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Apresentação
Integrar uma função não é uma tarefa tão simples quanto derivá-la. Não há regras que garantam a
obtenção de sua antiderivada. No caso da derivada, para cada tipo de função (p. ex., produto,
quociente ou composição), existe uma regra para determinar a derivada, o que não acontece na
integral.
Para maior facilidade de compreensão desse tópico, é necessário que você esteja familiarizado com
as regras e a tabela de integral, bem como com as regras de fatoração e simplificação de
polinômios.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar um método alternativo para resolver algumas
integrais. Trata-se das funções racionais que apresentam, em alguns casos, descontinuidades. O
método consiste em reescrever a fração do integrando em uma soma de outras frações mais
simples, de modo que a integração seja, necessariamente, mais simples.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
- Identificar os processos que adaptam as frações ao método.
- Relacionar o tipo de fração ao processo de resolução.
- Demonstrar a aplicação do método das frações parciais.
Desafio
O método das frações parciais é essencial para simplificar integrais que envolvem funções
racionais. Algumas integrais envolvendo frações apresentam certa dificuldade para serem
resolvidas. Suas dificuldades são minimizadas quando se faz a decomposição da função racional em
frações parciais.
Como exemplo, pode-se citar a análise da quantidade de uma população de peixes a partir de sua
função densidade, aplicando frações parciais. Então, imagine que você é um biólogo e deseja saber
a população de peixes (em milhares) em um lago com formato circular com raio de 3 km. A função
densidade de peixes é dada pela função: que calcula a densidade
populacional de peixes em um dado raio r. Para determinar a quantidade de peixes no lago, é
necessário resolver a integral
A partir dessas informações:
a) Escreva a função racional da integral como decomposição em frações parciais.
b) Encontre a população total de peixes no lago.
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Conteúdo do livro
O método das frações parciais é utilizado para resolver alguns tipos de integrais envolvendo razão
entre polinômios. A importância do método está no fato de que ele facilita muito a resolução das
integrais.
No capítulo Método das frações parciais, da obra Cálculo: integrais e funções de várias variáveis , base
teórica desta Unidade de Aprendizagem, você irá aprender como integrar funções racionais
utilizando o método das frações parciais.
Boa leitura.
Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Identificar os processos que adaptam as frações ao método. Relacionar o tipo de fração ao processo de resolução. Demonstrar a aplicação do método das frações parciais. Introdução Alguns tipos de integrais envolvem funções racionais, quocientes entre polinômios, do tipo: Essas integrais nem sempre são de fácil resolução, embora existam alguns métodos que ajudam a simplificá-los. Neste capítulo, você vai estudar como integrar funções racionais, utilizando o método das frações parciais, com o objetivo de reescrever a função racional em frações mais simples, cuja integral você já sabe resolver. Adaptação das frações ao método Para identificarmos o método das frações parciais, considere as frações algébricas: Ao efetuarmos a seguinte operação:
devemos reduzi-la a um mesmo denominador comum: O método das frações parciais consiste em realizar o passo contrário do apresentado anteriormente. Dada a fração: Devemos expressá-la como a soma de frações mais simples. No caso, podemos reescrever: como: De forma geral, dada a função racional: onde P ( x ) e Q ( x ) são polinômios.
Para verificarmos a igualdade, basta resolvermos a soma: Exemplo 2 Considere, agora, a função racional: Como o grau de P ( x ) é maior que o de Q ( x ), devemos realizar a divisão de P ( x ) = x^3 – x^2 + 4 x + 4 por Q ( x ) = x^2 – 2 x – 3 para, então, separar em frações parciais o termo , se necessário. Ao efetuarmos a divisão: obtemos: Assim:
O próximo passo é reescrever como a soma de frações mais simples. Nesse caso: Para verificarmos essa igualdade, basta resolvermos a soma: Assim: Exemplo 3 Considere a função racional: Como o grau de P ( x ) é maior que o de Q ( x ), devemos realizar a divisão de x^3 + x por Q ( x ) = x – 1 para, então, separar em frações parciais o termo , se necessário.
Vimos que devemos decompor a função em frações parciais, se f ( x ) for uma função própria e f ( x ) for imprópria. Efetuamos a divisão e reescrevemos: E, por fim, decompomos em frações parciais. Vamos analisar os tipos de funções racionais e como decompor em frações parciais. Para decompor em frações parciais, fatoramos o denominador Q ( x ). De acordo com a fatoração, exibimos os quatro casos de decomposição em frações parciais (STEWART, 2008). Denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos Nesse caso, podemos escrever: onde nenhum fator é repetido ou múltiplo escalar de outro. Assim, o teorema das frações parciais garante que existem constantes A 1 , A 2 , ⋯, An , tal que:
Exemplo 4
Vamos decompor a função: em frações parciais.
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos dividir. O denominador pode ser fatorado como: Como o denominador tem três fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais de f ( x ) tem a forma: Para determinar os valores de A 1 , A 2 , A 3 , multiplicamos ambos os lados da equação: pelo produto dos denominadores x (2 x – 1)( x + 2), obtendo: Expandindo o lado esquerdo da equação e escrevendo na forma padrão de polinômio, temos: Igualando os dois polinômios, chegamos a:
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, a primeira etapa é dividir: A segunda etapa é fatorar o denominador Q ( x ) = x^3 – x^2 – x + 1: O fator linear x – 1 ocorre duas vezes. Assim, a decomposição em frações parciais de: tem a forma: Para determinar os valores de A 1 , A 2 , A 3 , multiplicamos ambos os lados da equação: pelo mínimo denominador comum ( x – 1)^2 ( x + 1), obtendo: Expandido o lado esquerdo da equação e escrevendo na forma padrão de polinômio, chegamos a:
Igualando os dois polinômios, temos: Resolvendo o sistema, obtemos: Portanto: e Denominador Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis que não se repetem Se Q ( x ) tem o fator ax^2 + bx + c , onde b^2 – 4 ac < 0, então, além das frações parciais citadas anteriormente, a expressão para terá um termo da forma: onde A e B são constantes a serem determinadas.
Igualando os dois polinômios, temos: Resolvendo o sistema, obtemos: Portanto: Denominador Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos Se Q ( x ) tem um fator ( ax^2 + bx + c ) r , onde b^2 – 4 ac < 0, em vez de uma única fração parcial, como citado anteriormente, na decomposição em frações parciais da expressão , ocorre a soma: onde A e B são constantes a serem determinadas.
Exemplo 7
Vamos decompor a função: em frações parciais. Como o grau do numerador é menor que o = do denominador, não preci- samos efetuar a divisão. Observe que o denominador já está fatorado. Então, a forma de decomposição em frações parciais de f ( x ) é: Para determinar os valores de A, B, C, D, E, multiplicamos ambos os lados da equação pelo mínimo denominador comum x ( x^2 + 1)^2 , obtendo: Expandido o lado esquerdo da equação e escrevendo na forma padrão de polinômio, chegamos a: Igualando os dois polinômios, temos:
