Técnicas Digitais, Notas de estudo de Cultura

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Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini”

Campinas – S.P.

Técnicas Digitais

 SENAI-SP, 2006

Trabalho elaborado pela Escola Senai “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini”

Coordenação Geral Magno Diaz Gomes

Equipe responsável

Coordenação Geraldo Machado Barbosa

Elaboração Edson Carretoni Júnior

Versão Preliminar

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” Avenida da Saudade, 125, Bairro Ponte Preta CEP 13041-670 - Campinas, SP [email protected]

Sistemas de Numeração e

Códigos Binários

Neste capítulo trataremos dos sistemas de numeração que servem de suporte ao estudo das técnicas digitais e sistemas de computação.

Estudaremos os sistemas de numeração binário, octal e hexadecimal e os métodos de conversão entre esses sistemas, a partir do sistema decimal. Aqui partimos do suposto que o sistema decimal já é suficientemente conhecido por fazer parte do nosso dia-a- dia.

Estudaremos também, neste capítulo, os códigos gerados pelo sistema binário, destacando sua importância como linguagem de máquina.

Para assimilar os conteúdos dessa lição é necessário que você já conheça perfeitamente o sistema decimal.

Sistemas de numeração

Dos sistemas de numeração existentes, os mais utilizados são o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal.

Sistema de numeração decimal O sistema de numeração decimal utiliza dez algarismos para a sua codificação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Assim, a base desse sistema é dez.

Com esses dez algarismos, é possível representar qualquer grandeza numérica graças à característica do valor de posição. Desse modo, temos:

• números que representam as unidades:

Sistema de numeração binário O sistema de numeração binário é empregado em circuitos lógicos digitais; este sistema possui apenas dois algarismos: 0 e 1. Por isso sua base é dois (dois dígitos). Cada dígito ou algarismo binário é chamado de bit, do inglês “binary digit” (dígito binário). Um bit é, pois, a menor unidade de informação nos circuitos digitais.

A tabela a seguir mostra a correspondência entre números decimais e binários.

Decimal Binário Decimal Binário 0 0 10 1010 1 1 11 1011 2 10 12 1100 3 11 13 1101 4 100 14 1110 5 101 15 1111 6 110 16 10000 7 111 - - 8 1000 - - 9 1001 - -

Empregando a propriedade do valor de posição do dígito, podemos representar qualquer valor numérico com os dígitos 0 e 1.

Como a base da numeração binária é 2, o valor de posição é dado pelas potências de base 2, como mostramos no quadro a seguir.

Potências de base 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Valor de posição 16 8 4 2 1 Binário 1 0 0 1 1

O valor da posição é indicado pelo expoente da base do sistema numérico. Esse valor aumenta da direita para a esquerda. O valor da posição do bit mais significativo (de maior valor) será a base elevada a n-1 (n = número de dígitos).

Por exemplo, 101011 2 é um número binário de 6 bits. Ao aplicar a fórmula, temos 6 - 1 = 5. Assim, o bit mais significativo terá como valor de posição 2 5.

Binário 1 0 1 0 1 1 Valor de Posição 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 MSB LBS

Observação:

• MSB - do inglês, “most significant bit” — bit mais significativo;
• LSB - do inglês, “least significant bit” — bit menos significativo.

A base é o elemento diferenciador entre um número do sistema binário e um do sistema decimal:

101 2 - base 2; portanto, número binário; lê-se: um, zero, um. 101 10 - base 10; portanto, número decimal; lê-se: cento e um.

Conversão de números do sistema binário para o sistema decimal — Para converter um número binário em decimal deve-se multiplicar cada bit pelo seu valor de posição (que é indicado, pela potência da base), e somar os resultados.

Na conversão de 1010 2 para o sistema decimal, procede-se da seguinte forma:

Exemplo 1:

Potência de 2 2 3 2 2 2 1 2 0 Binário 1 0 1 0 Valor de posição 1.8 0.4 1.2 0. Número decimal 8 + 0 + 2 + 0 = 10 10

Portanto, 1010 2 = 10 (^10)

Exemplo 2:

Neste exemplo, converte-se 11001 2 em decimal. Ou seja:

Potência de 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Binário 1 1 0 0 1 Valor de posição 1.16 1.8 0.4 0.2 1. Número decimal 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 10

Exemplo:

105 , parte inteira

parte fracionária

No exemplo dado, a parte fracionária (0,25) possui duas casas. O valor de posição da primeira casa após a vírgula corresponde aos décimos :

0, 2 5 = 2 = 2 = 2.10 - 10 101

O valor da segunda posição após a vírgula corresponde aos centésimos :

0,2 5 = 5 = 5 = 5.10 - 100 102

Assim, o número 105,25 10 tem os seguintes valores de posição:

1 0 5 , 2 5

1. 10 2 + 0. 10 1 + 5. 10 0 + 2. 10 -1^ + 5. 10 -

No sistema binário, a parte fracionária é análoga ao do sistema decimal:

parte inteira

parte fracionária

O valor de posição da primeira casa da parte fracionária será:

0, 1 1 = 1 = 1.2- 21

O valor de posição da segunda casa após a vírgula será:

0,1 1 = 1 = 1.2- 22

Assim os valores de posição do número 101,11 serão:

2 2 2 1 2 0 2 -1^2 -

1 0 1, 1 1

Conversão de números binários fracionários em números decimais fracionários Já vimos que para converter um número binário em decimal devemos multiplicá-lo pelo valor de posição da base. Observe a seguir, o valor de posição da parte fracionária dos seguintes números:

2 -1^ = 1 = 1 = 0, 21 2

2 -2^ = 1 = 1 = 0, 22 4

2 -3^ = 1 = 1 = 0, 23 8

2 -4^ = 1 = 1 = 0, 24 16

Veja a seguir o procedimento da conversão de binário fracionário em decimal fracionário.

A título de exemplo, vamos converter o número 1001,01 2 (binário fracionário) em número decimal:

1 Faz-se a conversão da parte inteira do número (1001)

Binário 1 0 0 1 Valor de posição 1.2 3 0.2 2 0.2 1 1.2 0 Número decimal 8 + 0 + 0 + 1 = 9 10

x 2 0, 1001,01 x 2 1,

Os algarismos à esquerda da vírgula na multiplicação constituirão os dígitos binários fracionários.

Portanto, 9,25 10 = 1001,01 (^2)

Exemplo 2:

Converter 23,35 10 (decimal fracionário) em número binário fracionário.

Conversão da parte inteira : 23

23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2

Conversão da parte fracionária: 0,

0,35.2 = 0 , 0,70.2 = 1 ,40 (considere para multiplicação apenas a parte fracionária) 0,40.2 = 0 , 0,80.2 = 1 , 0,60.2 = 1 , 0,20.2 = 0 , 0,40.2 = 0 , 0,80.2 = 1 ,

Assim, 0,35 = 01011001...

Portanto, 23,35 10 = 10111,01011001...

Observação Observe que o número 0,80 é uma repetição. Isso significa que se trata de uma dízima periódica, o que pode ser indicado por três pontinhos (...).

Sistema de numeração octal O sistema de numeração octal tem a base 8. Os oito símbolos da numeração octal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a octal.

Sistemas numéricos

Decimal Octal Decimal Octal 0 0 9 11 1 1 10 12 2 2 11 13 3 3 12 14 4 4 13 15 5 5 14 16 6 6 15 17 7 7 16 20 8 10 17 21

A base da numeração octal é 8; portanto, os valores das posições serão as potências de base 8. Observe o quadro a seguir.

Potências de base 8 8 3 8 2 8 1 8 0 Valores de posição 512 64 8 1

O sistema de numeração octal é muito empregado em máquinas digitais que usam palavras de 6 bits.

Conversão de números do sistema de numeração octal para o sistema decimal — Sabemos que todos os sistemas de numeração apresentam o valor de posição do dígito de acordo com sua base. Desse modo, o valor da posição de um número octal corresponde ao expoente da base 8.

Os restos das divisões por 8 lidas de baixo para cima, formam o número octal 2404 8. Portanto 1284 10 = 2404 8.

Conversão de números do sistema octal para o sistema binário — Há uma regra prática para a conversão de números octais em binários. Ou seja, cada dígito do número octal deve ser transformado no seu correspondente binário.

Lembremos que, para cada dígito octal, são necessários três dígitos binários (3 bits). Isto porque o maior número do sistema octal é representado por três bits (111 2 = 7 8 )

A seguir mostramos como se faz para converter em binário o número octal 37 8.

dígitos octais → 3 7 ↓ ↓ dígitos binários → 011 111

Portanto, 37 8 = 11111 (^2)

Observação Você deve estar lembrado que o dígito zero à esquerda de 011 não é significativo; portanto, deve ser cortado.

Conversão de números do sistema binário para o sistema octal — Para converter um número binário em octal, é preciso separar o número binário, da direita para a esquerda, em grupos de três bits; e, em seguida, converter cada grupo no algarismo octal correspondente.

Na conversão de 101011 2 em octal, devemos proceder da seguinte maneira:

número binário → 101 011 ↓ ↓ número octal → 5 3

Portanto, 101011 2 = 53 (^8)

Observação Deve-se acrescentar um ou dois zeros ao último grupo de bit à esquerda a fim de completar os três algarismos do número binário a ser convertido. Por exemplo, na conversão de 1011101 2 em octal, ao separar os grupos de 3 bits, teremos:

dígitos binários → 1011101 2 → 001 011 101

↓ ↓ ↓

dígitos octais → 1 3 5

Portanto, 1011101 2 = 135 (^8)

Sistema de numeração hexadecimal O sistema de numeração hexadecimal tem a base 16. Os dezesseis símbolos que constituem a numeração hexadecimal são os seguintes números e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, A, B, C, D, E, F.

Emprega-se este sistema em computação e em mapeamento de memórias de máquinas digitais que utilizam palavras de 4, 8 ou 16 bits.

A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a hexadecimal.

Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal 0 0 11 B 22 16 1 1 12 C 23 17 2 2 13 D 24 18 3 3 14 E 25 19 4 4 15 F 26 1A 5 5 16 10 27 1B 6 6 17 11 28 1C 7 7 18 12 29 1D 8 8 19 13 30 1E 9 9 20 14 31 1F 10 A 21 15 32 20

Observe pela tabela acima, que a contagem recomeça a cada 16 dígitos.

hexadecimal, significa o número 12 decimal. Portanto, pela conversão, obtivemos o número 307C 16.

Onde, 12412 10 = 307C 16

Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema binário — A tabela a seguir mostra a correspondência entre o código hexadecimal e o binário.

Sistema de numeração

Hexadecimal Binário Hexadecimal Binário 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111

Observe a tabela e veja como a cada código hexadecimal corresponde a quatro dígitos binários. Desse modo, para converter um número hexadecimal em número binário, basta converter cada algarismo ou letra do número hexadecimal no número binário correspondente. Este número binário terá 4 dígitos.

A título de exemplo, para converter o número FACA 16 em binário , basta proceder como demonstramos a seguir.

Dígitos hexadecimais → F A C A

↑ ↑ ↑ ↑

Dígitos binários → 1111 1010 1100 1010 Portanto, FACA 16 = 1111101011001010 (^2)

Veja mais este exemplo:

Converter o número 1A25 16 em binário:

Dígitos hexadecimais → 1 A 2 5

↑ ↑ ↑ ↑

Dígitos binários → 0001 1010 0010 0101 Portanto, 1A25 16 = 1101000100101

Conversão de números do sistema binário para o sistema hexadecimal — Para converter um número binário em hexadecimal, basta separar o número binário, da direita para a esquerda, em grupos de quatro bits; e, em seguida, converter cada grupo no algarismo hexadecimal correspondente.

Na conversão de 101001101 2 em hexadecimal, deve-se proceder da seguinte forma:

Dígitos binários → 1 0100 1101 2 → 0001 0100 1101

↑ ↑ ↑

Hexadecimal → 1 4 13

Na numeração hexadecimal não existe o número 13; em seu lugar usa-se a letra D. Assim sendo, o resultado da conversão será:

101001101 2 = 14D 16

Códigos binários Os códigos binários utilizam os mesmos símbolos do sistema de numeração binário, ou seja, 0 e 1. O 1 e o 0 são códigos que podem representar números, letras do alfabeto e sinais de pontuação.

Os códigos binários mais empregados são:

BCD 8421 BCD-AIKEN Johnson ASC II

BCD 8421 BCD significa “Decimal Codificado em Binário” (do inglês: “Binary Coded Decimal”). É um código que utiliza números binários para representar os dígitos de um número