Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
documento sobre teoria da elasticidade para engenheiros civis
Tipologia: Esquemas
1 / 8
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Professor: Dr. Bernardo Nunes de Moraes Neto.
Belém – Pará – Brasil 2025
Todo material possui para uma dada extensão, a propriedade da
elasticidade, se forças externas produzem deformação na estrutura, não
excedendo um certo limite, a deformação desaparece com a remoção das forças.
Consideraremos neste trabalho que a matéria de um corpo elástico é
homogêneo. E para simplificação das discussões adotaremos que o corpo é
isotrópico. Conceituaremos tensão através de um enfoque físico e matemático,
utilizando princípio do limite, e exemplificando a teoria de equilíbrio de um corpo
para demonstrar fisicamente o conceito de tensão. Será feito o estudo de um
corpo sólido elementar e suas tensões atuantes num dado plano considerado.
Tomemos agora a Fig.02, a mesma representa um corpo em equilíbrio.
Sob a ação de forças externas, forças internas são produzidas entre as partes
do corpo. Para estudarmos a magnitude destas forças no ponto O, vamos
imaginar o corpo dividido em duas partes, a parte A e a parte B, através da seção
mm. Considerando uma das partes como exemplo a parte A, podemos afirmar
que a parte A está em equilíbrio sob a ação de forças externas e que em seu
interior há forças distribuídas através da seção mm e isto representa a ação do
material da parte B sobre o material da parte A. Isto pressupõe que as forças são
continuamente distribuídas sobre a área mm, da mesma maneira que a pressão
hidrostática ou a pressão do vento é continuamente distribuída sobre a superfície
na qual atua. A magnitude de tais forças são geralmente definidas por sua
intensidade, pelo valor da força por unidade de área da superfície em eles atuam.
Em discussão sobre forças internas esta intensidade é chamada tensão. Para
obter a magnitude da tensão em uma área δA da seção mm, no ponto O,
presume-se que as forças que atuam nesta elemental área, devido a ação do
material da parte B sobre a parte A, podem ser reduzidas a uma resultante δP.
Se tomarmos o elemento de área δA, o valor limite do raio δP/δA, nos dá a
magnitude da tensão atuando sobre a seção mm, no ponto O.
Fig.02 – Fonte: Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N. (1934)
Há dois tipos de forças externas atuantes em um corpo: as forças distribuídas
sobre a superfície do corpo, por exemplo a pressão de um corpo sobre outro ou
a pressão hidrostática, as mesmas são chamadas forças de superfície, e as
forças distribuídas sobre o volume de um corpo, como exemplo temos as forças
gravitacionais, ou um corpo e movimento, são denominadas forças de massa ou
forças de volume. A força de superfície por unidade de área será decomposta
em três componentes paralelas aos eixos coordenados cartesianos x, y e z e
serão usadas a notação destas componentes como, 𝑋
e as forças de
massa por unidade de volume serão decompostas em três componentes das
quais serão X, Y, Z. Denotaremos 𝜎 para as tensões normais e 𝜏 para a tensão
cisalhante. Para indicar a direção do plano no qual a tensão está atuando, serão
usados índices subscritos a estas letras. A figura 03 mostra um elemento cúbico
muito pequeno num ponto O, com as faces paralelas aos eixos coordenados, as
notações para as componentes de tensão, atuando na face deste elemento e os
seus sentidos estão tomados como positivos. As tensões normais são positivas
quando produzirem tração e negativas quando produzir compressão. Os
sentidos positivos de todas as componentes de tensão atuando na face direita
do elemento cúbico coincidem com os sentidos positivos dos eixos coordenados.
Os sentidos positivos serão todos invertidos se estivermos considerando a face
esquerda desse elemento.
Fig.03 – Fonte: Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N. (1934)
Os primeiros índices de 𝜏 associam a tensão com o plano perpendicular a um
dado eixo, o segundo indica a direção da tensão. Ou seja:
௫௬
= Simboliza perpendicular a x, no eixo y.
௫௭
= Simboliza perpendicular a x, no eixo z.
Forças internas atuam em áreas infinitesimais de um corte, estas forças e
tensões são melhores representadas em um cubo elementar, e assim feitas as
suas componentes e direções. A mecânica dos sólidos deformáveis, quer em
regime elástico ou regime plástico (o que não é objetivo deste trabalho), utiliza
esses conceitos básicos de tensões e deformações, complementando com as
equações constitutivas dos materiais, para equacionar e fundamentar o equilíbrio
dos corpos rígidos.
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Theory of elasticity. New York: McGraw-
Hill, 1934.
POPOV, E. P. Introdução a mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blücher
LTDA, 4ª reimpressão, 1998.
SÁNCHEZ, EMIL. Elementos de Mecânica dos Sólidos. Editora Interciência.
Rio de Janeiro. 2000.
