TOPOGRAFIA , Notas de estudo de Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO P ARANÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE T ECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL

TOPOGRAFIA

MARIA CECÍLIA BONATO BRANDALIZE

CURITIBA, 2008

1. Topografia

1.1. Conceitos

Definição : a palavra "Topografia" deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e "graphen" (descrever), o que significa, a descrição exata e minuciosa de um lugar. (DOMINGUES, 1979).

Finalidade : determinar o contorno , dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos elaborados de Engenharia. (DOMINGUES, 1979).

Importância : ela é a base de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias , núcleos habitacionais , edifícios , aeroportos , hidrografia , usinas hidrelétricas , telecomunicações , sistemas de água e esgoto , planejamento , urbanismo , paisagismo , irrigação , drenagem , cultura , reflorestamento etc., se desenvolvem em função do terreno sobre o qual se assentam. (DOMINGUES, 1979). Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto, quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.

Diferença entre Geodésia e Topografia : a Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia pois se utilizam dos mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade mapear uma pequena porção daquela superfície (área de raio até 30km), a Geodésia , tem por finalidade, mapear grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito mais abrangente.

1.2. Representação

A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica.

Isto eqüivale dizer que, não só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal.

A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou Plano Topográfico. (ESPARTEL, 1987).

No estudo da forma e dimensão da Terra, podemos considerar quatro tipos de superfície ou modelo para a sua representação. São eles:

a) Modelo Real

Este modelo permitiria a representação da Terra tal qual ela se apresenta na realidade, ou seja, sem as deformações que os outros modelos apresentam.

No entanto, devido à irregularidade da superfície terrestre, o modelo real não dispõe, até o momento, de definições matemáticas adequadas à sua representação. Em função disso, outros modelos menos complexos foram desenvolvidos.

b) Modelo Geoidal

Permite que a superfície terrestre seja representada por uma superfície fictícia definida pelo prolongamento do nível médio dos mares ( NMM ) por sobre os continentes. Este modelo, evidentemente, irá apresentar a superfície do terreno deformada em relação à sua forma e posição reais.

O modelo geoidal é determinado, matematicamente, através de medidas gravimétricas (força da gravidade) realizadas sobre a superfície terrestre. Os levantamentos gravimétricos, por sua vez, são específicos da Geodésia e, portanto, não serão abordados por esta disciplina.

c) Modelo Elipsoidal

É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal.

Entre os elipsóides mais utilizados para a representação da superfície terrestre estão os de Bessel (1841), Clarke (1858), Helmet (1907), Hayford (1909) e o Internacional 67 (1967).

No Brasil, as cartas produzidas no período de 1924 até meados da década de 80 utilizaram como referência os parâmetros de Hayford. A partir desta época, as cartas produzidas passaram a adotar como referência os parâmetros definidos pelo Geodetic Reference System - GRS 67 , mais conhecido como Internacional 67. São eles:

DATUM = SAD 69 (CHUÁ); a = 6.378.160 m; f = 1 - b/a = 1 / 298,

Onde:

DATUM : é um sistema de referência utilizado para o cômputo ou correlação dos resultados de um levantamento. Existem dois tipos de datums : o vertical e o horizontal. O datum vertical é uma superfície de nível utilizada no referenciamento das altitudes tomadas sobre a superfície terrestre. O datum horizontal , por sua vez, é utilizado no referenciamento

das posições tomadas sobre a superfície terrestre. Este último é definido: pelas coordenadas geográficas de um ponto inicial, pela direção da linha entre este ponto inicial e um segundo ponto especificado, e pelas duas dimensões ( a e b ) que definem o elipsóide utilizado para representação da superfície terrestre.

SAD : S outh A merican D atum, oficializado para uso no Brasil em 1969, é representado pelo vértice Chuá, situado próximo à cidade de Uberaba-MG.

a : é a dimensão que representa o semi-eixo maior do elipsóide (em metros).

b : é a dimensão que representa o semi-eixo menor do elipsóide (em metros).

f : é a relação entre o semi-eixo menor e o semi-eixo maior do elipsóide, ou seja, o seu achatamento.

A figura abaixo mostra a relação existente entre a superfície topográfica ou real, o elipsóide e o geóide para uma mesma porção da superfície terrestre.

d) Modelo Esférico

Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é representada como se fosse uma esfera. O produto desta representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou seja, o terreno representado segundo este modelo apresenta-se bastante deformado no que diz respeito à forma das suas feições e à posição relativa das mesmas. Um exemplo deste tipo de representação são os globos encontrados em livrarias e papelarias.

Equador : é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos.

Paralelos : são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do equador. Os Paralelos mais importantes são: Trópico de Capricórnio (φ = 23°23'S) e Trópico de Câncer (φ = 23°23'N).

Meridianos : são as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos paralelos.

Vertical do Lugar : é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta linha é materializada pelo “ fio de prumo ” dos equipamentos de medição (teodolito, estação, nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a força da gravidade.

Normal ao Elipsóide : é toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de referência. Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar.

Pontos da Vertical do Lugar : o ponto ( Z = ZÊNITE ) se encontra no infinito superior, e o ponto ( Z' = NADIR ) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na definição de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com origem em Z ou em Z’.

Plano Horizontal do Observador : é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica num ponto qualquer desta superfície.

Latitude (φ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o paralelo

deste ponto e o plano do equador. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0° a 90°, positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S).

Longitude (λ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o meridiano de origem, conhecido por Meridiano de Greenwich (na Inglaterra), e o meridiano

do lugar (aquele que passa pelo ponto em questão). Sua contagem é feita de 0° a 180°, positivamente para oeste (W ou O) e negativamente para leste (E ou L).

Coordenadas Geográficas (φ,λ): é o nome dado aos valores de latitude e longitude que definem a posição de um ponto na superfície terrestre. Estes valores dependem do elipsóide de referência utilizado para a projeção do ponto em questão.

As cartas normalmente utilizadas por engenheiros em diversos projetos ou obras apresentam, além do sistema que expressa as coordenadas geográficas referidas anteriormente, um outro sistema de projeção conhecido por UTM – Universal Transversa de Mercator.

Coordenadas UTM ( E , N ): é o nome dado aos valores de abcissa (E) e ordenada (N) de um ponto sobre a superfície da Terra, quando este é projetado sobre um cilindro tangente

ao elipsóide de referência. O cilindro tangencia o Equador, assim dividido em 60 arcos de 6° (60 x 6° = 360°). Cada arco representa um fuso UTM e um sistema de coordenadas com origem no meridiano central ao fuso, que para o hemisfério sul, constitui-se dos valores de 500.000m para (E) e 10.000.000m para (N).

A figura a seguir mostra um fuso de 6°, o seu meridiano central e o grid de coordenadas UTM.

A origem do sistema UTM se encontra no centro do fuso.

Para o Hemisfério Norte as ordenadas variam de 0 a 10.000 km enquanto para o Hemisfério Sul variam de 10.000 a 0 km.

As abscissas variam de 500 a 100 km à Oeste do Meridiano Central e de 500 a 700 km a Leste do mesmo.

3. Erros em Topografia

Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros.

Assim, os erros pertinentes às medições topográficas podem ser classificados como:

a) Naturais: são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc.. Alguns destes erros são classificados como erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. São passíveis de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a medição.

b) Instrumentais : são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. Alguns destes erros são classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos.

c) Pessoais : são aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de nível, etc.. São classificados como erros grosseiros e não devem ocorrer jamais pois não são passíveis de correção.

É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa estar necessariamente correto.

4. Grandezas Medidas num Levantamento Topográfico

Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) as grandezas medidas em um levantamento topográfico podem ser de dois tipos: angulares e lineares.

4.1. Grandezas Angulares

São elas:

• Ângulo Horizontal ( Hz ): é medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano horizontal.

A figura a seguir exemplifica um ângulo horizontal medido entre as arestas (1 e 2) de duas paredes de uma edificação. O ângulo horizontal é o mesmo para os três planos horizontais mostrados.

• Ângulo Vertical ( α): é medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte. Pode ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) deste plano.

A figura a seguir exemplifica ângulos verticais medidos entre a aresta superior (Parede 1) e inferior (Parede 2) das paredes de uma edificação e o plano do horizonte. Os ângulos medidos não são iguais e dependem da posição (altura) do plano do horizonte em relação às arestas em questão.

O ângulo vertical, nos equipamentos topográficos modernos (teodolito e estação total), pode também ser medido a partir da vertical do lugar (com origem no Zênite ou Nadir), daí o ângulo denominar-se Ângulo Zenital ( V ou Z ) ou Nadiral ( V’ ou Z’ ).

5. Unidades de Medida

Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares , mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superfície e as de volume.

A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas.

O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal , porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano , ou seja, em Pés/Polegadas.

5.1. Unidades de Medida Linear

μm(E-06), mm(E-03), cm(E-02), dm(E-01), m e Km(E+03)

polegada = 2,75 cm = 0,0275 m

polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m

pé = 30,48cm = 0,3048 m

jarda = 91,44cm = 0,9144m

milha brasileira = 2200 m

milha terrestre/inglesa = 1609,31 m

5.2. Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação:

360 ° = 400g = 2 π

onde π = 3,141592.

Atenção : As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com seis (6) casas decimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais.

5.3. Unidades de Medida de Superfície

cm^2 (E-04), m^2 e Km^2 (E+06)

are = 100 m^2

acre = 4.046,86 m^2

hectare (ha) = 10.000 m^2

alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m^2

alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m^2

5.4. Unidades de Medida de Volume

m^3

litro = 0,001 m^3

5.5. Exercícios

a) Conversão entre Unidades Lineares

1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros?

2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas?

3.Determine o valor em milhas inglesas , para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.

b) Conversão entre Unidades de Superfície

1.Determine o valor em alqueires menor , para um terreno de área igual a 1224,567 metros quadrados.

2.Determine o valor em hectares , para um terreno de área igual a 58.675,5678 metros quadrados.

3.Determine o valor em acres , para um terreno de área igual a 18, alqueires paulista.

c) Conversão entre Unidades Angulares

1.Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157°17'30,65".

"l" representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que correspondente ao comprimento medido sobre o terreno.

" M " é denominado Título ou Módulo da escala e representa o inverso de (l / L ).

A escala pode ser apresentada sob a forma de:

• fração : 1/100, 1/2000 etc. ou
• proporção : 1:100, 1:2000 etc.

Podemos dizer ainda que a escala é:

• de ampliação : quando l > L (Ex.: 2:1)
• natural : quando l = L (Ex.: 1:1)
• de redução : quando l < L (Ex.: 1:50)

7. Critérios para a Escolha da Escala de uma Planta

Se, ao se levantar uma determinada porção da superfície terrestre, deste levantamento, resultarem algumas medidas de distâncias e ângulos, estas medidas poderão ser representadas sobre o papel segundo:

7.1. O Tamanho da Folha Utilizada

Para a representação de uma porção bidimensional (área) do terreno, terão que ser levadas em consideração as dimensões reais desta (em largura e comprimento), bem como, as dimensões x e y do papel onde ela (a porção) será projetada. Assim, ao aplicar a relação fundamental de escala, ter-se-á como resultado duas escalas, uma para cada eixo. A escala escolhida para melhor representar a porção em questão deve ser aquela de maior módulo, ou seja, cuja razão seja menor.

É importante ressaltar que os tamanhos de folha mais utilizados para a representação da superfície terrestre seguem as normas da ABNT, que variam do tamanho A (máximo) ao A5 (mínimo).

7.2. O Tamanho da Porção de Terreno Levantado

Quando a porção levantada e a ser projetada é bastante extensa e, se quer representar convenientemente todos os detalhes naturais e artificiais a ela pertinentes, procura-se, ao invés de reduzir a escala para que toda a porção caiba numa única folha de papel, dividir esta porção em partes e representar cada parte em uma folha. É o que se denomina representação parcial.

A escolha da escala para estas representações parciais deve seguir os critérios abordados no item anterior.

7.3. O Erro de Graficismo ou Precisão do Levantamento

Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (ε), também chamado de Precisão Gráfica , é o nome dado ao raio do menor círculo no interior do qual se pode marcar um ponto com os recursos do desenho técnico.

O valor de (ε), para os levantamentos topográficos desenhados manualmente, é da ordem de 0,2mm (1/5mm). Para desenhos efetuados por plotadores automáticos, este erro, em função da resolução do plotador, poderá ser maior ou menor.

Assim, a escala escolhida para representar a porção do terreno levantada, levando em consideração o erro de graficismo, pode ser definida pela relação:

P

E

ε ≤

Onde:

P : é a incerteza, erro ou precisão do levantamento topográfico, medida em metros, e que não deve aparecer no desenho.

Por exemplo: a representação de uma região na escala 1:50.000, considerando o erro de graficismo igual a 0,2mm, permite que a posição de um ponto do terreno possa ser determinada com um erro relativo de até 10m sem que isto afete a precisão da carta.

Analogamente, para a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em um levantamento seria de apenas 1m.

Desta forma, pode-se concluir que o erro admissível na determinação de um ponto do terreno diminui à medida em que a escala aumenta.

7.4. Escala Gráfica

Segundo DOMINGUES (1979), a escala gráfica é a representação gráfica de uma escala nominal ou numérica.

Esta forma de representação da escala é utilizada, principalmente, para fins de acompanhamento de ampliações ou reduções de plantas ou cartas topográficas, em processos fotográficos comuns ou xerox, cujos produtos finais não correspondem à escala nominal neles registrada.

A escala gráfica é também utilizada no acompanhamento da dilatação ou retração do papel no qual o desenho da planta ou carta foi realizado. Esta dilatação ou retração se deve,

Planta de propriedades rurais 1:1. 1:2. 1:5. Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais

Cartas de municípios 1:50. 1:100. Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000 a 1:10.000.

7.6. Exercícios

1.Para representar, no papel, uma linha reta que no terreno mede 45m, utilizando- se a escala 1:450, pergunta-se: qual será o valor desta linha em cm?

2.A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 520mm. Sabendo-se que, no terreno, estes pontos estão distantes 215,5m, determine qual seria a escala da planta.

3.A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55cm. Para uma escala igual a 1:250, qual será o valor real desta distância?

4.Se a avaliação de uma área resultou em 2575cm^2 na escala 1:500, a quantos m^2 corresponderá esta mesma área, no terreno?

5.A área limite de um projeto de Engenharia corresponde a 25 km^2. Determine a

escala do projeto em questão, se a área representada equivale a 5000 cm^2.

6.Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:600.

7.Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:25.000.

8.Construa uma escala gráfica para a escala numérica 1:1.000.000.

9.Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superfície de 350m x 280m, na escala 1:500?

10.Quantas folhas seriam necessárias se, para o exercício anterior, fossem descontadas margens de 20mm para cada lado da folha?

11.Quantas folhas seriam necessárias se, para o exercício anterior, a folha utilizada fosse a A4 deitada?

12.Pesquise em plantas, cartas e mapas de várias escalas, as características de construção e representação das escalas gráficas utilizadas (intervalo, unidade, comprimento).

8. Medida de Distâncias

Como já foi visto, a distância horizontal ( DH ) entre dois pontos, em Topografia, é o comprimento do segmento de reta entre estes pontos, projetado sobre um plano horizontal.

Para a obtenção desta distância, existem alguns processos, os quais veremos a seguir.

8.1. Medida Direta de Distâncias

Alguns autores afirmam que o processo de medida de distâncias é direto, quando esta distância é determinada em comparação a uma grandeza padrão previamente estabelecida; outros autores, porém, afirmam que a medição é direta quando o instrumento de medida utilizado é aplicado diretamente sobre o terreno.

Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos utilizados na medida direta de distâncias, também conhecidos por DIASTÍMETROS , são os seguintes:

a) Fita e Trena de Aço

îsão feitas de uma lâmina de aço inoxidável; îa trena é graduada em metros, centímetros e milímetros só de um lado; îa fita é graduada a cada metro; o meio metro (0,5m) é marcado com um furo e somente o início e o final da fita são graduados em decímetros e centímetros; îa largura destas fitas ou trenas varia de 10 a 12mm; îo comprimento das utilizadas em levantamentos topográficos é de 30, 60, 100 e 150 metros; îo comprimento das de bolso varia de 1 a 7,50 metros (as de 5 metros são as mais utilizadas); înormalmente apresentam-se enroladas em um tambor (figura a seguir) ou cruzeta, com cabos distensores nas extremidades; îpor serem leves e praticamente indeformáveis, os levantamentos realizados com este tipo de dispositivo nos fornecem uma maior precisão nas medidas, ou seja, estas medidas são mais confiáveis; îdesvantagens: as de fabricação mais antiga, enferrujam com facilidade e, quando esticadas com nós, se rompem facilmente. Além disso, em caso de contato com a rede elétrica, podem causar choques; îas mais modernas, no entanto, são revestidas de nylon ou epoxy e, portanto, são resistentes à umidade, à produtos químicos, à produtos oleosos e à temperaturas extremas. São duráveis e inquebráveis.