Mecânica dos Materiais
Preparado por: Filipe Samuel Silva
Dep. Engª Mecânica
Capítulo 3
Torção
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Mecânica de Materiais: Análise de Veios em Torção, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
Um estudo sobre a mecânica de materiais, especificamente sobre a análise de veios em torção. O texto aborda conceitos como tensões normais, tensões de corte, momento torsor, distribuição de tensões de corte, e a relação entre eles. O documento também inclui problemas resolvidos para determinar as máximas e mínimas tensões de corte em veios, além de determinar o diâmetro necessário para eles. O texto é baseado no livro 'mecânica de materiais' de beer-johnston, dewolf.
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
1 / 36
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Mecânica dos Materiais
Capítulo 3Torção
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Torção - Sumário
Cap. 3
IntroduçãoTorção em Veios CircularesComponentes de Corte AxiaisDeformações em VeiosDeformações de CorteTensões NormaisModos de Dano em TorçãoÂngulo de Rotação
Veios Estaticamente IndeterminadosProjecto de Veios de TransmissãoConcentração de TensõesTorção em Membros não-CircularesVeios Ocos de Parede FinaExercícios ResolvidosExercícios Propostos
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Transmissão Internos de Esforços
Cap. 3
(
)
∫
∫
=
=
dA
dF
T
τ
ρ
ρ
- A resultante das forças internas de corte
origina um torque interno. Este torque é igual,com sentido oposto, ao torque exterior,
- Embora o torque desenvolvido pelas forças de
corte internas seja conhecido, a distribuição dastensões não é conhecida
- Contrariamente à tensão normal, devida a cargas
axiais, a distribuição das tensões de corte devidasa momentos torsores, não se pode assumir comosendo uniforme.
- A distribuição destas tensões de corte é
estaticamente indeterminada – é necessárioconsiderar as deformações
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Componentes de Corte Axiais
Cap. 3
- O Torque aplicado ao veio produz tensões
de corte nas faces perpendiculares aoeixo.
- A existência de tensões de corte axiais é
demonstrada considerando as marcas axiaisexistentes nos veios.As marcas têm um deslocamento relativoquando torques são aplicados nos topos doveio.
- As condições de equilibrio requerem a
existência de iguais tensões nas faces dos doisplanos que contêm o eixo do veio.
Eixo do veio
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Deformações de Corte
Cap. 3
- Considere uma secção interior do veio.
Consoante uma força de torção é aplicada, oelemento deforma-se transformando-se numlosango.
- A deformação de corte é proporcional ao
ângulo de torção e ao raio.
max
max
e
c
L
c
ou
L
L
- Como as circunferências que constituem dois• Então,
dos lados do elemento se mantêm inalteradas,a deformação de corte é igual ao ângulo dedistorção.
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Tensões no Domínio Elástico
Cap. 3
J
c
dA
c
dA
T
max
2
max
τ
ρ
τ
ρτ
∫
=
∫
=
=
- Relembrando que o somatório das forças
internas (momentos) é igual ao torqueexterior, numa dada secção,
4
1 2
c
J
π
=
(
)
4 1
(^42)
1 2
c
c
J
−
=
π
max
max
, ou
e
, ou
t
t
p
p
M r
M
Tc
T
J
I
J
I
ρ
ρ
τ
τ
τ
τ
=
=
=
=
- As seguintes fórmulas são as fórmulas de
torção, no domínio elástico,
- Multicando a equação anterior pelo módulo
de distorção,
max
γ
ρ
γ
G
c
G
=
max
τ
ρ
τ
c
=
Da lei de Hooke,
γ
τ
G
=
, logo,
A tensão de corte varia linearmente com adistância radial ao eixo do veio.
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Modo de Dano devido a Torção
Cap. 3
- Nos materiais ducteis o dano ocorre
devido ao corte. Nos materiaisfrágeis o dano acorre devido atensões normais.
- Quando sujeito a torção, um material
ductil, rompe pelo plano de máximatensão de corte, i.e., num planoperpendicular ao do eixo do veio.
- Quando sujeito a torção, um material
frágil, rompe pelo plano da máximatensão normal, i.e., pelo plano queforma 45
o
com o eixo do veio.
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Problema 3.
Cap. 3
O veio
BC
é oco, com diâmetros interno e
externo de 90 mm e 120 mm,respectivamente. Os veios
AB
e
CD
são
maciços e de diâmetro
d
. Para as cargas
aplicadas determine (
a
) as máximas e
mínimas tensões de corte no veio
BC
b
) o
diâmetro
d
necessário para os veios
AB
e
CD
se a tensão de corte admissível para estesveios for de 65 MPa.
SOLUÇÃO:• Seccione os veios
AB
e
BC
e
estabeleça o equilíbrio estáticopara achar os momentos torsores.
- Dada a tensão admissível de corte
e sabido o momento torsor,determine o diâmetro necessárioaos veios
AB
e
CD.
- Aplique as fórmulas da torção
para determinar as tensõesmáxima e mínima no veio
BC
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Problema 3.
Cap. 3
- Aplique as fórmulas da torção
para determinar as tensõesmáxima e mínima no veio
BC
(
)
(
)
[
]
4
6
4
4
4 1
(^42)
m
10
92 .
13
045 .
0
060 .
0
2
2
−
×
=
−
=
−
=
π
π
c
c
J
(
)(
)
MPa
2 .
86
m
10
92 .
13
m
060 .
0
m
kN
20
4
6
2
2
max
=
×
⋅
=
=
=
−
J
c
T
BC
τ
τ
MPa
7 .
64
mm
60
mm
45
MPa
2 .
86
min
min
1 2
minmax
=
=
=
τ
τ
τ τ
c c
MPa
7 .
64
MPa
2 .
86
max min
=
τ τ
- Dada a tensão admissível de corte e
sabido o momento torsor, determine odiâmetro necessário aos veios
AB
e
CD.
m
10
9 .
38
m
kN
6
65
3
3
2
4
2
max
−
×
=
⋅
=
=
=
c
c
MPa
c
Tc
J Tc
π
π
τ
mm
8 .
77
2
=
=
c
d
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Ângulo de Distorção no Domínio Elástico
Cap. 3
- Lembrando que o ângulo de distorção e a tensão
de corte estão relacionados,
L c
φ
γ
=
max
- No domínio elástico a distorção e a tensão de
corte estão relacionados através da lei de Hooke,
Tc JG
G
=
=
max
max
τ
γ
- Usando as expressões e resolvendo em ordem ao
ângulo de torção,
TL JG
=
φ
- Se o momento torsor ou a secção recta mudar, ao
longo do comprimento do veio,o ângulo de torçãoé dado pelo somatório dos ângulos de torçãoparciais.
∑
=
i
i
i
i
i
G
J
L
T
φ
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Problema 3.
Cap. 3
SOLUÇÃO:• Proceda à análise de equilíbrio
estático dos dois veios para encontrara relação entre
T
CD
e
T
0
- Determine o correspondente ângulo de
torção para cada veio e o ângulo detorção do ponto
A
- Determine o momento torsor
admissível em cada veio. Seleccione omenor.
- Proceda a uma análise cinemática para
relacionar os ângulos de rotação dasengrenagens.
Dois veios maciços de aço estãoligados pelas engrenagens indicadas.Sabendo que para cada veio
G
GPa e que a tensão de corteadmissível é de 55 MPa, determine(
a
) o máximo momento torsor que
pode ser aplicado na extremidade doveio
AB
b
) o correspondente ângulo
de torção da extremidade
A
do veio
AB
0,9 m
25mm
0,6 m
20mm
60mm
20mm
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Problema 3.
Cap. 3
SOLUÇÃO:• Proceda à análise de equilíbrio
estático dos dois veios para encontrara relação entre
T
CD
e
T
0
0
0 0
0
3 B C
CD
CD
M
F
m
T
M
F
m
T
T
T
=
=
−
=
=
−
=
60mm
20mm
- Proceda a uma análise cinemática para
relacionar os ângulos de rotação dasengrenagens.
0.060.
3
B
B
C
C
C
B
C
C
B
B
C
r
r
r
m
r
m
=
=
=
=
20mm
60mm
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Projecto de Veios de Trnsmissão de Potência
Cap. 3
- As principais especificações nos
veios de transmissão de potênciasão:
- potência- velocidade
- Determinação do momento torsor a
partir da potência e velocidade,
f
P
P
T
fT
T
P
π
ω
π
ω
2
2
=
=
=
=
- Determinação da secção recta por
forma a não ultrapassar a tensãoadmissível de corte,
(
)
(
)
(
)
max
3
max
4
4
2
1
2
2
max
veios maciços
2
veios ocos
2
Tc
J
J
T
c
c J
T
c
c
c
c
τ
π
τ
π
τ
=
=
=
=
−
=
- O projectista deve seleccionar o
material e dimensões por forma aatender as especificações semultrapassar as tensõesadmissíveis do material.
Mecânica dos Materiais -
Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
Concentração de Tensões
Cap. 3
- A expressão da fórmula de torção,
assume um veio circular com secçãorecta uniforme.
J Tc
=
max
τ
J Tc
K
=
max
τ
- O uso de ligações, engrenagens, entalhes, e • A nova tensão é dada por,
outras descontinuidades geram concentraçãode tensões.
Factores de concentração de tensões pararaios de concordância em veios circulares