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4 – Expectância e Variância
Para descrever o comportamento probabilístico de uma variável aleatória deve-se especificar ou a função de distribuição F(x) ou a função de densidade de probabilidade, f(x) ou p(xi ). Em muitas aplicações é desejável expressar uma variável aleatória através de um único número. Este número deve agregar a maior quantidade de informação possível indicando o “centro” da distribuição de X.
O número mais importante e útil para a localização do “centro” da distribuição de X é a expectância ou média, indicada por E[X].
Definição: Se X é uma variável aleatória, então expectância E[X] de X é definida por:
xf(x)dx, no caso contínuo
x p(x ), no caso discreto
E [X]
i
i i
Se se interpretar a distribuição de probabiliade de X como uma distribuição de massa total 1, então E[X] representa o “centro de gravidade” da distribuição de massa, ou alternativamente, pode-se interpretar E[X] como a média ponderada dos valores de X, utilizando a função de densidade de probabilidade como a função de peso.
Exemplo: Considere uma experiência que admita dois resultados possíveis, “sucesso” ou “fracasso”, com probabilidades p e q, respectivamente. Estabeleça que a variável aleatória X associe o número 1 a um “sucesso” e 0 a um “fracasso”. Determine E[X].
Exemplo: Suponha que X tenha a função de densidade exponencial negativa.
0 para qualqueroutro valor
ae para 0 x
f(x)
ax
Calcular E[X].
4.1 – Funções de uma Variável Aleatória
Em muitas aplicações, uma variável aleatória Y é determinada diretamente por outra variável aleatória X, cuja distribuição é
conhecida. Para tanto, deve existir uma função que pode ser usada
para determinar os valores de Y a partir dos valores de X. Ou seja:
Y= (X)
Assim, para cada ponto amostral s, Y(s)= [X(s)].
A complexidade de vai indicar a dificuldade de se determinar Y a
partir de X. A forma mais comum para é a função linear:
Y = a X + b
Exemplos: Medição em uma escala e transformação desta em outra escala:
medida da temperatura. Se X representa uma temperatura aleatória em graus centígrados, Y = 9/5X +32 representará a mesma temperatura em graus Fahrenheit.
medida dimensional. Se X representa uma medida dimensional em polegadas, Y = 25,4 X representará a mesma medida em centímetros.
Nestes casos, a função de distribuição de Y é :
FY (y)Pr[Y y]Pr[aX b y ]
a
y b
Pr X
a
y b
FX para constante “a” positiva.
e as funções de densidade de probabilidade serão:
a
y b
pY (y) pX (caso discreto) e
a
y b
f
a
f Y (y) X (caso
contínuo)
4.4 – Momentos: Média e Variância
Um outro tipo simples de função (X) cuja expectância pode ser de
interesse é a função potência, ou seja, (X) = Xk, para k=1, 2, 3, ...
A expectância dessa função é denominada k-ésimo momento da
variável aleatória X, e é indicada por k ’:
x f(x)dx, no caso contínuo
x p(x ), no caso discreto
μ E[X ]
k
i
i
k i ' k k
O primeiro momento, 1 ’ , é a expectância ordinária de X, denominado
de média da variável aleatória, geralmente indicado por ou x :
= x = 1 ’ = E[X]
Exercício: Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade uniforme no intervalo 0 ≤ x ≤ 2:
0 , para qualquer outro valor
1 / 2 , para 0 x 2
f(x)
Encontre = E[X]
Com o objetivo de se eliminar o efeito da posição da origem na escala
de medida, é conveniente fazer uso da potência de X- , o desvio da
média, do que com potências de X. Assim, define-se :
k = E[(X- ) k^ ] para k=1, 2, 3, ...
como sendo o k-ésimo momento em torno da média da variável aleatória X. É claro que:
1 = E[X- ]=E[X]- = - = 0
A quantidade :
2 = E[(X- ) 2 ]
é de grande importância no campo da estatística, sendo denominada
de variância da dsitribuição e simbolizada por ^2 ou Var[X]:
(x μ ) f(x)dx, no caso contínuo
(x μ ) p(x ), no caso discreto
Var [X] σ μ
2
i
i
2 i
2
2
A rigor, ^2 é a média ponderada dos valores de (X- )^2. O cálculo de
^2 pode ser simplificado por:
^2 = E[(X- ) 2 ] = E[(X^2 -2 X+ ^2 )] = E[X 2 ]- 2 E[X]+ ^2
= E[X^2 ]- 2 ^2 + ^2 = E[X^2 ]- ^2 = 2 ’^ - ^2
= E[X^2 ]- {E[X]} 2
^ x
^2 grande
f(x)
x
^2 pequeno
f(x)
4.6 – Variância de uma Função de Várias Variáveis
Aleatórias
Seja S= (X,Y) dada pela soma de X e Y, com respectivas expectâncias
x =E[X] e y =E[y] bem como variâncias x^2 =E[(X- x )^2 ] e
y^2 =E[(Y- y )^2 ].
Assim, S=X+Y tem variância dada por:
S^2 = E[(S - s) 2 ] = E[(X + Y - x - y ) 2 ]
= E[(X- x ) 2 ] + E[(Y- y ) 2 ] + 2 E[(X- x )(Y- y)]
= x^2 + y^2 + 2 E[(X- x )(Y- y )]
O termo 2E[(X- x)(Y- y )] é denominado de covariância de X e Y.
Se X e Y forem independentes, então a covariância de ambos será nula e ter-se-á:
S^2 = x^2 + y^2
Esta expressão pode ser generalizada para a soma de mais de duas variáveis aleatórias e a combinações lineares. Se
n
i 1
S ai Xi
então,
n
i 1
2 Xi
2 i
2
σ S a σ
se X 1 , X 2 , ..., Xn são variáveis aleatórias independentes e a 1 , a 2 , ..., an constantes.
5 – Distribuições Especiais
Algumas funções de densidade de probabilidade são verificadas com tanta frequência que merecem um estudo mais detalhado. Nesta seção serão abordadas as seguintes funções de densidade de probabilidade :
. Função de Densidade de Bernoulli (discreta) . Função de Densidade Binomial (discreta) . Função de Densidade de Poisson (discreta) . Função de Densidade Uniforme (contínua) . Função de Densidade Exponencial Negativa (contínua) . Função de Densidade Normal (contínua)
5.1 – Função de Densidade de Bernoulli
A função de densidade de Bernoulli é a função de densidade de uma variável aleatória X que assume os valores 0 e 1 como únicos possíveis, em que:
p 0 =p(0)=Pr[X=0]=q
p 1 =p(1)=Pr[X=1]=p com p + q = 1
p i =p(i)=Pr[X=i]=0 para i 0, 1
Esta função tem E[X] = 0. q + 1. p = p e Var[X] = pq
Exemplos: 1) Se o experimento consiste no ato de escolher uma peça de um processo de fabricação e testá-la, Y pode representar o número de peças defeituosas entre n peças testadas.
- Se se considera n arremessos da moeda, Y pode representar o número de caras.
Funções de Densidade de Probabilidade Binomial (p/ alguns n e p)
5.3 – Função de Densidade de Poisson
Se X é uma variável aleatória com contradomínio 0, 1, 2, ..., e
0 , para qualquer outro valor
, para i 0 , 1 , 2 ,...
i!
λ e
Pr[X i ]
p
i λ
i
então o conjunto {p (^) i } é dito ser uma função densidade de Poisson. O parâmetro λ representa uma dada constante positiva.
Pode-se mostrar que com n →∞ e p pequeno, esta função tende para a função binomial, podendo ser usada como aproximação da mesma, usando np= λ.
Esta função apresenta média e variância igual a λ.
Funções de Densidade de Probabilidade de Poisson (p/ alguns λ )
5.5 – Função de Densidade Exponencial Negativa
Uma variável aleatória contínua com contradomínio 0 ≤ x ≤ ∞ é dita como tendo uma distribuição exponencial negativa caso tenha uma função de densidade de probabilidade da forma:
0 , para x 0
ae , para 0 x
f(x)
ax ,
onde a é uma constante positiva.
Funções de Densidade Exponencial Negativa (p/ alguns “a”)
A média e a variância são dadas respectivamente por:
a
μ E[X]
2
2 2
a
σ E[X ] μ
Exemplo: A experiência indica que a vida remanescente de um determinado tipo de lâmpada não é afetada por uso anterior. Verifica-se que em uma amostra de 100 dessas lâmpadas, a sua vida média é de 1.000 horas. Estime a probabilidade de que se duas lâmpadas novas forem selecionadas e instaladas, ambas estarão queimando 1.200 horas depois.
Esta distribuição tem aplicação para aquelas variáveis aleatórias que representam os tempos de vida de determinados tipos de equipamento, ou como o intervalo de tempo entre eventos que ocorrem em uma sequência aleatória (chegada de clientes a uma estação de atendimento, chamadas telefônicas em uma central telefônica, tempo de atendimento de clientes, etc).
A grande importância desta distribuição está relacionada com a propriedade de “esquecimento” que ela apresenta. Por exemplo, se X corresponde ao tempo de vida de um determinado equipamento, e o equipamento já está em funcionamento por algum tempo, a distribuição do tempo de vida restante não depende do tempo em que o mesmo já esteve em funcionamento. Ou seja, uma eventual avaria é resultante de alguma falha repentina e não de uma deterioração gradual.
A distribuição normal tem aplicação bastante ampla no campo da
Estatística, além de servir para aproximar convenientemente algumas distribuições, como a distribuição binomial e a distribuição de Poisson. Tabela de Probabilidades para a Distribuição Normal Padrão
- Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0, Distribuição Normal Padrão Acumulada
- 0,00 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,
- 0,10 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,
- 0,20 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,
- 0,30 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,
- 0,40 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,
- 0,50 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,
- 0,60 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,
- 0,70 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,
- 0,80 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,
- 0,90 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,
- 1,00 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,
- 1,10 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,
- 1,20 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,
- 1,30 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,
- 1,40 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,
- 1,50 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,
- 1,60 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,
- 1,70 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,
- 1,80 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,
- 1,90 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,
- 2,00 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,
- 2,10 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,
- 2,20 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,
- 2,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,
- 2,40 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,
- 2,50 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,
- 2,60 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,
- 2,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,
- 2,80 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,
- 2,90 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,
- 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,
- 3,10 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,
- 3,20 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,
- 3,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,
- 3,40 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,
- 3,50 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,
- 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,
- 3,70 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,
- 3,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,
- 3,90 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,
