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Apostila de Teoria Eletromagnética da UFU.
Tipologia: Notas de estudo
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Prof.Prof.Prof.Prof. Dr.Dr.Dr.Dr. GeraldoGeraldoGeraldoGeraldo CaixetaCaixetaCaixetaCaixeta GuimarãesGuimarãesGuimarãesGuimarães
S SUUMMÁÁRRIIOO i
INTRODUÇÃO GERAL iii
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
I INNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iii
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e
correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até
se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo,
considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes
princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do
Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas
equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos
alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc.
aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de exercícios,
e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado.
abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para
auxiliar a aprendizagem.
Exercícios Propostos de Eletromagnetismo , a qual tem o objetivo de servir de roteiro de
aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na exposição de
assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindo assim que mais
tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina.
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando
com isto facilitar o entendimento e a auto-aprendizagem do aluno.
equipamentos audio-visuais, microcomputador e datashow.
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
I INNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iv
Prestar atendimento aos alunos, auxiliando-os na solução de listas de exercícios,
Corrigir as listas de exercícios que forem entregues pelos alunos,
Auxiliar o professor na correção de testes aplicados durante o curso,
Auxiliar o professor na supervisão da aplicação de provas e/ou testes.
não são incluídas questões do tipo teste de múltipla escolha.
período, podendo estes ocorrem de surpresa, a critério do professor.
cada uma, indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes
capítulos, tomando como base o livro texto (referência [1]) e o livro de exercícios adotado
(referência [2]). Os exercícios são definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno
tenha os mesmos quatro exercícios de seu colega. Cada lista deverá ser entregue até no
máximo uma semana após o encerramento das aulas correspondentes ao capítulo da lista.
Freqüência mínima de 75% nas aulas ministradas, a qual é verificada através de
chamada oral e/ou assinatura de lista de presença em sala de aula;
Soma total das notas obtidas nas diversas avaliações igual ou superior a 60 pontos de
um total de 100 pontos, os quais são distribuídos segundo o quadro abaixo.
TIPO DE AVALIAÇÃO VALOR DATA
Primeira Prova (Capítulos I a IV) 20
Segunda Prova (Capítulos V e VI) 20
Terceira Prova (Capítulos VII a IX) 30
3 Testes Rápidos (4 pontos cada um) 12
9 Listas de Exercícios (2 pontos cada uma) 18
Total = 100
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FORMULÁRIO GERAL vi
∂ t
E L d t
d S
d t
H L d t
d I S
d dv
D • S = ρ
d 0 S
Permissividade elétrica do vácuo: π
ε = × ≅
− −
9 12
−
7
S
D d S
Teorema da Divergência: d ( ) dv
Equação de Poisson:
2 V
ρv
ε
Equação de Laplace:
2 V 0
π
2 4 R
I d L a R H
onde I d L K dS J dv
Lei Circuital de Ampère: enlacada
Teorema de Stokes: (^) ∫ H • d L =∫ (∇ × H )•d S S
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FORMULÁRIO GERAL vii
= εo +
=χeε o
=ε
ε = ε (^) r εo
E (^) vol dv 2
t
fem = −
= E • d L
fem
( ) S
v B L d t
d S
fem
S
B d S
2
H
1
2 12 12 I
B ( H M )
= μo +
=χ m
=μ
μ = μ (^) r μo
vol
H dv 2
F ( v B )
F F F ( E v B )
d = Id ×
T r F S B
d = ×d =Id ×
d m =Id S
T m B
d = d ×
H = −∇ ( J = 0 )
V m
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FORMULÁRIO GERAL ix
u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.
dx
3. a udx= a udx+C
n 1
u u du
n 1 n
≠−
= u+C u
du ln
e du= e +C
u u
a
a a du
u u = + > ≠
ln
senudu= −cosu+C
cosudu= senu+C
10. tg udu=− cosu+C= secu+C
ln ln
11. cotg udu= senu+C=− cosecu+C
ln ln
sec udu= ln secu+tgu+C
u tg (^) +
π = ln +
cosec udu= − ln cosecu+cotgu+C
u tg (^) +
ln
sen 2 u
u sen udu
2
sen 2 u
u cos udu
2
sec udu= tgu+C
2
cosec udu= −cotgu+C
2
tg udu= tgu−u+C
2
cotg udu= −cotgu−u+C
2
secutgudu= secu+C
cosecucotgudu= −cosecu+C
a
u arctg a
u a
du
2 2
u a
u a
2 a
u a
du
2 2
ln
a u
a u
2 a
a u
du
2 2
ln
a
u arcsen
a u
du
2 2
a
u u a
u a
du
2 2
2 2
ln
27. u u a C
u a
du (^22)
2 2
ln
a
u arcsec a
u u a
du
2 2
u
a u a
a
u u a
du
2 2
2 2
ln
u
a a u
a
u a u
du
2 2
2 2
ln
( )
u a
u
a
u a
du
2 2 3 /^2222
2 2 2 2 a u 2
u a −u du= −
a
u arcsen 2
a
2
2 2 2 2 u a 2
u u ±a du= ±
u u a C
2 2 ± ln + ± +
u dv= uv− vdu (Integração por partes)
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa,
Ex.: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.
Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre
positivo.
Ex.: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
Notação: Seja x y
2 2 φ= + +
Se φ = potencial ⇒
Se φ = temperatura
Se φ = pressão ⇒
Ex.: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.
Notação: Seja E 3 ax 4 a
Se (^) E
= campo elétrico
possuindo módulo igual a
(também chamados de versores):
Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota
que seu módulo pode ser representado por
O produto escalar entre 2 vetores
Propriedades do produto escalar
(a) A B B A
(b) A • B= 0
(c)
(^2 ) A • A=A =A
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
TTOORRIIAALL
Capítulo I
Representada por um número real, positivo ou negativo.
: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, etc.
Representada por uma magnitude, direção e sentido.
: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.
No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre
Cada ponto da região é representado por um escalar.
: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
z 100
2
⇒ temos uma superfície equipotencial esférica.
= temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica.
⇒ temos uma superfície isobárica esférica.
Cada ponto da região equivale a um vetor.
: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.
y 5 a z
= campo elétrico ⇒ temos uma região onde o campo elétrico é uniforme,
possuindo módulo igual a E = 5 2
e direção fixa definida pelos vetores unitários
(também chamados de versores): ax
, ay
e az
No curso de Eletromagnetismo adota-se a seguinte notação para vetores:
que seu módulo pode ser representado por A
ou A , ou, simplesmente, A.
O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como:
(θ = menor ângulo entre A e B )
Propriedades do produto escalar:
(propriedade comutativa)
B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
1
, positivo ou negativo.
volume, temperatura, pressão, etc.
No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo,
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre
: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
temos uma superfície equipotencial esférica.
temos uma superfície isotérmica esférica.
onde o campo elétrico é uniforme,
e direção fixa definida pelos vetores unitários
se a seguinte notação para vetores: A
ou A , sendo
, ou, simplesmente, A.
(o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
(i) Aplicação do produto vetorial
Obtenção do vetor ou versor normal
por 2 vetores A e B.
a (^) n
(ii) Aplicação do produto vetorial
Obtenção da área de um
vetores A e B.
S (^) paralelog ramo=Base×
S (^) triângulo = paralelog
Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto
misto:
vol (A B) C
sendo (^) A
e (^) C
paralelepípedo.
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
TTOORRIIAALL
Aplicação do produto vetorial:
versor normal a um plano formado
(vetor normal)
(versor normal
Aplicação do produto vetorial:
de um paralelogramo (ou triângulo) cujos lados são as magnitudes dos
Altura BA A B
× = sen θ= ×
log ramo
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto
, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do
Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
3
) cujos lados são as magnitudes dos
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto
, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
SISTEMA (^) Cartesiano
Cartesiano
z z
y y
x x
Cilíndrico
z z
tan (y/x) 0
x y
2 2
φ =
ρ= + ρ
Esférico
(
θ= +
tan y/ x
tan x y
r x y z
2 2 2
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas
Nota: O produto escalar entre o vetor unitário
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário
esférico ar
(ou aθ
) e sua projeção no plano
por esta projeção e o vetor unitário
ρ
φ
x
y
z
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
TTOORRIIAALL
Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
Cartesiano Cilíndrico
z z
y sen
x cos
=ρ φ
=ρ φ
≤φ≤ π
z = z
φ=φ
ρ= ρ
)
≤φ≤ π
≤θ≤π
z 0
r 0
( )
φ=φ ≤φ≤ π
θ= ρ ≤θ≤π
= ρ + ≥
tan z 0
r z r 0
2 2
Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas
O produto escalar entre o vetor unitário ax
(ou ay
) e o vetor unitário
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário
) e sua projeção no plano xy , multiplicado pelo coseno do ângulo formado
or unitário ax
(ou ay
r
θ
x
y
z
z
4
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
Esférico
= θ
= θ φ
= θ φ
z rcos
y rsen sen
x rsen cos
= θ
φ=φ
ρ= θ
z rcos
rsen
π φ=φ
θ=θ
r= r
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e esféricas
) e o vetor unitário ar
(ou aθ
) do sistema
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário
, multiplicado pelo coseno do ângulo formado
θ
φ
cos φφφφ - sen φφφφ
sen φφφφ cos φφφφ
sen θθθθ^0
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por:
7 π/9, z = 2 e z = 20. Determinar:
a) O volume determinado pela
b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
Respostas: a) Volume = 375
1.2) Um vetor E a a
= ρ + φ +
a) o vetor E
no sistema de coordenadas cartesianas;
b) o ângulo θ que o vetor E
c) as duas componentes vetoriais de
Respostas: a) E a x a
c) (^) N ( (^) x 3
E a
1.3) Um vetor (^) A
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5;
origem de um sistema de coordenadas
a) coordenadas esféricas no ponto P.
b) coordenadas cartesianas no ponto
Respostas: a) A^ =−^10 a r
; b)
1.4) Dado o vetor A a x a y
a) As coordenadas esféricas
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
faz com o semi
1.5) Um vetor A
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa
o , φ = 0
o ) e
Determinar:
a) O vetor A
expresso em coordenadas cartesianas;
b) O ângulo que o vetor A
c) O módulo da projeção do vetor
Respostas: a) A =− 2 , 21 a
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
TTOORRIIAALL
As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ
/9, z = 2 e z = 20. Determinar:
O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração;
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
Respostas: a) Volume = 375π; b) PQ = 21,.
a z
. Determinar:
no sistema de coordenadas cartesianas;
as duas componentes vetoriais de (^) E
normal e tangencial à superfície plana.
a (^) y a z
o ;
a (^) y a z )
E a a a
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5;
origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em:
coordenadas esféricas no ponto P.
coordenadas cartesianas no ponto P.
; b) A =− 5 a x − 5 a y − 5 2 a z
y a z
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.
o ; c) β = 123,
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa
o , φ = 90
o ) , e orientado no sentido de P a Q.
expresso em coordenadas cartesianas;
faz com o vetor normal à superfície plana z = 0;
O módulo da projeção do vetor A
sobre a superfície plana z = 0.
a (^) x + 7 , 67 a y + 0 , 59 a z; b) α = 85,
o ; c) Proj
6
= 10, φ = 2π/9 e φ =
superfícies em questão, utilizando integração;
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície
normal e tangencial à superfície plana.
a z )
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = π/4; φ = π/4) à
. Expressar este vetor em:
, y = 1, z = 2), determinar:
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.
o ; d) γ = 142,
o .
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos
) , e orientado no sentido de P a Q.
mal à superfície plana z = 0;
Proj A = 7 , 98.
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.6) Transformar o vetor E = 5
a) A(r = 4, θ = 30
o , φ = 120
b) B(x = – 2 , y = 2 , z =
Respostas: a) E a 4
= r +
1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1,
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:
a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado;
b) Os vetores normais de área,
esférico nas direções dos vetores unitários
c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
d) O vetor
→ AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
Respostas: a) vol. = 36
13 π ; b)
d) AB = 1 , 3713
1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10,
Determinar:
a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta;
b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento.
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento
1.9) a) Se os vetores A =xa
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.
Respostas: a) x = –1,5, y =
b) vol. = 20,25 unidades de volume
1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas
Determinar:
a) A distância entre os 2 pontos medida em
b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.
Respostas: a) AB = 5,32 unida
c) 64,
o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
TTOORRIIAALL
5 x a x
para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:
o );
, z = –2).
a θ (^) a φ 2
= r −
Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = π/3, φ = π/6) e B(r = 3, θ = π/2,
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:
(vol) da porção de volume esférico formado;
Os vetores normais de área, S r
, S θ
S φ
, que saem da superfície da porção de volume
esférico nas direções dos vetores unitários a r
, a θ
e a φ
, respectivamente ;
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
; b) (^) r r 8
S a
(^) π
= , (^) θ θ
π S = a
, (^) φ φ
π S = a
; c) AB = 2,
3713 a (^) x+ 1 , 6883 a y− 0 , 5 a z= 1 , 5093 a r + 1 , 4487 a
Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45
o , φ = 0
o ) e B(r = 10, θ = 60
entre os dois pontos medida em linha reta;
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
a) d = 11,37 unidades de comprimento.
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento.
a (^) x + 3 ay+ 3 a z, B = 2 ax +yay+ 2 az, e
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.
1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento;
b) vol. = 20,25 unidades de volume
Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas ( )
o o r = 5 ,θ= 60 ,φ= 30 e (r =
A distância entre os 2 pontos medida em linha reta;
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.
a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;
= 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.
7
para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:
a θ (^) + 5 a φ.
/2, φ = π/4), os quais
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.
, que saem da superfície da porção de volume
, respectivamente ;
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas.
; c) AB = 2,
a (^) θ + 0 , 7786 a φ.
o , φ = 90
o ).
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
, e C = ax +ay+zaz,
)
o o = 5 , θ= 30 ,φ= 120.
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
des de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 9
Capítulo II
Força de uma carga Q 1 sobre uma carga Q 2 :
2 12 o 12
1 2 2 a 4 R
πε
onde:
R 12 = vetor orientado de Q 1 a Q 2
a 12 = versor orientado de Q 1 a Q 2
Notas: O módulo de F 2 depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio.
Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5.
A orientação de F 2 (ou sentido de F ) depende apenas 2 dos sinais das 2 cargas pontuais.
Força de uma carga pontual Q 1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P:
2 1 P o 1 P
1 P P a 4 R
πε
Campo elétrico gerado pela carga pontual Q 1 no ponto P (definição):
2 1 P o 1 P
1
P
P a
4 R
πε
= = (Unidade: N/C ou V/m)
Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q 1 ).
Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e
entram (ou convergem) para as cargas negativas.
Campo elétrico gerado por n cargas pontuais:
n
m 1
2 o m
m a
4 r r
E r ∑
πε −
=
[V/m]
onde: Qm = m-ésima carga pontual
r m = posição da m-ésima carga pontual
r = posição do ponto onde se quer o campo
m
m m r r
r r a −
= = versor da m-ésima carga pontual
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
C Caappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 10
Definindo
dv
dQ ρ (^) v = = densidade volumétrica de carga (em C/m
3 ), temos que dQ = ρvdv.
Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é:
2 o
sendo:
a (^) R = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo)
R = distância de dQ ao ponto P
εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m]
Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto.
Definindo dL
dQ ρ (^) L = = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL.
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma
ρ πε ρ
ρ = a
2
E
o
L
sendo:
ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante)
ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m]
a (^) ρ= versor normal à linha orientado para o ponto P
Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre
o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos:
dQ =ρL dz
R = −zaz +ρa ρ e
2 2 R = z +ρ ⇒
2 2
z R
z
za a
a
− + ρ = =
ρ
Substituindo na fórmula geral acima obtemos:
( )
( )
( )
ρ
ρ ρ = +
πε +ρ
ρ − + ρ +∞
=−∞
+ρ
− + ρ
πε + ρ
+∞ ρ
=−∞
4 z
dz za a
z z
za a
4 z
dz
z
E (^) z 2 23 /^2 o
L z
2 2
z
2 2 o
L
Por simetria Ez = 0.
