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Tipologia: Notas de estudo
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Disciplina: Trabalho de Graduação A e B Responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho
Dezembro de 2003
“Matemática e Música”
Juliana Pimentel Juliani Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz A. Malagutti Trabalho de Graduação A e B Prof. Responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho São Carlos Dezembro de 2003
Capítulo 1: Uma Introdução as Origens das Relações entre a Matemática e a Música
Nem todo mundo toca um instrumento, mas todos gostam de música. Mesmo quem não toca, sabe que a seqüência das notas musicais é dó, ré, mi, fá, sol, lá, si. É praticamente a partir destas sete notas fundamentais, e mais cinco auxiliares (os bemóis e sustenidos) que as melodias da música ocidental são compostas. Sabe-se que a música já estava presente desde as primeiras civilizações mas as notas diferiam de um instrumento para o outro pois não existiam regras para produzi-los. Foi então, segundo conta a lenda, que Pitágoras, ao passar em frente a uma oficina de ferreiro percebeu que as batidas dos martelos, os quais diferiam por suas massas, eram agradáveis ao ouvido e se combinavam muito bem.
Figura (1): a lenda dos martelos
Para pesquisar estes sons, construiu um instrumento, mais tarde chamado monocórdio ( mono = um e córdio = corda), o qual se assemelha a um violão de uma corda e trabalhando com frações desta, descobriu relações muito interessantes entre uma nota e outra. Apesar de não estarmos certos sobre sua existência, o resultado que se segue também foi atribuído à Figura(2): Pitágoras Pitágoras.
Ele provou que ao dividir a vibração bem no meio da corda, a tonalidade do som era a mesma da produzida com a corda solta, mas uma oitava acima, ou seja, com o som mais agudo. Ao fazer as outras divisões, descobriu que as principais consonâncias, as combinações de sons mais agradáveis, eram as oitavas, as quartas e as quintas, as quais correspondem às divisões exatas de uma corda esticada entre dois suportes fixos e são à base da harmonia para instrumentos de cordas. Ele
facilmente representadas nas pautas ou próximas a eles, basta apenas seguirmos certas regras de posicionamento e “tempo”, as quais não serão explicitadas em maiores detalhes neste trabalho.
Figura (4): Clave de Sol e a escala central de C no piano: C, D, E, F, G, A, B, C.
Para determinarmos as notas na clave de Fá basta contarmos duas notas acima da qual esta representa na clave de sol. Por exemplo, se a clave anterior fosse de Fá, as notas representadas seriam respectivamente: E, F, G, A, B, C, D, E; duas oitavas abaixo. Na figura abaixo representamos um pequeno trecho, na clave de Fá, da última página da “Arte da Fuga” de Bach, nele podemos perceber o nome dele inserido no meio da música. Podemos estar nos perguntando como isto pode acontecer se as notas vão de dó a si e não temos nenhuma nota representada por H. O que acontece é que na Alemanha, terra do próprio Bach, a nota si é representada por H e a nota sib^ é que é representada por B.
Figura(5): Trecho da fuga de Bach
Com relação ao que foi falado, sobre o posicionamento das notas, temos que em um piano, por exemplo, a nota C representada na parte inferior da figura (4) – clave de sol – e a nota C representada na parte superior da figura (5) – clave de Fá – representam exatamente a mesma tecla.
Neste capítulo, faremos um apanhado geral sobre as relações existente entre a matemática e a música no mundo ocidental desde a Grécia Antiga. Provavelmente o início da manifestação perde-se ao longo da história uma vez que em quase todos os povos da antiguidade era possível encontrar manifestações destas áreas em separado. Por exemplo, na mitologia Grega, encontramos Orfeu, cujo canto acompanhado da Lira sustava rios, amansava feras e levantava pedras. A matemática também estava presente desde os tempos mais remotos, por exemplo, na contagem de objetos. Já a manifestação destas simultaneamente ocorre a partir da necessidade de equacionar e solucionar o problema da consonância^1 no sentido de buscar fundamentos científicos capazes de justificar tal conceito. No que diz respeito à organização das escalas musicais, esta ocorreu de diversas maneiras, em diferentes povos e épocas, porém com alguns aspectos em comum. Os gregos desenvolveram os tetracordes e depois a escala com sete tons. Alguns teóricos musicais como Pitágoras^2 , Arquitas, Aristoxeno, Eratóstenes dedicaram-se à construção de escalas desenvolvendo critérios diferentes de afinidade. Por exemplo, Pitágoras estabeleceu uma afinação utilizando percursos de quinta para a obtenção das notas da escala valorizando os intervalos de quinta perfeitas^3 além da utilização somente dos números de 1 a 4 na obtenção das frações da corda para gerar as notas da escala. Arquitas construiu sua escala baseada em frações da corda resultantes de médias harmônicas e aritméticas daquelas encontradas por Pitágoras no experimento do monocórdio. Já Erastótenes elaborou a diferenciação entre intervalos calculados aritmeticamente à maneira de Aristoxeno, de intervalos calculados pela razão. (Abdounur, 2002; Weber,1995). Na China, os povos orientais desenvolveram, a desde a Antiguidade, as seqüências pentatônicas contendo, por exemplo, a partir da nota dó, o ré, o mi, o
(^1) Consonância é a reunião de sons harmônicos. (^2) Consideramos aqui Pitágoras em lugar de um pitagóricos apesar de não termos a certeza de sua existência. 3 Quinta perfeitos é o intervalo produzido pela fração da corda correspondente a 2/3.
Na idade média, temos uma forte contribuição do cidadão romano e escrito Boetius 9480 –524d.C) para a sistematização da música ocidental escrevendo sobre as disciplinas matemáticas – aritmética, música, geometria e astronomia -, lógica, teologia e filosofia. Neste período até o Renascimento, a música ocidental sofre mudanças substancias que partem de uma concepção exclusivamente melódica rumo a um caráter principalmente harmônico. È a partir do Renascimento que as interações entre a matemática e música se tornam ainda mais fortes com Gioseffe Zarlino (1517 – 1590) e Marin Mersenne (1588 – 1648).
Como vimos, o italiano Guido d’Arezzo desenvolveu um algoritmo correspondendo as notas musicais à letras do alfabeto as quais estão indicadas no teclado que segue
Figura(2.1): teclado de um piano
Repare que entre as teclas B e C ou entre E e F não existem teclas pretas. O intervalo entre estas notas irá diferir de um semitom enquanto que as demais, as quais possuem as teclas pretas, diferem de um tom. As teclas pretas podem ser chamadas tanto bemóis quanto sustenidos, dependerá apenas da escala a que ela pertencer. As escalas são uma seqüência de notas que obedecem a determinados padrões e compreendem o espaço que vai de uma nota de determinada freqüência à outra com o dobro desta. Na escala musical há sete notas diferentes, repetindo-se a primeira com a última, embora esta tenha o dobro da freqüência da primeira (ou metade do comprimento de corda), e esteja uma oitava acima, ou seja, à direita. A oitava significa, portanto, que uma nota se torna a oitava a contar da primeira. Como foi falado, a razão 1 para 2 chama-se oitava e na escala temperada, uma oitava é dividida em 12 partes iguais. Logo, altura de cada semitom irá diferir do anterior de 2 112 e o tom de 2 212. A notação musical da escala maior é baseada na escala de dó maior ou simplesmente C. Na escala maior há cinco tons e dois semitons os quais obedecem a seqüência tom, tom, semitom, tom, tom, tom e semitom. Subindo um semitom da terceira, da sexta e da sétima nota da escala maior forma-se a escala menor natural. Sua seqüência é tom, semitom, tom, tom, semitom, tom e tom. As escalas maiores são representadas apenas pelas letras maiúsculas enquanto que as escalas menores possuem suas letras maiúsculas acompanhadas de um “m” minúsculo e subscrito.
Os pitagóricos foram os primeiros a registrar a descoberta de que estando dois fios esticados, se estes fossem tocados simultaneamente o som seria agradável se as razões entre os seus comprimentos fossem formadas por um conjunto de números simples. Eles observaram que as relações existentes entre os comprimentos dos fios sempre obedeciam a determinadas razões em certos intervalos.
Tabela(3.1): Relação entre os intervalos e comprimentos de corda segundo os pitagóricos
Intervalo (^) o comprimento das cordasRazão entre Oitava 2: Quinta 3: Quarta 4: Sexta 27: Terça 81: Segunda 9: Sétima 243:
Devido a algumas razões serem um tanto quanto complicadas, Zarlino propôs algumas simplificações, as quais foram facilmente aceitas por realmente serem mais simples.
Figura(3.1): Zarlino
Tais razões se resumiam da seguinte forma:
Tabela(3.2): Relação entre os intervalos e comprimentos de corda segundo aproximação de Zarlino
Intervalo (^) o comprimento das cordasRazão entre Oitava 2: Quinta 3: Quarta 4: Sexta 5: Terça 5: Segunda 9: Sétima 15:
Para melhor visualizarmos o que acontece com os comprimentos, podemos pensar em uma determinada corda de comprimento 12 u.m ; a qual chamaremos de C nos próximos exemplos. Tomando metade do seu tamanho ( u.m.) , encontraremos o C’ (ou C oitava acima), uma vez que o comprimento da primeira será duas vezes maior que o da segunda e portanto o intervalo considerado é a oitava. Se a dividirmos em três partes iguais e tomando quatro (12 u.m. ou 8 u. m. se quisermos considerar apenas o intervalo de uma oitava) , obteremos desta vez a nota F, a qual forma um intervalo de quarta com o C considerado.
Figura(3.2): intervalo de quarta
Procedendo desta maneira, é possível determinar os demais comprimentos deste intervalo musical, como na tabela 3.3. Repare que os comprimentos de corda das notas estão relacionadas segundo regras de três simples, levando sempre em consideração as razões obtidas na tabela 3.2. e as posições na
Figura(3.2): Marin Mersenne
Atendo-nos apenas a relação existente entre a freqüência e o comprimento da corda, podemos escrever uma nova tabela, relacionando-as:
Tabela(3.4): Relação entre as razões das freqüências e dos comprimentos de corda
Intervalo
Razão entre o comp. das cordas
Razão entre as freqüências Oitava 2:1 1: Quinta 3:2 2: Quarta 4:3 3: Sexta 5:3 3: Terceira 5:4 4: Segunda 9:8 8: Sétima 15:8 8:
Sabendo que a freqüência da nota A da oitava mediana de um piano é 440 htz^4 , podemos, por meio da tabela3.3, escrever a relação entre as freqüências da notas de forma semelhantes à usada nos cálculos dos comprimentos das cordas. Devemos apenas estar atentos aos intervalos, os quais estão diretamente relacionados com a posição na escala a que a nota pertence.
Tabela(3.5): Relação entre notas e freqüências
Notas (^) Freqüência A 220 B 247,
(^4) A nota A com freqüência de 440 htz é muito utilizada na afinação de pianos.
Podemos perceber que a razão entre os comprimentos das cordas e a razão entre as freqüências das notas de oitavas diferentes, são apenas próximas nesta escala formada. Isto ocasionava problemas no desenvolvimento dos teclados e alguns instrumentos de corda uma vez que as melodias acabavam sendo modificadas de uma oitava para outra. Para tocar em claves^5 diferentes e com intervalos que soem direito, seria necessário afinar os instrumentos a cada mudança fundamental como fazem alguns violinistas e flautistas, o que é praticamente impossível para um pianista por exemplo. Foi então que Mersenne, em 1635, propôs um sistema de afinação suave, também conhecido como torneamento “igual-suave” ou escala temperada, pois requer que as relações de freqüência de quaisquer meios-tons adjacentes sejam constantes. Tal sugestão só começou a ser aceita após as composições de “O Cravo Bem Temperado” de Bach em 1722 e 1744.
Figura(3.4): Johann Sebastian Bach
(^5) Clave é um sinal que serve para indicar o nome das notas e a altura dos sons.
exponencial enquanto que os comprimentos das cordas que produzem estas freqüências crescerão inversamente, segundo Mersenne, ou seja, quanto mais alta for a freqüência, menor será o comprimento da corda que a produz e conseqüentemente menor será o comprimento de onda.
Figura(4.1): relação entre as freqüências das notas
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 posição da nota
freqüência (ht
z
Figura(4.2): comportamento das freqüências
0
0,
0,
0,
0,
1
1,
0 20 40 60 80 1 posição da nota
comprimento da corda (u.m.
)
00
Figura(4.3): comportamento dos comprimentos de corda
Além dessas propriedades, a freqüência nos fornece o número de intervalos entre oitavas, o qual é dado por uma relação entre a freqüência inicial e a freqüência final da seguinte maneira
finicial = (21/12)^0 = 2^0 = 1 → log 2 finicial = 0 (1) ffinal = (21/12)^1 = 2^1 = 2 → log 2 ffinal = 1 (2)
Desta forma podemos perceber que ao relacionarmos estas duas propriedades segundo uma razão, encontraremos o número de intervalos procurados, que, no caso do exemplo é exatamente uma oitava.
loglog ff log 221 1 2 final
2 inicial = = (3)
Se considerarmos a faixa audível ao homem, que é de 20 a 20.000 htz, podemos verificar que tal intervalo entre as freqüências é inferior a 10 oitavas.
loglog (^2000020) x xlog 2 log 1000 x 9 , 9657841 oitavas 2
Tais relações são muito utilizadas, principalmente por fabricantes de instrumentos, que apesar de muitas vezes não saberem os por quês do uso de tais relações, sabem que são de fundamental importância principalmente no fabrico dos instrumentos com trastes como violão, bandolim entre outros. Analisando o comportamento das freqüências audíveis distribuídas ao longo de 10 oitavas
Figura(4.4): distribuição de freqüências ao longo 10 oitavas.
