔ) =
ଵ
ଵା௫
మ
XIII. ݂
= arcsin ݔ ⇒ ݂ ´
ଵ
√ଵି௫
మ
As próximas são facilmente encontradas usando as
anteriores e as regras de derivação
XIV. ݂ (ݔ) = ݈݃
ଵ
௫
XV. ݂ (ݔ) = ܽ
௫
௫
lnܽ
XVI. ݂
= tan ݔ ⇒ ݂ ´
ଶ
XVII. ݂
ଶ
XVIII. ݂
= sec ݔ ⇒ ݂ ´
= sec ݔ ∙ tan ݔ
XIX. ݂ (ݔ) = csc ݔ ⇒ ݂ ´(ݔ) = − csc ݔ ∙ ܿ݊ܽݐ ݔ
Principais regras e técnicas de integração
I.
(ݔ)݀ݔ Linearidade
II.
ݒ ݀ ݑ Integração por Partes
III. ݂ ൫݃
ݔ = ݂ (ݑ) ݀ݑ , ݁݀݊ ݑ = ݃ (ݔ) Mudança de Variáveis
Tabela de Integração das principais funções elementares
IV. ܽ ݀ ݑ = ܽݑ +ܿ
V.
௨
శభ
ାଵ
VI.
ௗ௨
௨
= ln|ݑ| +ܿ
VII.
௨
௨
VIII. sen u du = − cos u + c
IX.
cos u du = sen u + c
X.
ୢ ୳
√ଵି୳
మ
= arc sen u + c
XI.
ୢ ୳
୳
మ
ାଵ
= arctan u + c
XII. sec u tan u du = sec u + c
XIII.
cosec u cotan u du = −cosec u + c
XIV. sec
ଶ
u du = tan u + c
XV.
cosec
ଶ
u du = −cotan u + c
XVI.
a
୳
du =
ୟ
౫
୪୬ ୟ
As próximas são facilmente encontradas usando as
anteriores e as técnicas de integração
XVII.
ୢ ୳
୳
మ
ାୟ
మ
ଵ
ୟ
arctan
୳
ୟ
XVIII.
ୢ ୳
√ୟ
మ
ି ୳
మ
= arc sen
୳
ୟ
ଶ
< a
ଶ
XIX.
tan u du = ln|sec u| + c
XX. cotan u du = ln
sen u
XXI.
sec u du = ln|sec u + tan u| + c
XXII. cosec u du = ln
cosec u − cotan u
XXIII.
ୢ ୳
୳
మ
ାୟ
మ
ଵ
ୟ
arctan
୳
ୟ
