Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Teorema da função implícita e suas aplicações
Cláudia Rabelo Oliveira Amorim
Belo Horizonte, 28 de setembro de 2016
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Teorema da função implícita e suas aplicações, Provas de Álgebra
Em álgebra linear, a inversa de uma transformação linear bijetiva também é linear. Na teoria de grupos, o inverso de um homomorfismo bijetivo é ...
Tipologia: Provas
2023
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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Teorema da função implícita e suas aplicações
Cláudia Rabelo Oliveira Amorim
Belo Horizonte, 28 de setembro de 2016
Cláudia Rabelo Oliveira Amorim
Teorema da função implícita e suas
aplicações
Dissertação apresentada ao corpo do- cente de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Uni- versidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientadora: Sônia Pinto de Carvalho
Belo Horizonte 2016
RESUMO
Neste trabalho apresentaremos o teorema da função implícita e algumas de suas aplicações em muitas áreas da matemática. No capítulo um apresentamos a de- monstração clássica do teorema como consequência do teorema da função inversa. Já no segundo capítulo, descrevemos o que é uma aplicação de bilhar e mostramos que dada uma curva de classe 𝐶𝑘^ a nossa aplicação de bilhar é um difeomorfismo local de classe 𝐶𝑘−^1 , depois calculamos a derivada da aplicação bilhar. No capí- tulo três provaremos que as raízes simples de um polinômio são 𝐶∞^ dependentes dos coeficientes deste polinômio, de modo que, se fizermos uma pequena per- turbação nos coeficientes desse polinômio, pertubaremos também as raízes que dependem desses coeficientes de maneira suave. No quarto capítulo, estudamos alguns conceitos para chegar na demonstração do teorema do fluxo tubular, onde utilizamos o teorema da função inversa. No quinto capítulo, mostramos que a aplicação de um fluxo perto de uma órbita periódica é um difeomorfismo classe 𝐶𝑘. Por fim, no capítulo seis, demonstramos que dada 𝐹 : R^3 −→ R uma aplicação diferenciável, o conjunto 𝑆 = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ R^3 |𝐹 (𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑐}, onde 𝑐 é um número real é o traço de uma superfície parametrizada regular. Para isso, estudamos algumas propriedades geométricas.
Palavras-chave: Teorema da função implícita. Bilhares. Teorema do fluxo tubular. Transformação de Poincaré. Dependência 𝐶∞^ das raízes de um polinômio.
ABSTRACT
In this paper we present the Implicit Function Theorem and some of its applica- tions in many areas of mathematics. In chapter one we present the theorem in the most classical way. In the second chapter, we describe what a billard map is and show that given a 𝐶𝑘^ curve, our billard map is a 𝐶𝑘−^1 local diffeomorphism. We also calculade the derivative of the billard map. In chapter three we prove that the roots of a polynomial are 𝐶∞^ dependent on the coefficients of the poly- nomial. So if we make a small perturbation in the coefficients of this polynomial we will also disturb the roots in a smooth way. In the fourth chapter, we present and prove the flow box theorem, using the theorem of the inverse function. In the fifth chapter, we show that the Poincaré map, near a periodic orbit of a 𝐶𝑘 flow, is a 𝐶𝑘-diffeomorphism. Concluding, in chapter six, we prove that given a differentiable function 𝐹 : R^3 −→ R, the set 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R^3 |𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐} where 𝑐 is a real number is locally the trace of a regular parametrized surface. For this, we study some geometric properties.
- 1 Teorema da Função Implícita Sumário
- 1.1 Homeomorfismo, difeomorfismo e isomorfismo
- 1.2 Método das aproximações sucessivas
- 1.3 Perturbação da identidade
- 1.4 Teorema da função inversa
- 1.5 Teorema da função implícita
- 2 Bilhares
- 2.1 O teorema da função implícita aplicado a bilhares
- seus coeficientes 3 Dependência 𝐶∞ das raízes de um polinômio com respeito aos
- 3.1 Aplicação do teorema da função implícita à álgebra
- 4 Teorema do fluxo tubular
- 4.1 Aplicação da teorema da função inversa ao teorema do fluxo tubular
- Sumário
- 5 A transformação de Poincaré - caré 5.1 Aplicação do teorema da função implícita a transformação de Poin-
- 6 O teorema da função implícita aplicado à geometria
- 6.1 Geometria diferencial
Capítulo 1. Teorema da Função Implícita 10
Definição 1.1.2. Sejam 𝑈, 𝑉 ⊂ R𝑚, abertos. Um difeomorfismo 𝑓 : 𝑈 −→ 𝑉 é uma bijeção diferenciável cuja inversa também é diferenciável. Se 𝑓 e 𝑓 −^1 são de classe 𝐶𝑘, dizemos que 𝑓 é um difeomorfismo de classe 𝐶𝑘.
Um difeomorfismo é um caso particular de homeomorfismo. A composição de difeomorfismos é um difeomorfismo. E a inversa de um difeomorfismo também é um difeomorfismo.
Exemplo 1.1.3. Seja 𝑓 : R −→ (0,∞) uma função definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓 é um difeomorfismo de classe 𝐶∞^ cuja a inversa 𝑓 −^1 : (0,∞) −→ R é dada por 𝑓 −^1 (𝑥) = log(𝑥).
Uma aplicação de classe 𝐶𝑘, 𝑓 : 𝑈 −→ 𝑉 , pode ser um homeomorfismo de 𝑈 sobre 𝑉 e ainda sim, sua inversa 𝑓 −^1 : 𝑉 −→ 𝑈 pode não ser uma aplicação diferenciável. Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 1.1.4. Seja 𝑓 : R −→ R uma função dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥^3 , a inversa da 𝑓 é dada por 𝑓 −^1 (𝑥) = √^3 𝑥, calculando a derivada da função obtemos: [𝑓 −^1 (𝑥)]′^ =
3 √^31 𝑥^2 , que não é diferenciável na origem.^ Esse é um exemplo concreto de uma aplicação de classe 𝐶𝑘, cuja a inversa não é diferenciável.
Definição 1.1.5. Seja 𝑈, 𝑉 ⊂ R𝑚^ abertos, 𝑓 : 𝑈 −→ 𝑉 é chamada um dife- omorfismo local se, para cada 𝑥 ∈ 𝑈 , existe uma vizinhança 𝑉𝑥 que é aplicada difeomorficamente por 𝑓 sobre uma vizinhança 𝑊𝑥 de 𝑓 (𝑥). Quando 𝑓 restrita a cada 𝑉𝑥, é um difeomorfismo 𝐶𝑘^ dizemos que 𝑓 é um difeomorfismo local de classe 𝐶𝑘.
Definição 1.1.6. Seja 𝑓 : 𝑈 −→ 𝑉 , dizemos que 𝑓 é um isomorfismo se 𝑓 é uma aplicação linear bijetora.
11 1.1. Homeomorfismo, difeomorfismo e isomorfismo
Dada 𝑓 : 𝑈 ⊂ R𝑛^ −→ 𝑉 ⊂ R𝑚, para cada 𝑥 ∈ 𝑈 , a derivada de 𝑓 , 𝑓 ′(𝑥), é uma aplicação linear de R𝑛^ em R𝑚. Para verificar que 𝑓 ′(𝑥) é um isomorfismo, temos que observar se o determinante jacobiano 𝑑𝑒𝑡
[︂
𝜕𝑓^
𝑖 𝜕𝑥𝑗^ (𝑥)
]︂
é não-nulo.
Exemplo 1.1.7. Consideremos 𝑓 : R^2 −→ R^2 , definida por 𝑓 (𝑥,𝑦) = (𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦), 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)). O determinante jacobiano é:
⎣ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦)^ −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)
⎦ = 𝑒^2 𝑥(𝑐𝑜𝑠^2 (𝑦) + 𝑠𝑒𝑛^2 (𝑦)) = 𝑒^2 𝑥.
Como o determinante é não nulo para todo (𝑥, 𝑦) ∈ R^2 , 𝑓 ′^ é um isomorfismo, a seguir, observamos que 𝑓 (𝑥,𝑦) = (𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦), 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)) é um difeomorfismo local de classe 𝐶∞.
Exemplo 1.1.8. A aplicação 𝑓 : R^2 −→ R^2 , definida por 𝑓 (𝑥,𝑦) = (𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦), 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)), é um difeomorfismo local de classe 𝐶∞^ de R^2 sobre R^2 − { 0 }. Podemos concluir através da teoria de variáveis complexas, identificando (𝑥,𝑦) com 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, obtemos 𝑓 (𝑧) = 𝑒𝑧^. Dado 𝑧 ∈ C, 𝑧 ̸= 0, queremos definir o logaritmo de 𝑧, se 𝑤 = 𝑒𝑧^ então log(𝑤) = 𝑧. Tomando 𝑤 = 𝑟𝑒𝑖𝜃, −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 e 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. A expressão acima fica:
𝑟𝑒𝑖𝜃^ = 𝑒𝑥+𝑖𝑦^ = 𝑒𝑥𝑒𝑖𝑦. (1)
Primeiramente de |𝑤| = |𝑒𝑥+𝑖𝑦|, temos que:
𝑟 = 𝑒𝑥^ (2)
13 1.1. Homeomorfismo, difeomorfismo e isomorfismo
do logaritmo log : 𝐷𝜑 −→ C
por log(𝑤) = log |𝑤| + 𝑖𝑎𝑟𝑔𝜑(𝑤).
O ramo do logaritmo definido no domínio 𝐷𝜑, obtido retirando-se de C o semieixo {(𝑥,0), 𝑥 ≤ 0 }, é chamado de ramo principal. Para o ramo principal temos −𝜋 < 𝑎𝑟𝑔𝜑(𝑤) ≤ 𝜋 e afirmamos que 𝑎𝑟𝑔𝜑(𝑤) é uma função contínua em 𝐷𝜑.
Lema 1.1.9. Seja 𝐽 um intervalo aberto da reta, todo difeomorfismo local 𝑓 : 𝐽 −→ R é injetivo, sendo portanto um difeomorfismo de 𝐽 sobre 𝑓 (𝐽).
Demonstração. Isto segue do fato de que toda aplicação contínua aberta, isto é, que leva abertos em abertos, 𝑓 : 𝐽 −→ R é forçosamente injetiva. Se existe 𝑐 ∈ (𝑎,𝑏) tal que 𝑓 (𝑐) = max 𝑓 ou 𝑓 (𝑐) = min 𝑓 a prova é que 𝑓 levaria um pequeno intervalo aberto (𝑐 − 𝜀, 𝑐 + 𝜀) sobre um intervalo não-aberto (𝑑 − 𝛿, 𝑑] respectivamente [𝑑,𝑑 + 𝛿) entrando em contradição pelo fato de 𝑓 ser uma apli- cação aberta. E se 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑏) = max 𝑓 ou min 𝑓 deve existir um 𝑐 ∈ (𝑎,𝑏) tal que 𝑓 (𝑐) = max{𝑓 |(𝑎,𝑏)} ou 𝑓 (𝑐) = min{𝑓 |(𝑎,𝑏)}.
Um difeomorfismo local, visto como aplicação aberta, é um difeomorfismo (so- bre sua imagem) se, e somente se, é biunívoco. Dado um difeomorfismo local 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑚, 𝑓 ′(𝑥) : R𝑚^ −→ R𝑚^ é um isomorfismo de espaços vetoriais (trans- formação linear bijetiva) para cada 𝑥 ∈ 𝑈. O principal resultado deste capítulo estabelece que se 𝑓 ∈ 𝐶𝑘(𝑈, R𝑚), 1 ≤ 𝑘 ≤ ∞ e 𝑓 ′(𝑥) é um isomorfismo para todo 𝑥 ∈ 𝑈 , então 𝑓 é um difeomorfismo local de classe 𝐶𝑘.
Capítulo 1. Teorema da Função Implícita 14
1.2 Método das aproximações sucessivas
Para demonstrar o resultado mais importante do capítulo, utilizaremos o método das aproximações sucessivas.
Definição 1.2.1. Sejam (𝑀, 𝑑) e (𝑁,𝑑) espaços métricos. Uma aplicação 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 é chamada contração quando existe um 𝜆 ∈ R, 0 < 𝜆 < 1 , tal que 𝑑(𝑓 (𝑥),𝑓 (𝑦)) ≤ 𝜆𝑑(𝑥,𝑦) para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀.
Exemplo 1.2.2. Seja 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto convexo, isto é, se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 implica que [𝑎,𝑏] ⊂ 𝑈. Seja 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑛^ uma aplicação diferenciável, tal que |𝑓 ′(𝑥)| ≤ 𝜆 < 1 e |𝑓 ′(𝑥)| = sup{𝑓 ′(𝑥) · 𝑦, 𝑦 ∈ R𝑚, |𝑦| = 1} para uma certa constante 𝜆 e para todo 𝑥 ∈ 𝑈. Utilizando a desigualdade do valor médio, obtemos |𝑓 (𝑥)−𝑓 (𝑦)| ≤ 𝜆|𝑥−𝑦|, portanto 𝑓 é uma contração.
Definição 1.2.3. Um ponto fixo de uma aplicação 𝑓 : 𝑋 −→ 𝑋 é um ponto 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝑓 (𝑥) = 𝑥.
Definição 1.2.4. Uma sequência (𝑥𝑛) num espaço métrico 𝑀 chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo 𝜀 > 0 dado, existe 𝑛 0 ∈ N tal que 𝑚, 𝑛 > 𝑛 0 ⇒ 𝑑(𝑥𝑚, 𝑥𝑛) < 𝜀.
Definição 1.2.5. O espaço métrico 𝑀 é completo quando toda sequência de Cauchy em 𝑀 é convergente.
Proposição 1.2.6 (Aproximações sucessivas). Seja 𝑀 um espaço métrico com- pleto. Toda contração 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑀 tem um único ponto fixo. Dado qualquer ponto 𝑥 0 ∈ 𝑀 , sejam 𝑥 1 = 𝑓 (𝑥 0 ), 𝑥 2 = 𝑓 (𝑥 1 ), .... A sequência (𝑥𝑛) converge em 𝑀 para o único ponto fixo de 𝑓.
Capítulo 1. Teorema da Função Implícita 16
Proposição 1.3.1 (Pertubação da identidade). Seja 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto. Se Φ : 𝑈 −→ R𝑚^ é uma contração, então a aplicação 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑚, dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + Φ(𝑥), é um homeomorfismo de 𝑈 sobre um aberto de R𝑚.
Demonstração. Dados 𝑥 e 𝑦 quaisquer em 𝑈 , temos que:
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| = |𝑥 − 𝑦 + Φ(𝑥) − Φ(𝑦)| ≥ |𝑥 − 𝑦| − |Φ(𝑥) − Φ(𝑦)|
≥ (1 − 𝜆)|𝑥 − 𝑦|.
Daí concluímos que 𝑓 é injetiva e que sua inversa 𝑓 −^1 : 𝑓 (𝑈 ) −→ 𝑈 é contínua. Portanto, 𝑓 é um homeomorfismo de 𝑈 sobre 𝑓 (𝑈 ). Para mostrar que 𝑓 (𝑈 ) é aberto, seja 𝑏 ∈ 𝑓 (𝑈 ), de maneira que 𝑏 = 𝑓 (𝑎). Tomemos uma bola fechada 𝐴 de centro 𝑎 e raio 𝛿 > 0 , 𝐴 ⊂ 𝑈. Afirmamos que a bola aberta 𝐵 de centro em 𝑏 e raio (1 − 𝜆)𝛿 está contida em 𝑓 (𝑈 ). Seja 𝑦 ∈ 𝐵, o que significa |𝑦 − 𝑏| < (1 − 𝜆)𝛿. Devemos encontrar uma solução 𝑥 ∈ 𝑈 para a equação 𝑦 = 𝑓 (𝑥). Isto equivale a encontrar um ponto fixo 𝑥 ∈ 𝑈 para a contração Φ𝑦 : 𝑈 −→ R𝑚^ definida por Φ𝑦(𝑥) = 𝑦 − Φ(𝑥). Como 𝐴 é um espaço métrico completo, é suficiente mostrar que Φ𝑦(𝐴) ⊂ 𝐴. Assim, a contração Φ𝑦|𝐴 : 𝐴 −→ 𝐴 terá um ponto fixo pela proposição das aproximações sucessivas. Seja 𝑥 ∈ 𝐴, isto é, |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝛿. Devemos mostrar que |Φ𝑦(𝑥) − 𝑎| ≤ 𝛿. Como 𝑏 = 𝑎 + Φ(𝑎), temos:
|Φ𝑦(𝑥) − 𝑎| = |𝑦 − Φ(𝑥) − 𝑎| = |𝑦 − Φ(𝑎) + Φ(𝑎) − Φ(𝑥) − 𝑎| ≤
≤ |𝑦 − Φ(𝑎) − 𝑎| + |Φ(𝑥) − Φ(𝑎)| ≤ ≤ |𝑦 − 𝑏| + |Φ(𝑥) − Φ(𝑎)| ≤
17 1.4. Teorema da função inversa
≤ |𝑦 − 𝑏| + |𝑏 − 𝑥 − (𝑏 − 𝑎)| ≤ ≤ |𝑦 − 𝑏| + 𝜆|𝑥 − 𝑎| ≤ (1 − 𝜆)𝛿 + 𝜆𝛿 = 𝛿.
Definição 1.3.2. Seja 𝐺𝐿(R𝑚) ⊂ 𝐿(R𝑚), o conjunto das transformações line- ares invertíveis 𝑇 : R𝑚^ −→ R𝑚, 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(R𝑚) se, e somente se 𝑑𝑒𝑡(𝑇 ) ̸= 0, e 𝑑𝑒𝑡 : 𝐿(R𝑚) −→ R é uma função contínua, logo 𝐺𝐿(R𝑚) é um aberto.
Corolário 1.3.3. Sejam 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto e 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑚^ uma aplicação da forma 𝑓 (𝑥) = 𝑇 · 𝑥 + Φ(𝑥) onde 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(R𝑚) e Φ : 𝑈 −→ R𝑚^ satisfaz |Φ(𝑥) − Φ(𝑦)| ≤ 𝜆|𝑥 − 𝑦|, com 𝜆 · |𝑇 −^1 | ≤ 1. Então 𝑓 é um homeomorfismo de 𝑈 sobre o aberto 𝑓 (𝑈 ) ⊂ R𝑚.
Observamos que 𝑇 −^1 𝑓 (𝑥) = 𝑥+𝑇 −^1 Φ(𝑥) onde 𝑇 −^1 Φ : 𝑈 −→ R𝑚^ é uma contração. Portanto, 𝑇 −^1 𝑓 é um homeomorfismo de 𝑈 sobre o aberto 𝑇 −^1 𝑓 (𝑈 ) ⊂ R𝑚. Dessa maneira, concluímos que 𝑓 é um homeomorfismo.
1.4 Teorema da função inversa
Nesta seção demonstraremos um dos teoremas mais importantes da análise ma- temática, o teorema da função inversa. Ele nos possibilitará chegar ao teorema da função implícita e algumas de suas aplicações.
Teorema 1.4.1 (Teorema da função inversa). Sejam 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto e 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑚^ de classe 𝐶𝑘, (1 ≤ 𝑘 ≤ ∞) tal que, em um ponto 𝑥 0 ∈ 𝑈 , 𝑓 ′(𝑥 0 ) ∈ 𝐿(R𝑚) é um isomorfismo. Então 𝑓 é um difeomorfismo de classe 𝐶𝑘^ de uma vizinhança 𝑉 de 𝑥 0 sobre uma vizinhança 𝑊 de 𝑓 (𝑥 0 ).
19 1.4. Teorema da função inversa
Daí temos que:
ℎ = 𝑔(𝑦 + 𝑘) − 𝑔(𝑦) = [𝑓 ′(𝑥)]−^1 · 𝑘 + 𝑠(𝑘) =
= [𝑓 ′(𝑥)]−^1 [𝑓 ′(𝑥) · ℎ + 𝑟(ℎ)] + 𝑠(𝑘) ℎ = ℎ + [𝑓 ′(𝑥)]−^1 𝑟(ℎ) + 𝑠(𝑘) 𝑠(𝑘) = −[𝑓 ′(𝑥)]−^1 𝑟(ℎ).
Logo, 𝑠(𝑘) |𝑘| =^ −
[︂
𝑓^
]︂
Quando 𝑘 → 0 a razão ||ℎ𝑘|| permanece limitada e o fator entre colchetes tende a zero, o que mostra que 𝑔 é diferenciável para cada 𝑦 ∈ 𝑊 , com 𝑔′(𝑦) = [𝑓 ′(𝑥)]−^1 , onde 𝑦 = 𝑓 (𝑥). Portanto, 𝑓 |𝑉 : 𝑉 −→ 𝑊 é um difeomorfismo. Agora, basta mostrar que 𝑔 ∈ 𝐶𝑘. Para isso, vamos demonstrar que se temos uma apli- cação linear de classe 𝐶𝑘^ a inversão dessa aplicação também é de classe 𝐶𝑘. Para simplificar a notação seja 𝑖 : 𝐺𝐿(R𝑚) −→ 𝐺𝐿(R𝑚) a inversa, tomemos 𝑈 = 𝐺𝐿(R𝑚). Defina Φ : 𝑈 × 𝑈 −→ 𝑈 × 𝑈 por Φ(𝑋,𝑌 ) = (𝑋, 𝑋𝑌 ). Por- tanto, Φ ∈ 𝐶∞^ com Φ′(𝑋,𝑌 ) · (𝐻,𝐾) = (𝐻, 𝑋𝐾 + 𝐻𝑌 ). Então Φ′(𝑋, 𝑌 ) : 𝐿(R𝑚) × 𝐿(R𝑚) −→ 𝐿(R𝑚) × 𝐿(R𝑚) é um isomorfismo cujo inverso é dado por (𝐴,𝐵) ↦→ (𝐴, 𝑋−^1 𝐵 − 𝑋−^1 𝐴𝑌 ). Já sabemos que Φ é um difeomorfismo local, como Φ é injetiva, concluímos que Φ é um difeomorfismo. Em particular, sua inversa Φ−^1 : 𝑈 × 𝑈 → 𝑈 × 𝑈 , dada por Φ−^1 (𝑆, 𝑇 ) = (𝑆, 𝑆−^1 𝑇 ), é diferenciá- vel. O que equivale dizer que 𝜉 : 𝑈 × 𝑈 −→ 𝑈 , definida por 𝜉(𝑆, 𝑇 ) = 𝑆−^1 𝑇 , é diferenciável. Definamos 𝜂 : 𝑈 −→ 𝑈 × 𝑈 por 𝜂(𝑆) = (𝑆, 𝐼). A composta de 𝜉 ∘ 𝜂(𝑆) = 𝑆−^1 = 𝑖(𝑆), então 𝑖 : 𝑈 −→ 𝑈 é de fato um difeomorfismo (igual ao
Capítulo 1. Teorema da Função Implícita 20
seu inverso). Como 𝑋 · 𝑖(𝑋) = 𝐼, onde 𝐼 é a aplicação identidade, segue pela diferenciação que para todo 𝐻 ∈ 𝐿(R𝑚), 𝐻 · 𝐼(𝑋) + 𝑋 · 𝑖′(𝑋) · 𝐻 = 0, então 𝑖′(𝑋) · 𝐻 = −𝑋−^1 𝐻𝑋−^1 , segue que 𝑖(𝑋) = 𝑋−^1 é de classe 𝐶∞. Agora volta- remos ao fim da demonstração do teorema da função inversa. Já sabemos que 𝑔 = 𝑓 −^1 : 𝑊 −→ 𝑉 é diferenciável com 𝑔′(𝑦) = [𝑓 ′(𝑔(𝑦))]−^1 para todo 𝑦 ∈ 𝑊. A derivada 𝑔′^ : 𝑊 −→ 𝐿(R𝑚) é a composição de 𝑔′^ = 𝑖 ∘ 𝑓 ′^ ∘ 𝑔 onde:
𝑖(𝑋) = 𝑋−^1 : 𝑊 −→ 𝑉 −→ 𝐺𝐿(R𝑚) −→ 𝐺𝐿(R𝑚) ⊂ 𝐿(R𝑚)
Como 𝑓 ∈ 𝐶^1 , 𝑖, 𝑓 ′, 𝑔 são contínuas, então 𝑔′^ ∈ 𝐶^0 , logo 𝑔 ∈ 𝐶^1. Suponha agora que 𝑓 ∈ 𝐶^2. Então 𝑖,𝑔,𝑓 ′^ ∈ 𝐶^1 , o que implica que 𝑔′^ ∈ 𝐶^1 , portanto 𝑔 ∈ 𝐶^2. Repetiremos o processo sucessivas tantas vezes quanto forem necessárias.
Corolário 1.4.2. Sejam 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto e 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑚^ uma aplicação de classe 𝐶𝑘, 𝑘 ≥ 1. Uma condição necessária e suficiente para que 𝑓 seja um 𝐶𝑘-difeomorfismo local é que, para cada 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝑓 ′(𝑥) : R𝑚^ −→ R𝑚^ seja um isomorfismo.
1.5 Teorema da função implícita
Nesta seção faremos uma demonstração clássica do teorema da função implícita. Objetivamos também utilizar o teorema da função implícita para demonstrar o teorema da função inversa.
Definição 1.5.1. Seja 𝑈 ⊂ R𝑚^ um aberto. Uma aplicação diferenciável 𝑓 : 𝑈 −→ R𝑛^ é chamada uma submersão se, para todo 𝑥 ∈ 𝑈 a derivada 𝑓 ′(𝑥) : R𝑚^ −→ R𝑛^ é sobrejetiva. Isso só pode ocorrer quando 𝑚 ≥ 𝑛.