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Teste de Hipóteses
Nesta aula estudaremos outro aspecto de inferência estatística: o Teste de
Hipóteses.
Objetivo: Decidir se uma conjectura sobre determinada característica de uma ou mais
populações é, ou não, apoiada pela evidência obtida dos dados amostrais. Tal
conjectura é o que se chama hipótese estatística, e a regra usada para decidir se ela
é verdadeira ou não é o teste de hipótese.
Exemplo: Com base na produtividade de uma hortaliça cultivada em uma área onde
foi usado um novo fertilizante, e em outra área onde se utiliza o fertilizante padrão,
temos de decidir se o novo fertilizante é, ou não, melhor. A dificuldade aqui − e daí a
necessidade de métodos estatísticos − é que a produtividade varia de planta para
planta.
Os testes de hipóteses permitem-nos tomar decisões em presença da variabilidade,
ou seja, verificar se estamos diante de uma diferença real (significativa) ou de uma
diferença devida simplesmente à flutuação aleatória ao processo.
Hipótese estatística: Uma hipótese estatística, que denotaremos por H, é qualquer
afirmação sobre a população em estudo.
Na formulação de um teste de hipóteses, duas hipóteses são definidas. A hipótese de
investigação, H
a
, denominada hipótese alternativa e a hipótese nula, H
0,
que consiste
na negação de H
a
. Então, o teste de hipóteses consiste numa regra de decisão entre
H
0
e H
a
. Nesta regra de decisão são utilizadas as informações obtidas na amostra.
Exemplos :
- Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação
de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com
cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico,
com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Admite-se que o tempo de
reação segue, em geral, o modelo N(8 seg; 2 seg). O pesquisador desconfia,
entretanto, que o tempo médio sofre alteração por influência da substância.
Neste caso, as hipóteses de interesse são:
H
0
: as cobaias apresentam tempo de reação padrão
H
a
: as cobaias apresentam tempo de reação alterado
Em termos estatísticos, tais hipóteses envolvem o parâmetro e podem ser escritas
como
H
0
: = 8,0 seg
H
a
: ≠ 8,0 seg
Por conveniência técnica, sempre, deixamos a igualdade na hipótese nula e em H
a
a
hipótese que desejamos investigar.
Queremos decidir entre H
0
e H
a
Em todo processo de decisão existe a chance de uma decisão errada. Neste processo
de decisão dois tipos de erro são possíveis, como mostra o quadrado seguinte.
Erros possíveis associados a teste de hipóteses
decisão incorreta
(Erro tipo II)
decisão correta
Não rejeitar H
0
decisão incorreta decisão correta
(Erro tipo I)
Rejeitar H
0
H
0
H falsa
0
Decisão verdadeira
Situação Real
Podemos rejeitar H
0
quando H
0
é verdadeira, que consiste no erro tipo I e podemos
não rejeitar H
0
quando H
0
é falsa, que consiste no erro tipo II.
No exemplo anterior, estes dois erros são:
Erro tipo I : concluir que as cobaias apresentam tempo de reação alterado quando na
verdade ele não é concluir que ≠ 8 quando na verdade = 8.
Erro tipo II : concluir que as cobaias apresentam tempo de reação padrão quando na
verdade ele é concluir que = 8 quando na verdade ≠ 18.
As probabilidades do erro tipo I e do erro tipo II serem cometidos são,
respectivamente:
= P(erro tipo I) = P(rejeitar H
0
| H
0
verdadeira) = nível de significância do teste
= P(erro tipo II) = P(não rejeitar H
0
| H
0
falsa)
Os dois tipos de erro são indesejáveis.
Para um tamanho de amostra fixo, isto é, coletados os dados, não é possível
controlar os dois erros simultaneamente.
Então, queremos encontrar uma regra de decisão entre H
0
e H
a
tal que o erro tipo I
seja controlado.
1.Teste de Hipóteses para uma média populacional
1.1 - População Normal,
conhecido
População X ~ N (
Estatística de teste:
Teste unilateral esquerdo: Região crítica: RC:. Z
obs
< - z
H
0
0
ou H
0
H
a
0
ou H
a
0
n
X
Z
sob H
o
verdadeira Z ~ N (0 ; 1)
RC
p-valor: p = P(Z < Z
obs
) , rejeita-se H
0
se p <
Teste unilateral direito: Região crítica: RC:. Z
obs
z
a
H
0
0
ou H
0
0
H
a
0
ou H
a
0
p-valor: p = P(Z > Z
obs
) , rejeita-se H
0
se p <
z
RC
Teste bilateral: Região crítica: RC:. Z
obs
< - z
ou Z
obs
z
H
0
0
H
a
0
z
z
RC
RC
p-valor: p = 2P(Z > | Z
obs
| ) , rejeita-se H
0
se p <
Exemplo : Suspeita-se de que o tempo gasto para a extração de minério utilizando-se
uma nova técnica esta sendo maior do que o tempo gasto com a técnica padrão, que
é em média 69,8 h. É sabido, de estudos anteriores, que o tempo gasto com a nova
técnica tem distribuição normal com desvio-padrão de 1,86 h. Para verificar essa
suspeita, foram feitas 50 extrações utilizando-se a nova técnica e o tempo gasto em
cada uma delas foi medido, obtendo-se média igual a 70,59 h.
Deseja-se testar se o tempo gasto com a nova técnica é superior ao tempo gasto cmo
a técnica padrão.
Isto é, queremos testar se: H
0
: = 69,8 versus H
a
: > 69,8 (teste unilateral direito).
Temos que: = 1,86, n = 50
Como os dados são de uma distribuição normal com conhecido usamos a
estatística de teste Z.
RC.: Z
obs
z
, para = 0,05 RC.: Z
obs
obs
Z
n
X
Z
RC
Como Z
obs
1,64, conclui-se que existem
evidências amostrais para se rejeitar H
o
ao nível de significância = 5%.
Logo, há evidências de que o tempo gasto para extração de
minério com a nova técnica é maior que o tempo gasto com a
técnica padrão, ao nível de significância de 5%.
p-valor = P(Z>3,00) = 0,5 - P(0<Z<3,00) = 0,5 - 0,4987 = 0,
0,0013 < 0,05 rejeita-se H
0
Exemplo1 : Um teste de resistência à ruptura feito em uma amostra de seis cordas
acusou resistência média de 3770 kg com desvio padrão de 66 kg. O fabricante
afirma que seu produto tem resistência média superior a 3650 kg. Considerando que
a resistência à ruptura da população de cordas segue uma distribuição normal, pode-
se justificar a alegação do fabricante, no nível de significância de 1%?
O teste de interesse é:
H
0
: A alegação não é válida
H
a
: A alegação do fabricante é válida
Isto é,
H
0
: = 3650 versus H
a
Sendo
2
desconhecido usaremos o estimador S
2
Assumindo que a amostra de 6 cordas é de uma população N( ; ), usaremos a
estatística de teste T, pois é desconhecido e n é pequeno
RC.: T
obs
< t
; n- 1
n
s
X
T
X 3770 S 66
obs
T
Para = 0,01 e = n-1 = 6 - 1 =
graus de liberdade t
5, 0,
(valor encontrado na tabela da distribuição t.
RC.: T
obs
Portanto, como T
obs
pertence à RC, decidimos pela rejeição da hipótese nula, ou
seja, a alegação do fabricante é provável, ao nível de significância de 1%.
p-valor = P(T > 4,45). Nesse caso não é possível, com a tabela t que temos,
determinar exatamente o valor p. Podemos afirmar que é menor que 0,
(probabilidade correspondente a t = 4,032 com 5 gl. Como é menor que 0,01,
rejeitamos H0. O valor exato do p-valor é 0,00335.
2 : Deseja-se investigar se uma moléstia que ataca o rim altera o consumo de oxigênio
desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição
Normal com média 12 cm
3
/min. Os valores medidos em 16 pacientes com a moléstia
foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7; 13,5; 14,6; 13,0; 13,7; 14,5; 14,8; 13,9; 14,0; 14,3; 15,0;
13,3 e 12,9. Qual seria conclusão, ao nível de 1% de significância?
O teste de interesse é:
H
0
: A moléstia não altera a média de consumo renal de oxigênio
H
a
: Indivíduos portadores da moléstia têm média de consumo renal de oxigênio
alterada
Isto é,
H
0
: = 12 versus H
a
Sendo
2
desconhecido usaremos o estimador S
2
2 2
2
n
x x
S
n
x x
S
i i
Assumindo que a amostra de 16 pacientes é de uma população N( ; ), usaremos a
estatística de teste T.
RC.: T
obs
< - t
/ 2 ; n- 1
ou T
obs
< t
/ 2 ; n- 1
n
s
X
T
2
1
n
x x
S
n
x
X
i
n
i
i
obs
T
Para = 0,01 e = n-1 = 16 - 1 =
graus de liberdade t
15, 0,
(valor encontrado na tabela da distribuição t.
RC.: T
obs
< - 2,947 ou T
obs
Portanto, como T
obs
pertence à RC, decidimos pela rejeição da hipótese nula, ou
seja, a moléstia tem influência no consumo médio de oxigênio ao nível de
significância de 1%.
T
2 , 947
0
RC RC
Teste bilateral: Região crítica: RC:. Z
obs
< - z
ou Z
obs
z
H
0
0
H
a
0
Exemplo : Um laboratório farmacêutico introduz no mercado um novo comprimido
contra dor de cabeça, retirando de circulação o antigo, com a justificativa de que o
novo produto tem ação mais rápida. O remédio que estava no mercado tem um
tempo médio de 37 minutos para o início do efeito. Em uma amostra de 34 pessoas
que tomaram o novo comprimido, obteve-se um tempo médio de 36 minutos, com
desvio padrão de 4 minutos. Ao nível de significância de 5% podemos afirmar que o
novo comprimido tem ação mais rápida?
Solução :
H
0
: = 37 (o novo comprimido não é melhor que o antigo)
H
a
: < 37 ( o novo comprimido tem ação mais rápida que o antigo)
Estamos diante de uma situação em que não conhecemos a distribuição, mas o
tamanho da amostra, n = 34, pode ser considerada grande. Devemos, pois, usar o
Teorema Central do Limite.
p-valor: p = 2P(Z > | Z
obs
| ) , rejeita-se H
0
se p <
z
Estatística de teste:
RC.: Z
obs
< Z
Pela tabela da distribuição Normal, z
0,
= - 1,64. Então, a RC é dada por: Z < - 1,64.
O valor de Z calculado, Z
obs
, com base na amostra não está na região
de rejeição, RC. Logo, não rejeitamos H
0
e concluímos que o tempo
médio de ação do novo comprimido não é inferior ao tempo
médio de ação do comprimido que estava no mercado,
ao nível = 0,05.
Utilizando o p valor, teríamos: p = P(Z < - 1,46) = 0,5 - 0,4279 = 0,00721. Como p >
0,05, não rejeitamos H
0
n
s
X
Z
obs
Z
RC
2.Teste de Hipóteses para uma proporção populacional, grandes amostras
Estatística de teste:
Teste unilateral esquerdo: Região crítica: RC:. Z
obs
< - z
H
0
: p p
0
ou H
0
: p ≥ p
H
a
: p < p
0
ou H
a
: p < p
0
RC
p-valor: p = P(Z < Z
obs
) , rejeita-se H
0
se p <
Teste unilateral direito: Região crítica: RC:. Z
obs
z
a
H
0
: p = p
0
ou H
0
: p ≤ p
0
H
a
: p > p
0
ou H
a
: p > p
0
p-valor: p = P(Z > Z
obs
) , rejeita-se H
0
se p <
z
RC
Teste bilateral: Região crítica: RC:. Z
obs
< - z
ou Z
obs
z
H
0
: p = p
0
H
a
: p ≠ p
0
z
z
RC
RC
p-valor: p = 2P(Z > | Z
obs
| ) , rejeita-se H
0
se p <
N
n
p p
p p
Z
n
p p
p N p
n
p p
p p
Z
0
0
